Esercizio 1.21 - resistenza equivalente, rete con diagonali

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Testo (Eserciziario, es. 1.21). Calcolare la resistenza equivalente tra A e B della rete in figura (valori in ohm).

Figura (descritta). Un rettangolo con due diagonali che convergono nel punto K a metà del lato inferiore. I morsetti A e B sono al centro del rettangolo, uno sopra l'altro: A è collegato verso l'alto, B verso il basso.

Resistore	Tra i nodi	Posizione
$140$	P – M	lato superiore, a sinistra (P = angolo in alto a sinistra, M = punto a metà del lato superiore)
$15$	M – Q	lato superiore, a destra (Q = angolo in alto a destra)
$24$	M – A	dal centro del lato superiore giù fino al morsetto A
$5$	Q – S	lato destro, in alto (S = punto a metà del lato destro)
$100$	S – K	lato destro in basso, poi lungo il fondo fino a K
$25$	S – K	diagonale da S a K
$50$	P – L	lato sinistro (L = angolo in basso a sinistra)
$10$	L – K	lato inferiore a sinistra
$30$	P – K	diagonale da P a K
$6$	B – K	dal morsetto B giù fino a K

Risultato: $R_{eq} = 62\ \Omega$ .

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo.

Idea. La corrente che entra in A deve passare per il $24$ fino a M, poi attraversare la rete da M a K, poi il $6$ fino a B. Quindi

$R_{eq} = 24 + R_{MK} + 6$

dove $R_{MK}$ è la resistenza della parte di rete tra M e K. Tutto il lavoro è calcolare $R_{MK}$ .

1. Lato destro (da M a K passando per Q e S)

Il $100$ e il $25$ sono entrambi tra S e K: parallelo, $\dfrac{100 \cdot 25}{125} = \dfrac{2500}{125} = 20\ \Omega$ .
Il percorso M → Q → S → K ha ora $15$ , $5$ e $20$ , con nodi intermedi Q e S senza altri collegamenti: serie, $15 + 5 + 20 = 40\ \Omega$ tra M e K.

2. Lato sinistro (da M a K passando per P)

Il $50$ e il $10$ hanno in comune solo il nodo L: serie, $50 + 10 = 60\ \Omega$ tra P e K.
Tra P e K c'è anche la diagonale da $30$ : parallelo, $\dfrac{60 \cdot 30}{90} = 20\ \Omega$ .
Nel nodo P restano ora il $140$ (verso M) e questo $20$ (verso K): serie, $140 + 20 = 160\ \Omega$ tra M e K.

3. I due lati in parallelo

Tra M e K ci sono il lato destro ( $40\ \Omega$ ) e il lato sinistro ( $160\ \Omega$ ):

$R_{MK} = \frac{160 \cdot 40}{160 + 40} = \frac{6400}{200} = 32\ \Omega$

4. Il risultato

$\boxed{R_{eq} = 24 + 32 + 6 = 62\ \Omega}$

Il $24$ e il $6$ sono in serie con il resto perché i morsetti A e B sono "appesi" ai nodi M e K tramite un solo resistore ciascuno.

Errori comuni

Lasciarsi ingannare dal disegno: A e B sono vicini sul foglio, ma elettricamente sono lontani (tra loro c'è tutta la rete).
Mettere il $30$ in parallelo con il $50$ soltanto: il $30$ va da P a K, e da P a K sul lato sinistro c'è la serie $50 + 10$ .

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 1.21). Calcolare la resistenza equivalente tra A e B della rete in figura (valori in ohm).

Resistore	Tra i nodi	Posizione
$140$	P – M	lato superiore, a sinistra (P = angolo in alto a sinistra, M = punto a metà del lato superiore)
$15$	M – Q	lato superiore, a destra (Q = angolo in alto a destra)
$24$	M – A	dal centro del lato superiore giù fino al morsetto A
$5$	Q – S	lato destro, in alto (S = punto a metà del lato destro)
$100$	S – K	lato destro in basso, poi lungo il fondo fino a K
$25$	S – K	diagonale da S a K
$50$	P – L	lato sinistro (L = angolo in basso a sinistra)
$10$	L – K	lato inferiore a sinistra
$30$	P – K	diagonale da P a K
$6$	B – K	dal morsetto B giù fino a K

Risultato: $R_{eq} = 62\ \Omega$ .

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo.

Metodo: Analisi circuitale: scomposizione in serie e paralleli successivi, isolando i resistori terminali in serie e calcolando la resistenza $R_{MK}$ tra i nodi M e K.

Analisi preliminare: $R_{eq} = 24 + R_{MK} + 6$ , poiché la corrente passa obbligatoriamente per il resistore $24$ (da A a M) e per il resistore $6$ (da K a B).
Lato destro (da M a K): Il $100$ e il $25$ sono in parallelo tra S e K ( $\dfrac{100 \cdot 25}{125} = 20\ \Omega$ ). Il ramo M-Q-S-K è una serie di $15$ , $5$ e $20$ , totale $40\ \Omega$ .
Lato sinistro (da M a K): Il $50$ e il $10$ in serie formano $60\ \Omega$ tra P e K. Questo è in parallelo con il $30$ della diagonale: $\dfrac{60 \cdot 30}{90} = 20\ \Omega$ . Aggiungendo il $140$ in serie dal nodo M, si ottiene $140 + 20 = 160\ \Omega$ .
Parallelo finale tra M e K: $R_{MK} = \dfrac{160 \cdot 40}{160 + 40} = 32\ \Omega$ .
Calcolo finale: $R_{eq} = 24 + 32 + 6 = 62\ \Omega$ .

Errori tipici: considerare erroneamente A e B vicini elettricamente; sbagliare l'individuazione dei rami in serie e parallelo (es. considerare il $30$ in parallelo solo con il $50$ anziché con la serie $50 + 10$ ).

Teoria collegata

Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo