Resistore e legge di Ohm

Prima parte della lezione 3 ("Resistori e generatori elettrici"). Prima: Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →. Seguito: Generatori elettrici, GIT e GATUn generatore contiene un campo non conservativo che spinge le cariche; a vuoto la sua tensione è uguale alla forza elettromotrice, a carico cala di Ri·I. Il GIT (v = e per ogni i) è il modello senza perdite, il GAT (V = E − Ri I) aggiunge la resistenza interna; collegando un carico si trova il punto di lavoro.Generatori elettrici, GIT e GAT →. Domande di verifica: Autoverifica Lezione 3 - domande e risposte.

Il modello circuitale di un componente

In una rete, ogni componente interagisce con il resto solo attraverso i terminali. Le relazioni tra tensioni e correnti si dividono in due tipi:

• le Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT)LKC: in ogni istante la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa (per esempio attorno a un nodo) è zero. LKT: in ogni istante la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso che tocca solo nodi (per esempio una maglia) è zero. Dipendono solo da come sono collegati i componenti.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) → dipendono solo da come i componenti sono collegati (topologia);
• l'equazione del componente dipende solo dalla sua natura fisica (tipologia), non dal circuito in cui è inserito.

In questa lezione si parte da due componenti "fisici", il conduttore e la pila, e si costruisce per ciascuno un modello circuitale (un bipolo con la sua equazione) che ne riproduce abbastanza bene il comportamento ai terminali.

Conduzione elettrica

La conduzione è il moto delle cariche libere (elettroni nei metalli, ioni nelle soluzioni) in un materiale sotto l'azione del campo elettrico. Coinvolge due campi:

• $\mathbf E(P,t)$, legato alla tensione (definita su una linea, dominio a una dimensione);
• $\mathbf J(P,t)$, legato alla corrente (definita su una superficie, dominio a due dimensioni).

Per studiarla conviene mettersi in condizioni quasi stazionarie: $\mathbf J$ solenoidale ($\nabla \cdot \mathbf J = 0$) ed $\mathbf E$ conservativo ($\nabla \times \mathbf E = 0$, quindi $\mathbf E = -\nabla U$).

Legge di Ohm

Legge di Ohm. L'esperienza di Ohm. Un cilindro di materiale omogeneo, con sezione $S$, è collegato a un generatore. Un amperometro misura la corrente $I$ nel cilindro e un voltmetro la tensione $V$ tra due sezioni $S_A$ e $S_B$ a distanza $\ell$ (con la convenzione dell'utilizzatore). Per molti materiali si trova che, qualunque sia $V$:

$$V = R\,I \qquad\text{oppure}\qquad I = G\,V, \quad G = \frac1R, \qquad R > 0$$

Esempio. Un resistore con $V = 12\ \mathrm V$ ai capi e $I = 0{,}5\ \mathrm A$ ha $R = V/I = 24\ \Omega$, cioè $G = 1/24 \approx 0{,}042\ \mathrm S$.

Resistenza di un cilindro

Sperimentalmente $R$ dipende dalla geometria e dal materiale così:

Formula (resistenza di un cilindro). $$R = \rho\,\frac{\ell}{S} \qquad\qquad G = \gamma\,\frac{S}{\ell}$$

• $\rho$ = resistività del materiale, in $\Omega\,\mathrm m$;
• $\gamma = 1/\rho$ = conducibilità (o conduttività), in $\mathrm{S/m}$.

Perché ha senso. Più il conduttore è lungo, più "strada" devono fare le cariche: $R$ cresce con $\ell$. Più è largo, più cariche possono passare insieme: $R$ cala con $S$. È come l'acqua in un tubo.

Esempio. Filo di rame ($\rho \approx 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m$), lungo $\ell = 10\ \mathrm m$, sezione $S = 1{,}5\ \mathrm{mm^2} = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$:

$$R = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{10}{1{,}5 \cdot 10^{-6}} \approx 0{,}113\ \Omega$$

Attenzione alle unità: la sezione va convertita in $\mathrm{m^2}$ ($1\ \mathrm{mm^2} = 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$), altrimenti si sbaglia di un fattore un milione.

Resistività dei materiali

Tra un buon conduttore e un buon isolante ci sono più di 20 ordini di grandezza.

Formula (dipendenza della resistività dalla temperatura). Dipendenza dalla temperatura. Di solito

$$\rho = \rho_0\,\big(1 + \alpha\,(T - T_0)\big)$$

dove $\rho_0$ è la resistività misurata alla temperatura di riferimento $T_0$ e $\alpha$ è il coefficiente di temperatura del materiale. Nei metalli $\alpha > 0$ (scaldandosi conducono peggio), nei semiconduttori $\alpha < 0$.

