Induttore

Dispensa, capitolo 13. È il duale del CondensatoreIl condensatore ideale ha q = C v e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, i = C dv/dt (C in farad). È un bipolo dinamico con memoria: v(t) = v(t0) + (1/C) ∫ i dt. Con corrente limitata la tensione è continua (non può saltare). Immagazzina l'energia W_C = ½ C v², senza dissiparla: è passivo e la sua variabile di stato è la tensione. In regime stazionario è un circuito aperto. Serie: 1/C_s = Σ 1/C_k; parallelo: C_p = Σ C_k (al contrario dei resistori).Condensatore →: tutte le proprietà si ottengono scambiando tensione con corrente e capacità con induttanza. Si usa nei Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →.

Dal dispositivo fisico al bipolo

Un induttore reale è un avvolgimento di $N$ spire di filo smaltato (isolato) attorno a un supporto, il nucleo, di aria, plastica o materiale ferromagnetico (ferro, ferrite). Le due estremità del filo sono i terminali.

Le due proprietà di bipolo:

• la corrente che entra da un terminale esce dall'altro. Si trascura la corrente di spostamento (modello quasi-stazionario magnetico): il campo di corrente è solenoidale come in regime stazionario, quindi la corrente è la stessa lungo tutto il filo e $i_A = i_B$.
• la tensione tra i terminali è una differenza di potenziale. Dentro l'induttore il campo elettrico indotto c'è (non è conservativo), ma il campo magnetico, e con esso il campo indotto, è confinato dentro l'avvolgimento (perfettamente nel caso di un toro). Fuori dalla superficie limite il campo elettrico è conservativo e $v_{AB} = u_A - u_B$.

Induttanza ed equazione costitutiva

Definizione (induttore ideale: induttanza e legge costitutiva). Se la geometria non cambia e il nucleo è lineare, il flusso concatenato con l'avvolgimento è proporzionale alla corrente:

$$\varphi(t) = L\, i(t)$$

La costante positiva $L$ è l'induttanza, in henry ($1\ \mathrm H = 1\ \mathrm{Wb}/\mathrm A = 1\ \mathrm{V \cdot s / A}$). Valori tipici: da $\mu\mathrm H$ (radiofrequenza) a qualche henry (con nucleo di ferro).

Se la corrente varia, varia il flusso e per la legge di Faraday-Neumann nasce una f.e.m. indotta. La tensione ai morsetti, con la convenzione dell'utilizzatore, è l'opposto della f.e.m. indotta, $v = d\varphi/dt$:

$$\boxed{\;v(t) = L\,\frac{di(t)}{dt}\;}$$

Esempio. Con $L = 10\ \mathrm{mH}$ e una corrente che cresce di $1\ \mathrm A$ in $1\ \mathrm{ms}$ ($di/dt = 10^{3}\ \mathrm{A/s}$): $v = 10^{-2} \cdot 10^{3} = 10\ \mathrm V$.

Come leggerla. La tensione dipende da quanto velocemente cambia la corrente, non dal suo valore. Corrente costante $\Rightarrow$ tensione nulla. Con $L = 10\ \mathrm{mH}$ e una corrente che cresce di $1\ \mathrm A$ in $1\ \mathrm{ms}$: $v = 10^{-2} \cdot 10^{3} = 10\ \mathrm V$. Il segno dice che l'induttore si oppone alle variazioni di corrente (è la legge di Lenz).

Simbolo: una serie di archetti (le spire).

Proprietà

1. Memoria

Formula (memoria dell'induttore). $$i(t) = i(t_0) + \frac{1}{L} \int_{t_0}^{t} v(\tau)\, d\tau$$

La corrente dipende da tutta la storia della tensione, riassunta nella condizione iniziale $i(t_0)$.

Esempio. Con $L = 2\ \mathrm H$, $i(0) = 1\ \mathrm A$ e una tensione costante $v = 4\ \mathrm V$ per $1\ \mathrm s$: $i = 1 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 3\ \mathrm A$.

2. Continuità della corrente

Proprietà (continuità della corrente dell'induttore). Se la tensione è limitata, la corrente è continua: $i(t_0^+) = i(t_0^-)$, perché l'integrale di una funzione limitata su un intervallo nullo è zero.

Nei transitori: la corrente dell'induttore subito dopo la manovra è uguale a quella subito prima, $i_L(0^+) = i_L(0^-)$. La tensione invece può saltare.

Esempio. In un induttore percorso da $2\ \mathrm A$ scatta un interruttore: subito dopo la manovra $i_L(0^+) = 2\ \mathrm A$, mentre la tensione ai suoi capi può saltare.

