Bipoli adinamici, GIC e diodo ideale

Capitolo 8 della dispensa del docente ("Bipoli adinamici"). Riprende i bipoli già visti in Resistore e legge di OhmPer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm → e Generatori elettrici, GIT e GATUn generatore contiene un campo non conservativo che spinge le cariche; a vuoto la sua tensione è uguale alla forza elettromotrice, a carico cala di Ri·I. Il GIT (v = e per ogni i) è il modello senza perdite, il GAT (V = E − Ri I) aggiunge la resistenza interna; collegando un carico si trova il punto di lavoro.Generatori elettrici, GIT e GAT → e aggiunge quelli che mancano: il generatore ideale di corrente, l'interruttore e il diodo ideale. Serve per il capitolo successivo, Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →.

Che cos'è un bipolo adinamico

Un bipolo ha una sola porta, quindi è descritto da una tensione $v$ e una corrente $i$ (vedi Bipoli, n-poli e porte elettricheUn n-polo ha n terminali: le sue correnti uscenti sommano a zero e le sue tensioni sono differenze di potenziale, quindi bastano n−1 correnti e n−1 tensioni per descriverlo. Una porta è una coppia di morsetti in cui la corrente che entra da uno esce dall'altro; un m-bipolo ha m porte e ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipolo.Bipoli, n-poli e porte elettriche →). Il legame tra le due dipende solo da com'è fatto il componente, non dalla rete in cui lo si inserisce.

Definizione (bipolo adinamico). Un bipolo si dice adinamico quando questo legame coinvolge solo i valori nello stesso istante di $v$ e $i$:

$$f\big(v(t),\, i(t)\big) = 0$$

Esempio. Il resistore $v = 10\,i$ è adinamico: con $i = 0{,}3\ \mathrm A$ è subito $v = 3\ \mathrm V$, qualunque sia il passato. Il condensatore $i = C\,dv/dt$ non lo è.

"Adinamico" vuol dire "senza memoria": per sapere la tensione adesso basta conoscere la corrente adesso, non serve sapere che cosa è successo prima. Per questo la relazione è identica in regime stazionario e in regime variabile. Il contrario sono i bipoli dinamici (condensatore $i = C\,\frac{dv}{dt}$ e induttore $v = L\,\frac{di}{dt}$), che compaiono più avanti nel corso: lì entra una derivata, cioè l'andamento nel tempo.

Casi particolari: l'equazione può contenere solo la tensione (GIT, cortocircuito) o solo la corrente (GIC, circuito aperto).

Caratteristica esterna e punto di lavoro

L'insieme delle coppie $(v, i)$ che soddisfano $f(v, i) = 0$ è una curva nel piano $v$–$i$ (o $i$–$v$): la caratteristica esterna del bipolo. Ogni suo punto è un possibile punto di lavoro. Quale punto si realizzi davvero lo decide il resto della rete (come nell'esempio pila + lampadina di Generatori elettrici, GIT e GATUn generatore contiene un campo non conservativo che spinge le cariche; a vuoto la sua tensione è uguale alla forza elettromotrice, a carico cala di Ri·I. Il GIT (v = e per ogni i) è il modello senza perdite, il GAT (V = E − Ri I) aggiunge la resistenza interna; collegando un carico si trova il punto di lavoro.Generatori elettrici, GIT e GAT →).

Notazione: lettere maiuscole $V$, $I$ in regime stazionario, minuscole $v$, $i$ in regime variabile.

Riepilogo dei bipoli già visti

Due precisazioni sul resistore:

• con la convenzione del generatore l'equazione diventa $v = -R\,i$: il valore di $R$ non cambia, cambia il segno davanti perché si è girato un riferimento;
• con la convenzione dell'utilizzatore la caratteristica di un resistore passivo sta nel primo e terzo quadrante ($v$ e $i$ hanno lo stesso segno, quindi $p = vi \ge 0$); quella di un resistore attivo nel secondo e quarto.

Il resistore con $R$ e $G$ costanti si chiama anche lineare tempo-invariante (LTI).

Generatore ideale di corrente (GIC)

Definizione (generatore ideale di corrente, GIC). È il "gemello" del GIT con i ruoli di tensione e corrente scambiati:

$$i(t) = j(t) \qquad \forall\, v(t)$$

• $j(t)$ è la corrente impressa, in ampere; può essere qualsiasi numero reale e può variare nel tempo.
• Simbolo: un cerchio con dentro una freccia. La corrente con riferimento concorde con la freccia vale $j$; se si sceglie il riferimento opposto vale $-j$.
• La tensione ai suoi capi non è fissata dal generatore: la decide il resto della rete. Per questo nel simbolo non serve indicare un riferimento di tensione.
• Caratteristica (con $j = J$ costante): una retta parallela all'asse delle tensioni, all'altezza $i = J$.