Esempio. Rame, $\alpha \approx 0{,}0039\ \mathrm K^{-1}$, da $20\ ^\circ\mathrm C$ a $70\ ^\circ\mathrm C$: $\rho = \rho_0\,(1 + 0{,}0039 \cdot 50) \approx 1{,}2\,\rho_0$, cioè $+20\%$. Il filamento di tungsteno di una lampadina ($\alpha \approx 0{,}0045\ \mathrm K^{-1}$) passa da $20$ a circa $2500\ ^\circ\mathrm C$: la sua resistività (quindi la sua resistenza) diventa circa $12$ volte quella a freddo.

Effetto Joule

Legge di Joule (potenza dissipata da un resistore). Con la convenzione dell'utilizzatore e la legge di Ohm, la potenza entrante nel conduttore è

$$P = V\,I = R\,I^2 = \frac{V^2}{R} = G\,V^2$$

(si sostituisce $V = RI$ oppure $I = V/R$). Con $R > 0$ questa potenza è sempre positiva, quindi è sempre assorbita. Sperimentalmente il conduttore si scalda: la potenza elettrica diventa calore, cioè è dissipata (non immagazzinata). È l'effetto Joule.

In regime quasi stazionario vale lo stesso istante per istante: $v = R\,i$ e $p = v\,i = R\,i^2 = G\,v^2 \ge 0$.

Conseguenza: siccome $p \ge 0$ in ogni istante, il lavoro uscente è sempre $\le 0$: un componente che segue la legge di Ohm (con $R > 0$) è passivo (vedi la definizione in Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →).

Esempio. Una lampadina da $R = 5\ \Omega$ percorsa da $I = 0{,}3\ \mathrm A$ assorbe $P = 5 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}45\ \mathrm W$.

Legge di Ohm in forma locale

Legge di Ohm in forma locale. La relazione $V = RI$ per un cilindro discende da una relazione che vale punto per punto nel materiale (la legge di Ohm alle grandezze specifiche):

$$\mathbf E = \rho\,\mathbf J \qquad (\text{equivalentemente } \mathbf J = \gamma\,\mathbf E)$$

Esempio. Nel rame ($\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m$) con $J = 10^{6}\ \mathrm{A/m^2}$ il campo è $E = \rho J = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{6} = 1{,}7 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{V/m}$.

Infatti nel cilindro $\mathbf E$ e $\mathbf J$ sono uniformi e diretti lungo l'asse, quindi

$$R = \frac VI = \frac{\int \mathbf E \cdot \mathbf t\,d\ell}{\int \mathbf J \cdot \mathbf n\,dS} = \frac{E\,\ell}{J\,S} = \frac{\rho J\,\ell}{J\,S} = \rho\,\frac{\ell}{S}$$

Come $v\,i$ è una potenza, il prodotto scalare dei campi è una densità di potenza (in $\mathrm{W/m^3}$):

$$p = \mathbf E \cdot \mathbf J = \rho\,\mathbf J \cdot \mathbf J = \rho\,J^2$$

Integrata sul volume del conduttore, dà la potenza dissipata.

Il resistore ideale

Definizione (resistore ideale). È il bipolo con equazione (convenzione dell'utilizzatore)

$$v = R\,i \qquad\Longleftrightarrow\qquad i = G\,v, \quad G = \frac1R$$

Esempio. Con $R = 5\ \Omega$ e $i = 2\ \mathrm A$ si ha $v = R\,i = 10\ \mathrm V$; con $v = 7{,}5\ \mathrm V$ si ha $i = G\,v = 0{,}2 \cdot 7{,}5 = 1{,}5\ \mathrm A$.

La sua caratteristica nel piano $v$–$i$ è una retta per l'origine. Se si mette $i$ in ascissa e $v$ in ordinata la pendenza è $\tan\alpha = R$; con gli assi scambiati è $\tan\beta = G$.

Proprietà:

• lineare: la caratteristica è una retta passante per l'origine (raddoppiando $i$ raddoppia $v$);
• tempo-invariante: $R$ e $G$ sono costanti;
• bilaterale: invertendo entrambi i riferimenti la caratteristica non cambia (da $v = Ri$ si passa a $-v = R(-i)$, che è la stessa equazione). In pratica il resistore non ha un "verso" di collegamento.

Potenza: $p = v\,i = R\,i^2 = G\,v^2$.

