Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli

Esercizi svolti: Esercizio 40 · sistema omogeneo, non omogeneo e soluzioni come particolare più nucleo, Esercizio 41 · sistema 4×4 con due parametri (compitino 2025), Esercizio 42 · rango con parametro e condizione sui termini noti (compitino 2026). Seguito: Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →, Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →.

Dall'inizio del corso si risolvono sistemi di equazioni di primo grado "come alle superiori" (sostituzione, confronto). Ora che si conoscono matriciFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare → e nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine → di una funzione lineare, i sistemi si possono studiare in modo preciso: si capisce quando hanno soluzione, quante ne hanno e come sono fatte.

Scrittura matriciale di un sistema

Un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite $x_1, \dots, x_n$ ha la forma

$$\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \dots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}$$

I numeri $a_{ij} \in K$ sono i coefficienti ($i$ = numero dell'equazione, $j$ = numero dell'incognita), i $b_i$ i termini noti. Il numero di equazioni $m$ e quello di incognite $n$ non devono per forza essere uguali.

Si raccolgono i dati in tre oggetti:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in M_{m \times n}(K), \qquad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$

• $A$ è la matrice dei coefficienti (o matrice incompleta): una riga per ogni equazione, una colonna per ogni incognita;
• $X$ è il vettore delle incognite (colonna di $n$ elementi);
• $B$ è il vettore dei termini noti (colonna di $m$ elementi).

Con il prodotto righe per colonneLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →, la $i$-esima componente di $AX$ è $a_{i1}x_1 + \dots + a_{in}x_n$, cioè proprio il primo membro della $i$-esima equazione. Quindi l'intero sistema si scrive come una sola equazione:

Formula (scrittura matriciale di un sistema lineare). $$\boxed{AX = B}$$

Esempio. Il sistema $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 4x - y = 1 \end{cases}$ si scrive $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

La matrice completa del sistema è $A$ con in più la colonna dei termini noti, e si indica con $(A \,|\, B)$:

$$(A \,|\, B) = \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right) \in M_{m \times (n+1)}(K)$$

Il sistema si dice omogeneo se $B = 0$ (tutti i termini noti nulli). Dato un sistema qualunque $AX = B$, il sistema $AX = 0$ (stessa matrice, termini noti azzerati) si chiama sistema omogeneo associato.

Un'osservazione che guida tutto. Un'equazione di primo grado $ax = b$ con $a \ne 0$ si risolve moltiplicando per $a^{-1}$: $x = a^{-1} b$. Allo stesso modo, se la matrice $A$ è quadrata e ha un'inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa → $A^{-1}$, moltiplicando $AX = B$ a sinistra per $A^{-1}$ si ottiene $X = A^{-1}B$. Quindi invertire una matrice e risolvere un sistema sono due facce dello stesso problema: per questo nessuno dei due può essere "facile".

Tre modi di leggere $AX = B$

1. Con le funzioni lineari

Sia $f_A : K^n \to K^m$, $f_A(X) = AX$, la funzione lineare che ha $A$ come matrice rispetto alle basi canonicheFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →. Allora:

• il sistema ha soluzione se e solo se $B \in \operatorname{Im} f_A$: infatti "esiste $X$ con $AX = B$" significa proprio "$B$ è l'immagine di qualche vettore";
• l'insieme delle soluzioni è l'antiimmagine $f_A^{-1}(B) = \{X \in K^n : AX = B\}$ (definita in Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →; è un insieme, che può essere vuoto, anche quando $f_A$ non è invertibile);
• le soluzioni del sistema omogeneo sono il nucleo: $\{X : AX = 0\} = \operatorname{Ker} f_A$.

Da quest'ultimo punto segue un fatto già usato molte volte: le soluzioni di un sistema omogeneo formano un sottospazio vettorialeUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali → di $K^n$, perché il nucleo di una funzione lineare lo è. Ed è per questo che un sottospazio si descrive con equazioni cartesiane con termini noti nulli: un sottospazio è il nucleo di qualche funzione lineare.

