Esercizio 1.17 - trasformazione stella-triangolo

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Le formule stella → triangolo

$$R_{12} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3}, \qquad R_{23} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1}, \qquad R_{31} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2}$$

Il numeratore è lo stesso per tutti e tre (la somma dei prodotti a due a due). Al denominatore c'è il resistore della stella opposto al lato cercato: per $R_{12}$ si divide per $R_3$, quello attaccato al nodo 3Il lato 1-2 del triangolo non tocca il nodo 3: si divide per il resistore della stella che va al nodo 3..

Caso 1

Numeratore comune:

$$R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1 = 10 \cdot 20 + 20 \cdot 40 + 40 \cdot 10 = 200 + 800 + 400 = 1400\ \Omega^2$$

$$R_{12} = \frac{1400}{40} = 35\ \Omega, \qquad R_{23} = \frac{1400}{10} = 140\ \Omega, \qquad R_{31} = \frac{1400}{20} = 70\ \Omega$$

Controllo di buon senso. Tra i nodi 1 e 2, con il nodo 3 libero, la stella offre $R_1 + R_2 = 30\ \Omega$. Il triangolo offre $R_{12}$ in parallelo a $R_{23} + R_{31}$:

$$35 \parallel (140 + 70) = \frac{35 \cdot 210}{245} = 30\ \Omega \ ✓$$

Le due configurazioni si comportano allo stesso modo tra 1 e 2.

Osservazione. Il lato più piccolo del triangolo ($R_{12} = 35$) è quello tra i nodi i cui resistori della stella sono più piccoli ($R_1$, $R_2$): il nodo 3, collegato con il resistore grande $R_3 = 40$, è "lontano" dagli altri, e il triangolo lo rappresenta con lati grandi ($140$ e $70$).

Caso 2

Numeratore: $3 \cdot (10 \cdot 10) = 300\ \Omega^2$; ogni lato vale $300/10 = 30\ \Omega$.

È il caso simmetrico: $R_\Delta = 3\, R_Y = 3 \cdot 10 = 30\ \Omega$.