Conseguenza pratica. Se si apre bruscamente un interruttore in serie a un induttore percorso da corrente, la corrente "vorrebbe" andare a zero in un tempo nullo: servirebbe una tensione infinita. In pratica la tensione sale fino a far scoccare una scintilla tra i contatti. È il principio delle bobine di accensione delle auto e il motivo per cui si mettono diodi di protezione in parallelo ai relè.

3. Energia immagazzinata

Con il cambio di variabile $v\, dt = L\, di$, partendo da induttore "scarico" ($i_1 = 0$):

$$L_{[t_1, t_2]} = \int_{t_1}^{t_2} v\, i\, dt = \int_0^{i_2} L\, i\, di = \frac12 L i_2^2 \ \ge 0$$

Formula (energia immagazzinata nell'induttore). Il lavoro dipende solo dalla corrente finale e viene restituito per intero quando la corrente torna a zero: è energia del campo magnetico immagazzinata,

$$\boxed{\;W_L(t) = \frac12\, L\, i^2(t)\;} \quad [\mathrm J]$$

L'induttore è passivo, la potenza entrante è $p = \frac{d W_L}{dt}$ e la variabile di stato è la corrente.

Esempio numerico. $L = 50\ \mathrm{mH}$ con $i = 4\ \mathrm A$: $W_L = \frac12 \cdot 0{,}05 \cdot 16 = 0{,}4\ \mathrm J$.

In regime stazionario: cortocircuito

Con grandezze costanti $di/dt = 0$, quindi $v = 0$ qualunque sia la corrente. In regime stazionario l'induttore si comporta come un cortocircuito. La sua corrente si trova poi dalla rete, come la corrente in un filo.

Serie e parallelo

Le regole sono le stesse dei resistori.

Formula (induttori in serie). Serie (stessa corrente, tensioni che si sommano): $v = L_1 \frac{di}{dt} + L_2 \frac{di}{dt}$, quindi

$$L_s = L_1 + L_2 + \dots + L_N$$

Esempio. $L_1 = 10\ \mathrm{mH}$ e $L_2 = 15\ \mathrm{mH}$ in serie danno $L_s = 25\ \mathrm{mH}$.

Formula (induttori in parallelo). Parallelo (stessa tensione, correnti che si sommano): $i = i_1(t_0) + i_2(t_0) + \left( \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \right) \int v\, d\tau$, quindi

$$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L_1} + \dots + \frac{1}{L_N}, \qquad L_p = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}\ \text{(due induttori)}$$

Esempio. Due induttori da $10\ \mathrm{mH}$ in parallelo danno $L_p = \frac{10 \cdot 10}{20} = 5\ \mathrm{mH}$.

con corrente iniziale somma delle correnti iniziali. Queste formule valgono se gli induttori non sono accoppiati magneticamente (il flusso di uno non si concatena con l'altro).

Caso duale del parallelo di condensatori carichi: due induttori con correnti diverse messi in serie costringono le correnti a diventare uguali, con tensioni impulsive.

Induttori reali

Formule per geometrie semplici ($\mu = \mu_r \mu_0$, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$, $S = \pi a^2$ area di una spira):

• toroide di raggio medio $R$ (sottile, $a \ll R$): $\ L = \dfrac{\mu N^2 S}{2\pi R}$;
• solenoide di lunghezza $h$ ($a \ll h$): $\ L \approx \dfrac{\mu N^2 S}{h}$.

Esempio. Solenoide in aria con $N = 500$, $S = 1\ \mathrm{cm^2}$ e $h = 10\ \mathrm{cm}$: $L = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 500^2 \cdot 10^{-4}}{0{,}1} \approx 0{,}31\ \mathrm{mH}$.

L'induttanza cresce con il quadrato del numero di spire: raddoppiare $N$ raddoppia sia il campo prodotto sia il numero di spire che ne concatenano il flusso.

Nuclei ferromagnetici. Hanno $\mu_r$ da centinaia a decine di migliaia e fanno crescere molto $L$, ma la loro caratteristica $B$–$H$ non è lineare: oltre un certo campo il materiale satura e $\mu$ cala. L'induttore si può considerare lineare solo se la corrente resta abbastanza piccola da stare nel tratto lineare.

Effetti parassiti. Una resistenza in serie (il filo non è un conduttore perfetto), perdite nel nucleo quando la corrente varia, e una piccola capacità tra le spire, che conta alle alte frequenze.

Dualità condensatore–induttore

Errori comuni

• Imporre la continuità della tensione dell'induttore: è la corrente a essere continua.
• Scambiare circuito aperto e cortocircuito in regime stazionario: il condensatore si apre, l'induttore si cortocircuita.
• Usare per gli induttori le regole dei condensatori: per serie e parallelo gli induttori si comportano come i resistori.