2. Con le colonne

Indichiamo con $A_1, A_2, \dots, A_n$ le colonne di $A$. Scrivendo il sistema "per colonne":

$$x_1 \begin{pmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} a_{12} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} + \dots + x_n \begin{pmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}, \quad \text{cioè} \quad x_1 A_1 + x_2 A_2 + \dots + x_n A_n = B.$$

Risolvere il sistema significa quindi scrivere $B$ come combinazione lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare → delle colonne di $A$: le incognite sono i coefficienti della combinazione. Siccome le colonne di $A$ generano $\operatorname{Im} f_A$, è la stessa condizione del punto 1 detta con altre parole.

3. Con le righe

Ogni riga di $A$ contiene i coefficienti di un'equazione. Il rangoIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine → di $A$ è il numero di colonne linearmente indipendenti, ma è anche uguale al numero di righe linearmente indipendenti (è il teorema "rango per righe = rango per colonne" di Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →, che si dimostra con l'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →): quindi $\operatorname{rango}(A)$ è il numero di equazioni davvero indipendenti del sistema (scrivere cinque volte la stessa equazione non dà cinque equazioni, ma una sola).

Struttura delle soluzioni: particolare più nucleo

Teorema (struttura delle soluzioni di un sistema lineare). Sia $\bar X$ una soluzione (detta soluzione particolare) del sistema $AX = B$. Allora le soluzioni del sistema sono tutti e soli i vettori della forma

$$X = \bar X + Y, \qquad Y \in \operatorname{Ker} f_A \ (\text{cioè } AY = 0).$$

Esempio. $x + y = 2$ (una equazione, due incognite, $A = (1 \ \ 1)$): $\bar X = (2, 0)$ è una soluzione ($2 + 0 = 2$) e $\operatorname{Ker} f_A = \{x + y = 0\} = \{(t, -t)\} = \langle (1,-1) \rangle$, quindi le soluzioni sono $(2,0) + t(1,-1) = (2 + t, \ -t)$. Controllo: $(2 + t) + (-t) = 2$ per ogni $t$ ✓. Con un'altra soluzione particolare, per esempio $(0, 2)$, si ottiene lo stesso insieme: $(0, 2) = (2, 0) + (-2)(1, -1)$.

In forma compatta si scrive $f_A^{-1}(B) = \bar X + \operatorname{Ker} f_A$ (scrittura simbolica: un vettore fissato più tutti i vettori del sottospazio).

Dimostrazione. Bisogna far vedere due cose.

1. Ogni vettore $\bar X + Y$ con $AY = 0$ è soluzione. Per la proprietà distributiva del prodotto di matrici: $$A(\bar X + Y) = A\bar X + AY = B + 0 = B.$$ Si è usato che $A\bar X = B$ ($\bar X$ è soluzione per ipotesi) e $AY = 0$ ($Y$ sta nel nucleo).

2. Ogni soluzione è di questo tipo. Sia $X$ una soluzione qualunque. Poniamo $Y = X - \bar X$ (è l'unico candidato possibile, perché vogliamo $X = \bar X + Y$). Allora $$AY = A(X - \bar X) = AX - A\bar X = B - B = 0,$$ quindi $Y \in \operatorname{Ker} f_A$ e $X = \bar X + Y$ è della forma voluta. ∎

In parole: la differenza di due soluzioni del sistema è una soluzione dell'omogeneo associato; una soluzione più una soluzione dell'omogeneo è ancora una soluzione. Basta quindi trovare una sola soluzione e il nucleo.

Interpretazione geometrica. $\operatorname{Ker} f_A$ è un sottospazio, quindi passa per l'origine (una retta, un piano, … per $\vec 0$). Sommare $\bar X$ a tutti i suoi vettori significa traslarlo: le soluzioni di un sistema non omogeneo formano una retta, un piano, … parallelo al nucleo ma che non passa per l'origine (infatti $\vec 0$ non è soluzione: $A \vec 0 = 0 \ne B$). Per questo, se $B \ne 0$, l'insieme delle soluzioni non è un sottospazio vettoriale: è un sottospazio affine (vedi Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →), con giacitura $\operatorname{Ker} f_A$.

