Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio 122 · radici n-esime e equazioni zn = w

Esercizio 122radici n-esime e equazioni zn = w

In questa pagina 5

Testo. Risolvere in C\mathbb{C} e rappresentare le soluzioni nel piano complesso:

  1. z2=−5+12iz^2 = -5 + 12i;
  2. z3=−27z^3 = -27;
  3. z4=−8+83 iz^4 = -8 + 8\sqrt3\, i;
  4. z6=1z^6 = 1, e verificare che la somma delle sei radici è 00.

Teoria: Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenzialeUn numero complesso è z = a + ib con i² = −1: si somma e si moltiplica come un polinomio in i, si divide con il coniugato, e si disegna come il punto (a, b) del piano. In forma trigonometrica z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ} il prodotto moltiplica i moduli e somma gli argomenti, da cui la formula di De Moivre zⁿ = rⁿ e^{inθ} e le n radici n-esime, che stanno ai vertici di un poligono regolare. Il teorema fondamentale dell'algebra dice che ogni polinomio di grado n ha n radici complesse (contate con molteplicità).Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale →.

Per zn=wz^n = w con w=seiφw = s e^{i\varphi} ci sono nn soluzioni zk=sn ei(φ+2kπ)/nz_k = \sqrt[n]{s}\, e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}, k=0,…,n−1k = 0, \dots, n - 1, ai vertici di un poligono regolare.

1. z2=−5+12iz^2 = -5 + 12i

Con le radici quadrate si può evitare la trigonometria (l'argomento di −5+12i-5 + 12i non è un angolo noto). Si pone z=x+iyz = x + iy: z2=x2−y2+2ixy=−5+12i⟹x2−y2=−5,2xy=12.z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = -5 + 12i \quad\Longrightarrow\quad x^2 - y^2 = -5, \quad 2xy = 12 . Si aggiunge un'equazione uguagliando i moduli: ∣z∣2=∣z2∣|z|^2 = |z^2|, cioè x2+y2=∣−5+12i∣=25+144=13x^2 + y^2 = |-5 + 12i| = \sqrt{25 + 144} = 13. Sommando e sottraendo x2−y2=−5x^2 - y^2 = -5 e x2+y2=13x^2 + y^2 = 13 si ha 2x2=82x^2 = 8 e 2y2=182y^2 = 18, cioè x2=4x^2 = 4, y2=9y^2 = 9. Da xy=6>0xy = 6 > 0 i segni sono concordi: z=±(2+3i).z = \pm(2 + 3i) . Controllo: (2+3i)2=4+12i−9=−5+12i(2 + 3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i ✓. Le due radici sono opposte, come sempre per n=2n = 2.

2. z3=−27z^3 = -27

−27=27eiπ-27 = 27e^{i\pi}, quindi s=27s = 27, φ=π\varphi = \pi, 273=3\sqrt[3]{27} = 3: zk=3 ei(π+2kπ)/3,k=0,1,2.z_k = 3\,e^{i(\pi + 2k\pi)/3}, \quad k = 0, 1, 2 .

  • k=0k = 0: angolo π3\frac\pi3, z0=3(12+i32)=32+332 iz_0 = 3\left(\frac12 + i\frac{\sqrt3}2\right) = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\, i;
  • k=1k = 1: angolo π\pi, z1=−3z_1 = -3;
  • k=2k = 2: angolo 5π3\frac{5\pi}3, z2=3(12−i32)=32−332 iz_2 = 3\left(\frac12 - i\frac{\sqrt3}2\right) = \frac32 - \frac{3\sqrt3}2\, i.

Controllo: (−3)3=−27(-3)^3 = -27 ✓. È un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio 33, con un vertice nella radice reale −3-3. Le altre due sono coniugate (il polinomio z3+27z^3 + 27 ha coefficienti reali).

3. z4=−8+83 iz^4 = -8 + 8\sqrt3\, i

Modulo: s=64+192=16s = \sqrt{64 + 192} = 16. Argomento: cos⁡φ=−12\cos\varphi = -\frac12, sin⁡φ=32\sin\varphi = \frac{\sqrt3}2, cioè φ=2π3\varphi = \frac{2\pi}3. Allora 164=2\sqrt[4]{16} = 2 e zk=2 ei(2π/3+2kπ4)=2 ei(π6+kπ2),k=0,1,2,3.z_k = 2\,e^{i\left(\frac{2\pi/3 + 2k\pi}{4}\right)} = 2\,e^{i\left(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2\right)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 . Gli argomenti sono π6,2π3,7π6,5π3\frac\pi6, \frac{2\pi}3, \frac{7\pi}6, \frac{5\pi}3 (passo π2\frac\pi2), e le radici:

kk angolo zkz_k
00 π6\frac\pi6 3+i\sqrt3 + i
11 2π3\frac{2\pi}3 −1+i3-1 + i\sqrt3
22 7π6\frac{7\pi}6 −3−i-\sqrt3 - i
33 5π3\frac{5\pi}3 1−i31 - i\sqrt3

Controllo su z0z_0: z04=24ei4π/6=16ei2π/3=16(−12+i32)=−8+83 iz_0^4 = 2^4 e^{i4\pi/6} = 16e^{i2\pi/3} = 16\left(-\frac12 + i\frac{\sqrt3}2\right) = -8 + 8\sqrt3\, i ✓. Sono i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza di raggio 22; ciascuna si ottiene dalla precedente moltiplicando per ii (rotazione di π2\frac\pi2).

