Esercizio 141riconoscere proiezioni e simmetrie dalle matrici

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Il criterio è: $f$ è una proiezione se $f^2 = f$, è una simmetria se $f^2 = \mathrm{id}$ (Proiezioni e simmetrieSe V = U ⊕ W, ogni v si scrive in modo unico v = u + w; la proiezione su U lungo W manda v in u e la simmetria rispetto a U lungo W manda v in u − w. Una funzione lineare p è una proiezione se e solo se p² = p (Im p = U, Ker p = W, autovalori 1 e 0); è una simmetria se e solo se s² = I (autovalori 1 e −1), e s = 2p − I. Sono diagonalizzabili, con rango uguale alla traccia per le proiezioni. Se W = U⊥ si ha la proiezione ortogonale, la cui matrice è simmetrica.Proiezioni e simmetrie →).

1. Le tre matrici

$A$. $A^2 = \begin{pmatrix} 4 - 2 & -4 + 2 \\ 2 - 1 & -2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = A$: è una proiezione. L'immagine è lo spazio generato dalle colonne: $U = \operatorname{Im}A = \langle(2, 1)\rangle$ (la seconda colonna $(-2, -1)$ è un multiplo). Il nucleo si ottiene da $2x - 2y = 0$, cioè $x = y$: $W = \operatorname{Ker}A = \langle(1, 1)\rangle$. Controllo: $\operatorname{tr}A = 1 = \operatorname{rango}A$ ✓, e $A(2, 1) = (4 - 2, 2 - 1) = (2, 1)$ (i punti di $U$ sono fissati) ✓. Non è ortogonale: $(2, 1) \cdot (1, 1) = 3 \ne 0$ (e $A$ non è simmetrica).

$B$. $B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$: è una simmetria. Autospazi: $U = \operatorname{Ker}(B - I)$, con $B - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ che dà $y = 0$, quindi $U = \langle(1, 0)\rangle$; $W = \operatorname{Ker}(B + I)$, con $B + I = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ che dà $x = -y$, quindi $W = \langle(1, -1)\rangle$. Traccia $0 = \dim U - \dim W$ ✓.

$C$. $C^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 2C$: né l'una né l'altra. Ma $\frac12 C$ è una proiezione (infatti $(\frac12C)^2 = \frac14\cdot 2C = \frac12 C$): è la proiezione ortogonale su $\langle(1, 1)\rangle$ (è simmetrica, con traccia $1$).

2. La famiglia $M_h$

$$M_h^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & h \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & h \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & h + 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = M_h$$ (l'unico elemento non banale è $1\cdot h + 0\cdot0 + h\cdot0 = h$). Quindi $M_h$ è una proiezione per ogni $h$.

• Immagine. Le colonne sono $e_1$, $e_2$ e $he_1$: $U = \operatorname{Im}M_h = \langle e_1, e_2\rangle$ (il piano $z = 0$), per ogni $h$.
• Nucleo. Il sistema $M_h(x, y, z) = (x + hz,\ y,\ 0) = 0$ dà $y = 0$ e $x = -hz$: $W = \operatorname{Ker}M_h = \langle(-h, 0, 1)\rangle$. Cambia con $h$: si proietta sempre sul piano $z = 0$, ma lungo direzioni diverse.
• Ortogonale se $\operatorname{Ker}M_h = (\operatorname{Im}M_h)^\perp = \langle e_3\rangle$, cioè $-h = 0$: $h = 0$. Si conferma con la simmetria: $M_h^T = M_h$ se e solo se $h = 0$ (altrimenti $(M_h)_{13} = h \ne 0 = (M_h)_{31}$).

3. La famiglia $T_k$

Si impone $T_k^2 = I$: $$T_k^2 = \begin{pmatrix} k & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k^2 & k - 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .$$ Servono $k^2 = 1$ e $k - 1 = 0$: la seconda dà $k = 1$, che soddisfa anche la prima. Per $k = -1$ il primo elemento va bene ma $k - 1 = -2 \ne 0$: $T_{-1}^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ne I$. Quindi solo $k = 1$, e $T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Autospazi di $T_1$: $\operatorname{Ker}(T_1 - I)$ con $T_1 - I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ dà $y = 0$, $U = \langle(1, 0)\rangle$; $\operatorname{Ker}(T_1 + I)$ con $T_1 + I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ dà $y = -2x$, $W = \langle(1, -2)\rangle$. Controllo: $T_1(1, -2) = (1 - 2,\ 2) = (-1, 2) = -(1, -2)$ ✓.

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Errori comuni

• Giudicare dagli autovalori o dalla traccia: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ha traccia $2$ e autovalori $1, 1$ ma il suo quadrato è $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \ne I$. Il controllo da fare è sempre $f^2 = f$ oppure $f^2 = \mathrm{id}$.
• Per $T_k$ risolvere solo $k^2 = 1$ e dare $k = \pm 1$: le altre entrate di $T_k^2 = I$ vanno imposte tutte.
• Dimenticare che il nucleo di $M_h$ dipende da $h$.