Esempio

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & -4 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \end{pmatrix}.$$

• Omogeneo associato. Dalla prima equazione $x_1 = 3x_2 - 2x_3$; sostituendo nella seconda, $-2(3x_2 - 2x_3) + 6x_2 - 4x_3 = -6x_2 + 4x_3 + 6x_2 - 4x_3 = 0$: si ottiene $0 = 0$ (la seconda riga è $-2$ volte la prima). Restano $x_2, x_3$ liberi e le soluzioni sono $$(3x_2 - 2x_3, \ x_2, \ x_3) = x_2 (3, 1, 0) + x_3 (-2, 0, 1)$$ (si separano i termini con $x_2$ da quelli con $x_3$). Quindi $\operatorname{Ker} f_A = \langle (3, 1, 0), (-2, 0, 1) \rangle$, un piano per l'origine di $\mathbb{R}^3$: i due generatori non sono proporzionali, quindi $\dim \operatorname{Ker} f_A = 2 = 3 - \operatorname{rango}(A)$ con $\operatorname{rango}(A) = 1$.
• Per quali $B$ ci sono soluzioni. Sommando alla seconda equazione il doppio della prima, a sinistra resta $0$ e a destra $2b_1 + b_2$: serve $2b_1 + b_2 = 0$. È l'equazione della retta $\operatorname{Im} f_A \subset \mathbb{R}^2$ (ha dimensione $3 - 2 = 1$ per il teorema nullità + rangoIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →).
• Con $B = (5, -10)$: $2 \cdot 5 - 10 = 0$ ✓, e le soluzioni sono $$\begin{pmatrix} 5 + 3x_2 - 2x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\bar X} + \underbrace{x_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\in \operatorname{Ker} f_A}$$ cioè il piano del nucleo traslato di $5$ unità lungo l'asse $x_1$. Svolgimento completo nell'Esercizio 40 · sistema omogeneo, non omogeneo e soluzioni come particolare più nucleo.

Quante soluzioni ha il sistema omogeneo

Per il teorema nullità + rangoIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine → applicato a $f_A : K^n \to K^m$:

$$\dim \operatorname{Ker} f_A = n - \dim \operatorname{Im} f_A = n - \operatorname{rango}(A).$$

Quindi:

$$\boxed{\dim\{\text{soluzioni di } AX = 0\} = n - \operatorname{rango}(A) = (\text{numero di incognite}) - (\text{numero di equazioni indipendenti})}$$

È la regola "incognite meno equazioni" usata finora, resa precisa: le equazioni vanno contate solo se indipendenti.

Il teorema di Rouché-Capelli

Teorema (Rouché-Capelli). Il sistema $AX = B$, con $A \in M_{m \times n}(K)$, ha soluzioni se e solo se $$\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \,|\, B).$$ In tal caso, detto $r$ questo rango comune:

• se $r = n$ la soluzione è unica;
• se $r < n$ le soluzioni sono infinite e dipendono da $n - r$ parametri liberi (si scrive $\infty^{n-r}$ soluzioni).

Esempio. $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}$ ha $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A|B) = 1 < 2$: infinite soluzioni ($\infty^1$). Infatti in $(A|B) = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{array}\right)$ la seconda riga è il doppio della prima, quindi c'è una sola riga indipendente (anche aggiungendo la colonna $B$). Con termine noto $(2, 5)$ invece $(A|B) = \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{array}\right)$: la colonna $(2, 5)$ non è multipla della colonna $(1, 2)$ di $A$ (servirebbe il fattore $2$ per la prima componente e $\frac52$ per la seconda), quindi il rango di $(A|B)$ è $2 \ne 1$: nessuna soluzione. Sottraendo alla seconda equazione il doppio della prima si arriva a $0 = 1$.

È un teorema di esistenza: dice se ci sono soluzioni e quante, non come trovarle (per quello c'è l'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →).

Dimostrazione. Sia $r = \operatorname{rango}(A)$, cioè il numero di colonne linearmente indipendenti tra $A_1, \dots, A_n$. La matrice $(A \,|\, B)$ ha le stesse colonne più la colonna $B$. Quando si aggiunge una colonna, il numero di colonne indipendenti:

• resta $r$ se la nuova colonna $B$ è combinazione lineare delle precedenti (non aggiunge niente di nuovo);
• diventa $r + 1$ se $B$ non è combinazione lineare delle colonne di $A$.

