Esercizio 131una rotazione in R3, asse e angolo

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1. Ortogonalità e determinante

Colonne: $q_1 = \frac13(2, 2, -1)$, $q_2 = \frac13(-1, 2, 2)$, $q_3 = \frac13(2, -1, 2)$. Le norme sono $\frac13\sqrt{4 + 4 + 1} = 1$ per tutte e tre. I prodotti scalari: $$q_1 \cdot q_2 = \tfrac19(-2 + 4 - 2) = 0, \quad q_1 \cdot q_3 = \tfrac19(4 - 2 - 2) = 0, \quad q_2 \cdot q_3 = \tfrac19(-2 - 2 + 4) = 0 .$$ Quindi le colonne sono una base ortonormale e $Q^TQ = I$: $Q$ è ortogonale.

Determinante: per le colonne vale $\det Q = q_1 \cdot (q_2 \times q_3)$ (prodotto misto, Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →), e $$q_2 \times q_3 = \tfrac19\left(2\cdot2 - 2\cdot(-1),\ \ 2\cdot2 - (-1)\cdot2,\ \ (-1)(-1) - 2\cdot2\right) = \tfrac19(6, 6, -3) = \tfrac13(2, 2, -1) = q_1,$$ quindi $\det Q = q_1 \cdot q_1 = 1$. La matrice è ortogonale con determinante $1$: una rotazione.

2. Asse e angolo

Asse. È l'autospazio di $1$, $\operatorname{Ker}(Q - I)$: $$Q - I = \frac13\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} .$$ Sottraendo la seconda equazione dalla prima, $-3x_1 + 0 + 3x_3 = 0$, cioè $x_1 = x_3$; dalla seconda e dalla terza (sommate) $x_1 + x_2 - 2x_3 = 0$ da cui $x_2 = x_3$. L'asse è $\langle(1, 1, 1)\rangle$. Si poteva vedere subito: ogni riga di $Q$ ha somma $\frac13(2 - 1 + 2) = 1$, quindi $Q(1, 1, 1) = (1, 1, 1)$.

Angolo. $\operatorname{tr} Q = \frac13(2 + 2 + 2) = 2 = 1 + 2\cos\theta$, da cui $\cos\theta = \frac12$ e $\theta = \pm60^\circ$ ($\pm\frac\pi3$).

Verso. Si prende $u = (1, 1, 1)$ sull'asse e un vettore $v \perp u$, per esempio $v = (1, -1, 0)$ ($u \cdot v = 0$). Allora $Qv = \frac13(2 + 1,\ 2 - 2,\ -1 - 2) = (1, 0, -1)$ e $$v \times Qv = \left((-1)(-1) - 0\cdot0,\ \ 0\cdot1 - 1\cdot(-1),\ \ 1\cdot0 - (-1)\cdot1\right) = (1, 1, 1), \qquad u \cdot (v \times Qv) = 3 > 0 .$$ Il segno è positivo: la rotazione è antioraria guardando dalla punta di $u$. Controllo con i moduli: $\|v\| = \|Qv\| = \sqrt2$ e $\sin\theta = \frac{u\cdot(v\times Qv)}{\|u\|\,\|v\|\,\|Qv\|} = \frac{3}{\sqrt3\cdot 2} = \frac{\sqrt3}2$ ✓, che con $\cos\theta = \frac12$ dà $\theta = +60^\circ$.

Conclusione: $Q$ è la rotazione di $60^\circ$ attorno alla retta $\langle(1, 1, 1)\rangle$, in senso antiorario.

3. Immagine e controimmagine

$Q(3, 0, 0) = 3 \cdot \text{(prima colonna)} = (2, 2, -1)$. Il vettore ha la stessa norma, $\sqrt{9} = 3$ ✓, e forma con l'asse lo stesso angolo: $(3, 0, 0) \cdot (1, 1, 1) = 3 = (2, 2, -1) \cdot (1, 1, 1)$ ✓.

Un punto $x$ con $Qx = (3, 0, 0)$ è $x = Q^{-1}(3, 0, 0) = Q^T(3, 0, 0) = 3 \cdot \text{(prima riga di } Q) = (2, -1, 2)$, senza risolvere nessun sistema (l'inversa di una ortogonale è la trasposta). Controllo: $Q(2, -1, 2) = \frac13(4 + 1 + 4,\ 4 - 2 - 2,\ -2 - 2 + 4) = (3, 0, 0)$ ✓.

4. Potenze

$Q$ ruota di $60^\circ$ attorno a $u$, quindi $Q^3$ ruota di $180^\circ$ e $Q^6$ di $360^\circ$, cioè $Q^6 = I$. La rotazione di $180^\circ$ attorno a un asse di versore $\hat u$ manda $x$ in $2(x \cdot \hat u)\hat u - x$, ovvero ha matrice $2\hat u\hat u^T - I$; con $\hat u = \frac1{\sqrt3}(1, 1, 1)$ si ha $\hat u\hat u^T = \frac13\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&1&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix}$ e $$Q^3 = \frac23\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&1&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix} - I = \frac13\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad Q^6 = I .$$ Controllo: $Q^3$ è simmetrica con $(Q^3)^2 = I$ (per esempio la prima riga per se stessa dà $\frac19(1 + 4 + 4) = 1$) e fissa $(1, 1, 1)$: $\frac13(-1 + 2 + 2) = 1$ ✓.

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Errori comuni

• Trovare l'angolo dal coseno e non controllare il verso: $\theta$ e $-\theta$ hanno lo stesso coseno.
• Per $Q^{-1}$ fare l'eliminazione di Gauss: basta trasporre.
• Prendere $v$ non ortogonale all'asse nel calcolo del verso: il segno di $u \cdot (v \times Qv)$ ha significato solo per $v \perp u$.