• Se $R > 0$ il resistore ideale è passivo: è il modello dei resistori fisici (conduzione e dissipazione).
• Se $R < 0$ sarebbe attivo ($p < 0$: eroga potenza). Non esiste come componente singolo, ma si ottiene con circuiti elettronici e torna utile nei modelli.

Casi limite: cortocircuito e circuito aperto

Definizione (cortocircuito e circuito aperto).

Bipolo	Parametri	Equazione	Potenza	Caratteristica
cortocircuito	$R = 0$ ($G = \infty$)	$v = 0$ per ogni $i$	$p = 0$	l'asse delle correnti
circuito aperto	$R = \infty$ ($G = 0$)	$i = 0$ per ogni $v$	$p = 0$	l'asse delle tensioni

Esempio. Un filo ideale ($R = 0$) percorso da $3\ \mathrm A$ ha $v = 0$; un interruttore aperto ($R = \infty$) con $12\ \mathrm V$ ai capi ha $i = 0$; in entrambi i casi $p = 0$.

Il cortocircuito è un filo ideale (come un amperometro idealeStrumento in serie che misura la corrente senza tensione ai suoi capi.Carica e corrente elettrica →); il circuito aperto è un'interruzione (come un voltmetro idealeStrumento in parallelo che misura la tensione senza assorbire corrente.Tensione elettrica e potenziale →). Nessuno dei due scambia potenza.

Appendice: altre geometrie

Lo stesso ragionamento ($\mathbf E = \rho\mathbf J$, poi integrare) dà la resistenza di conduttori non cilindrici. In tutti i casi le due superfici estreme $S_A$ e $S_B$ sono equipotenziali, la tensione è $V = U_A - U_B > 0$ e la corrente si distribuisce uniformemente su ogni superficie intermedia di raggio $r$.

Guscio cilindrico (tra due cilindri coassiali di raggi $r_A < r_B$, lunghezza $\ell$; campo radiale). La superficie intermedia è un cilindro di area $2\pi r \ell$:

$$J(r) = \frac{I}{2\pi r\ell}, \qquad E_c(r) = \rho J = \frac{\rho I}{2\pi r \ell}, \qquad V = \int_{r_A}^{r_B} \frac{\rho I}{2\pi r\ell}\,dr = \frac{\rho I}{2\pi\ell}\ln\frac{r_B}{r_A}$$

$$\Longrightarrow\quad R = \frac VI = \frac{\rho}{2\pi\ell}\,\ln\frac{r_B}{r_A}$$

Esempio: l'isolante di un cavo coassiale ($\rho = 10^{12}\ \Omega\,\mathrm m$, $\ell = 1\ \mathrm m$, $r_A = 1\ \mathrm{mm}$, $r_B = 3\ \mathrm{mm}$) ha $R = \frac{10^{12}}{2\pi}\ln 3 \approx 1{,}7 \cdot 10^{11}\ \Omega$: la corrente che "scappa" attraverso l'isolante è trascurabile.

Guscio sferico (tra due sfere concentriche, area intermedia $4\pi r^2$):

$$J(r) = \frac{I}{4\pi r^2}, \qquad V = \int_{r_A}^{r_B} \frac{\rho I}{4\pi r^2}\,dr = \frac{\rho I}{4\pi}\left(\frac1{r_A} - \frac1{r_B}\right) \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{\rho}{4\pi}\left(\frac1{r_A} - \frac1{r_B}\right)$$

Guscio emisferico (metà della sfera): l'area è dimezzata, quindi la resistenza raddoppia:

$$R = \frac{\rho}{2\pi}\left(\frac1{r_A} - \frac1{r_B}\right) \quad\xrightarrow{\ r_B \to \infty\ }\quad R = \frac{\rho}{2\pi r_A}$$

È il modello semplificato del dispersore di terra degli impianti elettrici (un elettrodo semisferico piantato nel terreno, con il "ritorno" all'infinito). Esempio: terreno con $\rho = 100\ \Omega\,\mathrm m$, $r_A = 0{,}5\ \mathrm m$: $R = \frac{100}{2\pi \cdot 0{,}5} \approx 32\ \Omega$.

Errori comuni

• Usare $V = RI$ con la convenzione del generatore. Con la corrente uscente dal $+$ l'equazione del resistore diventa $V = -RI$.
• Dimenticare di convertire i $\mathrm{mm^2}$ in $\mathrm{m^2}$ in $R = \rho\ell/S$.
• Confondere resistenza e resistività: la prima dipende dalla forma del pezzo ($\Omega$), la seconda solo dal materiale ($\Omega\,\mathrm m$).