(Non può crescere di più di $1$, perché si è aggiunta una sola colonna.) Quindi

$$\operatorname{rango}(A \,|\, B) = \operatorname{rango}(A) \iff B \text{ è combinazione lineare di } A_1, \dots, A_n \iff \text{il sistema ha soluzione},$$

dove l'ultima equivalenza è la lettura "per colonne" del sistema vista sopra.

Per il numero di soluzioni: se il sistema è risolubile, le soluzioni sono $\bar X + \operatorname{Ker} f_A$, e $\dim \operatorname{Ker} f_A = n - r$. Se $r = n$ il nucleo è $\{0\}$ e c'è solo $\bar X$; se $r < n$ il nucleo contiene infiniti vettori, descritti da $n - r$ parametri. ∎

Perché in fondo è "ovvio". Quando si riduce $(A \,|\, B)$ a scala con l'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →, il caso $\operatorname{rango}(A \,|\, B) = \operatorname{rango}(A) + 1$ si presenta come una riga del tipo $(0 \ 0 \ \cdots \ 0 \,|\, c)$ con $c \ne 0$, cioè l'equazione

$$0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + \dots + 0 \cdot x_n = c \ne 0,$$

che è falsa per qualunque scelta delle incognite. Rouché-Capelli dice esattamente questo: il sistema è impossibile quando, semplificandolo, si arriva a "$0 =$ numero non nullo".

Riassunto dei casi

Casi particolari utili:

• un sistema omogeneo ha sempre almeno la soluzione nulla (infatti aggiungere la colonna $B = 0$ non cambia il rango);
• se $\operatorname{rango}(A) = m$ (tante equazioni indipendenti quante sono le righe), il sistema è risolubile per ogni $B$: infatti $\operatorname{Im} f_A$ ha dimensione $m$, quindi è tutto $K^m$ ($f_A$ è suriettiva);
• se $A$ è quadrata ($m = n$) con $\operatorname{rango}(A) = n$, per ogni $B$ c'è una e una sola soluzione, $X = A^{-1}B$ (vedi Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa → e Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →).

Come si leggono i ranghi sul disegno. Ogni equazione $ax + by = c$ con $(a, b) \ne (0, 0)$ è una retta del piano, e risolvere il sistema vuol dire trovare i punti comuni alle due rette.

• $x + y = 3$, $x - y = 1$: le righe $(1, 1)$ e $(1, -1)$ di $A$ non sono proporzionali, $\operatorname{rango}(A) = 2 = n$: rette incidenti, un solo punto comune. Sommando le equazioni $2x = 4$, quindi $x = 2$ e $y = 3 - 2 = 1$.
• $x + y = 3$, $x + y = -1$: le righe di $A$ sono uguali ($\operatorname{rango}(A) = 1$) ma quelle di $(A|B)$, cioè $(1, 1, 3)$ e $(1, 1, -1)$, non sono proporzionali ($\operatorname{rango}(A|B) = 2$): rette parallele distinte. Sottraendo, $0 = 4$.
• $x + y = 2$, $2x + 2y = 4$: anche le righe di $(A|B)$ sono proporzionali, $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A|B) = 1 < 2$: la stessa retta scritta due volte, $\infty^1$ soluzioni.

Due esempi

Sistema incompatibile.

$$\begin{cases} 2x_1 - 4x_2 = -4 \\ 3x_1 - 6x_2 + 3x_3 = -3 \\ x_1 - 2x_2 - x_3 = -2 \end{cases} \qquad (A \,|\, B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 0 & -4 \\ 3 & -6 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & -1 & -2 \end{array}\right)$$

Riducendo a scala (i passaggi sono spiegati in Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →): $R_1 \leftrightarrow R_3$ (per avere $1$ come primo pivot); poi $R_2 \to R_2 - 3R_1$, $R_3 \to R_3 - 2R_1$ (zeri in prima colonna); poi $R_2 \to \frac13 R_2$ (numeri più piccoli); infine $R_3 \to R_3 - R_2$ (zero sotto il secondo pivot). I conti riga per riga, termine noto compreso:

• $R_2 - 3R_1 = (3 - 3, \ -6 + 6, \ 3 + 3 \,|\, -3 + 6) = (0, 0, 6 \,|\, 3)$;
• $R_3 - 2R_1 = (2 - 2, \ -4 + 4, \ 0 + 2 \,|\, -4 + 4) = (0, 0, 2 \,|\, 0)$;
• $\frac13 (0, 0, 6 \,|\, 3) = (0, 0, 2 \,|\, 1)$ e $(0, 0, 2 \,|\, 0) - (0, 0, 2 \,|\, 1) = (0, 0, 0 \,|\, -1)$.

