Fasci di piani

Prerequisiti: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →. Esercizi: Esercizio 105 · una stella di piani per un punto (appello 2/7/2021), Esercizio 106 · retta parallela a un piano e intersezione di piani (appello 3/2/2026).

Il fascio di piani per una retta

Sia $r$ una retta di $\mathbb{A}^3$ data come intersezione di due piani:

$$r: \begin{cases} f_1(x, y, z) = a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 \\ f_2(x, y, z) = a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \end{cases}$$

Teorema. I piani che contengono $r$ sono tutti e soli i piani di equazione $$\lambda f_1 + \mu f_2 = 0, \qquad (\lambda, \mu) \ne (0, 0),$$ cioè $(\lambda a_1 + \mu a_2) x + (\lambda b_1 + \mu b_2) y + (\lambda c_1 + \mu c_2) z + (\lambda d_1 + \mu d_2) = 0$. L'insieme di questi piani si chiama fascio di piani di asse (o sostegno) $r$.

Esempio. La retta $r$ di equazioni $x = 0$, $y = 0$ (l'asse $z$) ha il fascio $\lambda x + \mu y = 0$: contiene $x = 0$ ($\mu = 0$), $y = 0$ ($\lambda = 0$) e $x + y = 0$ ($\lambda = \mu = 1$). Sono i piani "verticali" che ruotano attorno all'asse $z$, come le pagine di un libro aperto attorno alla costola.

Perché ogni piano del fascio contiene $r$. Se $X \in r$, allora $f_1(X) = 0$ e $f_2(X) = 0$, quindi $\lambda f_1(X) + \mu f_2(X) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$. Inoltre l'equazione è davvero un piano (i coefficienti di $x, y, z$ non sono tutti nulli): la normale del piano del fascio è $\lambda (a_1, b_1, c_1) + \mu (a_2, b_2, c_2)$, e le due normali non sono proporzionali, cioè sono linearmente indipendentiUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →; per definizione di indipendenza nessuna loro combinazione con $(\lambda, \mu) \ne (0, 0)$ è il vettore nullo.

Perché ogni piano per $r$ è del fascio. Sia $\pi: g = 0$ un piano che contiene $r$, con $g = a x + b y + c z + d$. Il sistema $f_1 = 0$, $f_2 = 0$, $g = 0$ (tre equazioni in tre incognite) ha come soluzioni tutta la retta $r$, cioè un insieme di dimensione $1$. Per Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → le soluzioni di un sistema compatibile formano un sottospazio affine di dimensione $3 - \operatorname{rango}(A)$, quindi la matrice dei coefficienti ha rango $3 - 1 = 2$, e dato che il sistema è compatibile anche la matrice completa $$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a & b & c & d \end{pmatrix}$$ ha rango $2$. Le prime due righe sono già indipendenti (le normali non sono proporzionali), quindi formano una base dello spazio generato dalle righe, e la terza riga è loro combinazione lineare: $(a, b, c, d) = \lambda (a_1, b_1, c_1, d_1) + \mu (a_2, b_2, c_2, d_2)$, cioè $g = \lambda f_1 + \mu f_2$. ∎

Nel piano $\mathbb{A}^2$ vale lo stesso teorema un gradino più in basso: due rette $f_1 = 0$, $f_2 = 0$ che si incontrano in un punto $P$ generano tutte le rette per $P$ (il fascio di rette di centro $P$). Il grafico mostra cinque rette di questo fascio; nello spazio, guardando il fascio di piani "di taglio" lungo la direzione di $r$, si vede esattamente questa figura, con $r$ al posto del punto.

$(\lambda, \mu)$ e $(c\lambda, c\mu)$ danno lo stesso piano (equazione moltiplicata per $c \ne 0$): conta solo il rapporto. Per questo spesso si scrive il fascio con un solo parametro, $f_1 + k f_2 = 0$ (si è diviso per $\lambda$, quindi si è supposto $\lambda \ne 0$, e $k = \mu / \lambda$); ma così si perde il piano $f_2 = 0$ (corrisponde a $\lambda = 0$), che va controllato a parte.

Come si usa

Il fascio trasforma "trovare un piano che contiene $r$ e soddisfa una condizione" in "trovare $(\lambda, \mu)$": la condizione dà un'equazione lineare omogenea in $\lambda, \mu$.

Esempio guida: $r: \ x + y - z - 1 = 0, \ x - y - 3 = 0$ (la retta $X = (3, 0, 2) + t(1, 1, 2)$ di Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →; le normali $(1, 1, -1)$ e $(1, -1, 0)$ non sono proporzionali). Fascio:

$$\lambda(x + y - z - 1) + \mu(x - y - 3) = 0 .$$

Raccogliendo le incognite: $(\lambda + \mu)\,x + (\lambda - \mu)\,y - \lambda\, z + (-\lambda - 3\mu) = 0$, quindi la normale del piano del fascio è

$$n = (\lambda + \mu, \ \lambda - \mu, \ -\lambda).$$

1. Piano per $r$ e per un punto $P \notin r$. Si impone il passaggio per $P$. Con $P = (0, 0, 0)$ (che non sta su $r$: $f_2(0, 0, 0) = -3 \ne 0$): $f_1(P) = -1$, $f_2(P) = -3$, quindi $\lambda(-1) + \mu(-3) = 0$, cioè $\lambda = -3\mu$. Si sceglie un valore qualsiasi non nullo, per esempio $\mu = 1$, $\lambda = -3$:

$$-3(x + y - z - 1) + (x - y - 3) = -3x - 3y + 3z + 3 + x - y - 3 = -2x - 4y + 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 4y - 3z = 0$$

(moltiplicando per $-1$, che non cambia il piano).