Grafico interattivo: Le quattro radici di z⁴ = −8 + 8√3 i: vertici di un quadrato sulla circonferenza di raggio 2, ciascuna ruotata di 90 gradi rispetto alla precedente

4. z6=1z^6 = 1

1=ei01 = e^{i0}, quindi zk=e2kπi/6=eikπ/3z_k = e^{2k\pi i/6} = e^{ik\pi/3}, k=0,…,5k = 0, \dots, 5: 1, 12+32i, −12+32i, −1, −12−32i, 12−32i1,\ \frac12 + \frac{\sqrt3}2 i,\ -\frac12 + \frac{\sqrt3}2 i,\ -1,\ -\frac12 - \frac{\sqrt3}2 i,\ \frac12 - \frac{\sqrt3}2 i (esagono regolare di lato 11).

Somma delle radici. Sommando parti reali: 1+12−12−1−12+12=01 + \frac12 - \frac12 - 1 - \frac12 + \frac12 = 0; sommando parti immaginarie: 0+32+32+0−32−32=00 + \frac{\sqrt3}2 + \frac{\sqrt3}2 + 0 - \frac{\sqrt3}2 - \frac{\sqrt3}2 = 0. Quindi la somma è 00. È un fatto generale: le radici sono i vertici di un poligono regolare centrato nell'origine, e per simmetria il baricentro è l'origine. Si vede anche dal polinomio z6−1z^6 - 1: nella scomposizione (z−z0)⋯(z−z5)(z - z_0)\cdots(z - z_5) il coefficiente di z5z^5 è −(z0+⋯+z5)-(z_0 + \dots + z_5), e in z6−1z^6 - 1 è 00.

Errori comuni

  • Trovare una sola radice (di solito la "principale"): sono nn.
  • Dimenticare di dividere anche 2kπ2k\pi per nn: l'angolo φ+2kπn\frac{\varphi + 2k\pi}{n} non è φn+2kπ\frac\varphi n + 2k\pi.
  • Per z2=a+ibz^2 = a + ib risolvere solo x2−y2=ax^2 - y^2 = a e 2xy=b2xy = b: manca la terza equazione sui moduli, che rende il sistema semplice.
  • Prendere sn\sqrt[n]{s} con ss il modulo sbagliato (per esempio s=8s = 8 al posto di 1616 nel punto 3).

Versione ripasso

Testo. Risolvere z2=−5+12iz^2 = -5 + 12i, z3=−27z^3 = -27, z4=−8+83 iz^4 = -8 + 8\sqrt3\,i, z6=1z^6 = 1.

  • Formula: zn=seiφz^n = se^{i\varphi} ha nn soluzioni sn ei(φ+2kπ)/n\sqrt[n]{s}\,e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}, k=0,…,n−1k = 0, \dots, n - 1, vertici di un nn-agono regolare.
  • z2=−5+12iz^2 = -5 + 12i: x2−y2=−5x^2 - y^2 = -5, 2xy=122xy = 12, x2+y2=13x^2 + y^2 = 13 ⇒\Rightarrow z=±(2+3i)z = \pm(2 + 3i).
  • z3=−27=27eiπz^3 = -27 = 27e^{i\pi}: z=3ei(π+2kπ)/3z = 3e^{i(\pi + 2k\pi)/3}, cioè 32±332i\frac32 \pm \frac{3\sqrt3}2 i e −3-3.
  • z4=16ei2π/3z^4 = 16e^{i2\pi/3}: z=2ei(π/6+kπ/2)z = 2e^{i(\pi/6 + k\pi/2)}, cioè 3+i, −1+i3, −3−i, 1−i3\sqrt3 + i,\ -1 + i\sqrt3,\ -\sqrt3 - i,\ 1 - i\sqrt3 (quadrato).
  • z6=1z^6 = 1: z=eikπ/3z = e^{ik\pi/3}; la somma delle sei radici è 00 (coefficiente di z5z^5 in z6−1z^6 - 1).

Errori tipici: una sola radice; φn+2kπ\frac\varphi n + 2k\pi invece di φ+2kπn\frac{\varphi + 2k\pi}n. Passaggi. z3=−27z^3 = -27: z0=3eiπ/3=32+332iz_0 = 3e^{i\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2 i, z1=3eiπ=−3z_1 = 3e^{i\pi} = -3, z2=3ei5π/3=32−332iz_2 = 3e^{i5\pi/3} = \frac32 - \frac{3\sqrt3}2 i. z4z^4: modulo 64+192=16\sqrt{64 + 192} = 16, argomento 2π3\frac{2\pi}3, passo π2\frac{\pi}2. z6=1z^6 = 1: somma delle parti reali 1+12−12−1−12+12=01 + \frac12 - \frac12 - 1 - \frac12 + \frac12 = 0 e delle immaginarie 00.

Teoria collegata