Nella seconda colonna, dopo il primo passo, sono comparsi solo zeri: il secondo pivot è nella terza colonna.

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & -2 \\ 3 & -6 & 3 & -3 \\ 2 & -4 & 0 & -4 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$

Guardando solo le prime tre colonne ci sono $2$ righe non nulle: $\operatorname{rango}(A) = 2$. Con anche l'ultima colonna le righe non nulle sono $3$: $\operatorname{rango}(A \,|\, B) = 3$ (per il teorema sul rango delle matrici a scalaCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss → il rango è il numero di righe non nulle). Ranghi diversi: nessuna soluzione. L'ultima riga è l'equazione $0 = -1$.

Lo si vede anche direttamente sulle equazioni di partenza: la prima, divisa per $2$, dice $x_1 - 2x_2 = -2$; sostituendo nella terza resta $-2 - x_3 = -2$, cioè $x_3 = 0$; sostituendo nella seconda divisa per $3$ ($x_1 - 2x_2 + x_3 = -1$) resta $-2 + x_3 = -1$, cioè $x_3 = 1$. Due valori diversi per $x_3$: contraddizione.

Sistema con soluzione unica. Quattro equazioni, tre incognite:

$$\begin{cases} 2x_1 - 2x_2 + 8x_3 = 5 \\ 2x_2 + 6x_3 = 1 \\ x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -1 \\ x_1 + 10x_3 = 0 \end{cases}$$

La matrice completa è $$(A \,|\, B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 8 & 5 \\ 0 & 2 & 6 & 1 \\ 1 & -2 & 4 & -1 \\ 1 & 0 & 10 & 0 \end{array}\right)$$ Con $R_1 \leftrightarrow R_3$ (pivot $1$ in alto), poi $R_3 \to R_3 - 2R_1$, $R_4 \to R_4 - R_1$ (zeri in prima colonna; la seconda riga ha già $0$), poi $R_3 \to R_3 - R_2$, $R_4 \to R_4 - R_2$ (zeri sotto il pivot $2$ della seconda colonna). I conti:

• $R_3 - 2R_1 = (2 - 2, \ -2 + 4, \ 8 - 8 \,|\, 5 + 2) = (0, 2, 0 \,|\, 7)$;
• $R_4 - R_1 = (1 - 1, \ 0 + 2, \ 10 - 4 \,|\, 0 + 1) = (0, 2, 6 \,|\, 1)$;
• $(0, 2, 0 \,|\, 7) - (0, 2, 6 \,|\, 1) = (0, 0, -6 \,|\, 6)$ e $(0, 2, 6 \,|\, 1) - (0, 2, 6 \,|\, 1) = (0, 0, 0 \,|\, 0)$.

Si arriva a

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & -6 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

$\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \,|\, B) = 3 = n$: soluzione unica. Le quattro equazioni non erano indipendenti (la quarta è diventata $0 = 0$). Per sostituzione all'indietro: $-6x_3 = 6 \Rightarrow x_3 = -1$; $2x_2 + 6(-1) = 1 \Rightarrow x_2 = \frac72$; $x_1 - 2 \cdot \frac72 + 4(-1) = -1 \Rightarrow x_1 = 10$. Soluzione $(10, \frac72, -1)$.

Verifica in tutte le equazioni originali: $2 \cdot 10 - 2 \cdot \frac72 + 8 \cdot (-1) = 20 - 7 - 8 = 5$ ✓; $2 \cdot \frac72 + 6 \cdot (-1) = 7 - 6 = 1$ ✓; $10 - 7 - 4 = -1$ ✓; $10 + 10 \cdot (-1) = 0$ ✓.