Controllo: contiene $(3, 0, 2) \in r$ ($6 + 0 - 6 = 0$ ✓), la direzione $(1, 1, 2)$ è ortogonale alla normale ($2 + 4 - 6 = 0$ ✓), e passa per l'origine ✓.

2. Piano per $r$ parallelo a un vettore $u$ (per esempio parallelo a un'altra retta, $u$ = suo direttore). Un piano è parallelo a $u$ quando $u$ sta nel suo spazio direttore, cioè è ortogonale alla normale: si impone $n \cdot u = 0$. Con $u = (1, 0, 0)$: $n \cdot u = (\lambda + \mu) \cdot 1 + (\lambda - \mu) \cdot 0 + (-\lambda) \cdot 0 = \lambda + \mu = 0$; con $\lambda = 1$, $\mu = -1$:

$$(x + y - z - 1) - (x - y - 3) = x + y - z - 1 - x + y + 3 = 2y - z + 2 = 0 .$$

Controllo: $(0, 2, -1) \cdot (1, 0, 0) = 0$ ✓; contiene $(3, 0, 2)$: $0 - 2 + 2 = 0$ ✓.

3. Piano per $r$ ortogonale a un piano $\sigma$ di normale $m$. Due piani sono ortogonali quando lo sono le loro normali (Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →): si impone $n \cdot m = 0$. Con $\sigma: x + y + z = 0$, $m = (1, 1, 1)$: $(\lambda + \mu) + (\lambda - \mu) - \lambda = \lambda = 0$. Quindi $\lambda = 0$, $\mu = 1$: il piano è $x - y - 3 = 0$, cioè proprio $f_2 = 0$. Ecco perché conviene tenere entrambi i parametri: con la forma $f_1 + k f_2 = 0$ si sarebbe trovato "nessun $k$" e si sarebbe dovuto ricordare di controllare $f_2$ a parte.

Se la retta è data in forma parametrica, per usare il fascio bisogna prima scriverne due equazioni cartesiane eliminando il parametro (come in Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →), oppure si cerca direttamente la normale del piano, ortogonale al direttore di $r$ e alla direzione richiesta, con il prodotto vettorialeIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →.

Controllo dell'esempio 2 con il prodotto vettoriale. La normale deve essere ortogonale al direttore $(1, 1, 2)$ di $r$ e a $u = (1, 0, 0)$: $(1, 1, 2) \times (1, 0, 0) = (1 \cdot 0 - 2 \cdot 0, \ 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0, \ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (0, 2, -1)$, e il piano per $(3, 0, 2)$ con questa normale è $2y - (z - 2) = 0$, cioè $2y - z + 2 = 0$ ✓.

Fascio di piani paralleli

I piani paralleli a un piano dato $ax + by + cz + d = 0$ sono

$$ax + by + cz + k = 0, \qquad k \in \mathbb{R}$$

(stessa normale, termine noto libero): si chiama fascio improprio. Si usa per trovare il piano parallelo a $\pi$ che passa per un punto (si impone il passaggio e si ricava $k$) o che sta a distanza assegnata da $\pi$ (con la formula della distanzaLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →, $\frac{|k - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ = distanza voluta, con due soluzioni, una per parte).

Esempio. Piani paralleli a $\pi: x + 2y + 2z + 1 = 0$:

• per il punto $(1, 1, 1)$: $1 + 2 + 2 + k = 0$, $k = -5$, piano $x + 2y + 2z - 5 = 0$;
• a distanza $2$ da $\pi$: $\frac{|k - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|k - 1|}{3} = 2$, cioè $|k - 1| = 6$, quindi $k - 1 = 6$ oppure $k - 1 = -6$: $k = 7$ o $k = -5$. I due piani sono $x + 2y + 2z + 7 = 0$ e $x + 2y + 2z - 5 = 0$, uno per parte. (Il secondo è quello del punto precedente: infatti $(1, 1, 1)$ dista $\frac{|1 + 2 + 2 + 1|}{3} = 2$ da $\pi$.)

Stella di piani per un punto

I piani che passano per un punto $P = (p_1, p_2, p_3)$ sono

$$a(x - p_1) + b(y - p_2) + c(z - p_3) = 0, \qquad (a, b, c) \ne (0, 0, 0),$$

con la normale $(a, b, c)$ libera: è la stella di piani di centro $P$ (è la formula del piano per un punto con normale assegnata, $n \cdot (X - P) = 0$, lasciando $n$ variabile). Equivalentemente, se tre piani $f_1 = 0$, $f_2 = 0$, $f_3 = 0$ si incontrano solo in $P$, la stella è $\alpha f_1 + \beta f_2 + \gamma f_3 = 0$ con $(\alpha, \beta, \gamma) \ne (0, 0, 0)$. Riconoscere una stella scritta in questa forma è il tema dell'Esercizio 105 · una stella di piani per un punto (appello 2/7/2021).

Errori comuni

• Usare $f_1 + k f_2 = 0$ e dimenticare il piano $f_2 = 0$: se le condizioni portano a "nessun valore di $k$", la risposta può essere proprio $f_2 = 0$.
• Usare il fascio con una retta in forma parametrica senza prima passare alle cartesiane.
• Scegliere $(\lambda, \mu) = (0, 0)$: non dà un piano (dà $0 = 0$).