Un'applicazione: l'equilibrio di un nodo con tre o quattro aste

Un peso di $12$ kN è appeso a un nodo $P$, fissato al soffitto e alle pareti da aste incernierate. Ogni asta può tirare o spingere il nodo solo lungo il proprio asse. Con gli assi $x, y$ orizzontali e $z$ verticale verso l'alto, il peso è la forza $F = (0, 0, -12)$ kN. Le aste partono dal nodo con le direzioni (versori, cioè vettori di norma $1$):

$$u_1 = \tfrac13(2, 1, 2), \qquad u_2 = \tfrac13(-2, 1, 2), \qquad u_3 = \tfrac13(1, -2, 2), \qquad u_4 = \tfrac13(2, -1, 2) .$$

(Si controlla la norma: $\frac13\sqrt{4 + 1 + 4} = \frac13 \cdot 3 = 1$, e allo stesso modo per gli altri.) Se l'asta $i$ tira il nodo con forza $N_i$ (tensione, positiva se l'asta è tesa), l'equilibrio del nodo è $N_1 u_1 + N_2 u_2 + N_3 u_3 + N_4 u_4 + F = 0$: un sistema lineare nelle incognite $N_i$, con una equazione per ciascuna componente. Moltiplicando per $3$ i versori si tolgono le frazioni.

Tre aste ($u_1, u_2, u_3$). Il sistema $AN = B$ ha

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 36 \end{pmatrix}$$

(le prime due equazioni dicono che le componenti orizzontali si annullano; la terza è $\frac13(2N_1 + 2N_2 + 2N_3) = 12$, cioè $2N_1 + 2N_2 + 2N_3 = 36$). Qui $\det A = 24 \ne 0$: $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \,|\, B) = 3$ = numero di incognite, quindi una sola soluzione (Rouché-Capelli). Con Gauss: $N = \left(\frac92, \frac{15}2, 6\right)$ kN, tutte positive (aste tese). Controllo: $2 \cdot \frac92 - 2 \cdot \frac{15}2 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓, $\frac92 + \frac{15}2 - 12 = 0$ ✓, $9 + 15 + 12 = 36$ ✓. È un sistema isostatico: tante aste quante servono.

Tre aste complanari: il sistema è incompatibile. Se la terza asta ha direzione $(0, 2, 4) = (2, 1, 2) + (-2, 1, 2)$, cioè sta nel piano delle prime due, la matrice dei coefficienti ha rango $2$ (la terza colonna è la somma delle prime due) mentre $\operatorname{rango}(A \,|\, B) = 3$: nessuna soluzione. Fisicamente: tre aste in uno stesso piano non possono equilibrare una forza fuori da quel piano; la struttura è un meccanismo e il nodo si sposta.

Quattro aste ($u_1, \dots, u_4$). Ora ci sono $3$ equazioni e $4$ incognite: $\operatorname{rango} = 3 < 4$, quindi $\infty^{4-3} = \infty^1$ soluzioni, che dipendono da un parametro. Riducendo:

$$N_1 = \tfrac92 - \tfrac12 N_4, \qquad N_2 = \tfrac{15}2 + \tfrac16 N_4, \qquad N_3 = 6 - \tfrac23 N_4,$$

con $N_4$ libera (per $N_4 = 0$ si ritrova la soluzione a tre aste). È una struttura iperstatica: le sole equazioni di equilibrio non bastano e serve la deformabilità delle aste per fissare $N_4$. Anche qui la soluzione è "una soluzione particolare più il nucleo", con nucleo generato da $\left(-\frac12, \frac16, -\frac23, 1\right)$.

Errori comuni

• Contare le equazioni senza controllare che siano indipendenti. Quattro equazioni in tre incognite non implicano "nessuna soluzione": conta il rango.
• Dire che le soluzioni di $AX = B$ con $B \ne 0$ formano un sottospazio. Non contengono $\vec 0$: sono un sottospazio traslato.
• Dimenticare la colonna dei termini noti nel calcolo di $\operatorname{rango}(A \,|\, B)$, o confrontare il rango di $(A \,|\, B)$ con il numero di equazioni invece che con $\operatorname{rango}(A)$.
• Scrivere "$\infty^{n-r}$" con $n$ = numero di equazioni: $n$ è il numero di incognite (colonne di $A$).