Esempio. Un GIC con $j = 3\ \mathrm A$ su un resistore da $2\ \Omega$ dà $v = 6\ \mathrm V$; su uno da $5\ \Omega$ la corrente resta $3\ \mathrm A$ e la tensione diventa $15\ \mathrm V$.

Perché è attivo. Per una data corrente la tensione può essere qualunque, positiva o negativa: quindi la potenza $p = v\,j$ può avere entrambi i segni, cioè il GIC può erogare potenza. Fa eccezione il caso limite $j = 0$: allora $i = 0$ per ogni $v$, che è proprio il circuito aperto (passivo).

Confronto con il GIT, per fissare le idee:

Errore tipico: pensare che un GIC "abbia tensione nulla" perché nessuno la specifica. La tensione ai capi di un GIC è un'incognita come le altre, e di solito è proprio quella che serve per calcolarne la potenza.

Interruttore ideale

Definizione (interruttore ideale). È un bipolo adinamico tempo-variante: a un istante $t_0$ commuta istantaneamente da aperto a chiuso (o viceversa).

• aperto: corrente nulla per ogni tensione, si comporta come un circuito aperto;
• chiuso: tensione nulla per ogni corrente, si comporta come un cortocircuito.

Esempio. Un interruttore in serie a un resistore da $10\ \Omega$ alimentato a $5\ \mathrm V$: da chiuso $v_{sw} = 0$ e $i = 0{,}5\ \mathrm A$; da aperto $i = 0$ e $v_{sw} = 5\ \mathrm V$.

Nel simbolo si scrive $t = t_0$ accanto al contatto; il disegno del contatto dice se all'istante $t_0$ si chiude o si apre. Servirà nei transitori, quando si studia che cosa succede a un circuito dopo una commutazione.

Diodo ideale

Bipolo tempo-invariante con due terminali distinti: l'anodo e il catodo (quello dalla parte della barretta del simbolo). I riferimenti standard sono: tensione con il $+$ sull'anodo, corrente entrante dall'anodo (quindi convenzione dell'utilizzatore).

Definizione (diodo ideale). La caratteristica è fatta di due semirette che partono dall'origine:

$$\begin{cases} i = 0 & \text{per } v \le 0 \quad \text{(diodo "interdetto": circuito aperto)} \\ v = 0 & \text{per } i \ge 0 \quad \text{(diodo "in conduzione": cortocircuito)} \end{cases}$$

Esempio. Con $v = -5\ \mathrm V$ il diodo è interdetto ($i = 0$); con $i = 2\ \mathrm A$ è in conduzione e $v = 0$. In entrambi i casi $p = v\,i = 0$.

In parole: il diodo lascia passare corrente solo dall'anodo al catodo. Se la rete cerca di spingere corrente nel verso opposto, il diodo si apre e la tensione ai suoi capi diventa negativa.

Il diodo ideale è un interruttore automatico: invece di commutare a un istante prefissato, commuta a seconda del segno della tensione o della corrente. Non è lineare (la caratteristica è una spezzata, non una retta) e non è bilaterale (invertendo i due riferimenti si ottiene una caratteristica diversa: conta il verso in cui lo si monta).

Potenza: su entrambe le semirette uno dei due fattori è zero, quindi $p = v\,i = 0$ sempre. Il diodo ideale non dissipa.

Il diodo reale (giunzione pn)

Formula (diodo a giunzione pn, equazione di Shockley). Il diodo ideale approssima il diodo a giunzione pn, la cui caratteristica (convenzione dell'utilizzatore, $+$ sull'anodo) è

$$i = I_S\left(e^{\,v/(\eta V_T)} - 1\right)$$

con $I_S > 0$ molto piccola (nanoampere o meno), $V_T \approx T/11600$ (circa $25\ \mathrm{mV}$ a temperatura ambiente, con $T$ in kelvin) ed $\eta$ tra 1 e 2. Per $v < 0$ la corrente è circa $-I_S$, praticamente zero; per $v$ positiva cresce in modo esponenziale. Si studia in Elettronica.

Esempio. Con $I_S = 10^{-12}\ \mathrm A$, $\eta V_T = 25\ \mathrm{mV}$ e $v = 0{,}6\ \mathrm V$: $i = 10^{-12}\,(e^{0{,}6/0{,}025} - 1) = 10^{-12}\,(e^{24} - 1) \approx 26{,}5\ \mathrm{mA}$.

Si vede perché il modello ideale funziona: fino a circa $0{,}6\ \mathrm V$ la corrente è trascurabile, poi sale quasi in verticale. Il diodo ideale porta questo "gomito" nell'origine.

Bipoli controllati in tensione o in corrente

Definizione (bipolo controllato in corrente e in tensione). Data l'equazione $f(v, i) = 0$:

• il bipolo è controllato in corrente se per ogni corrente ammissibile c'è una e una sola tensione. Allora si può scrivere $v = f_v(i)$: la corrente "comanda" la tensione;
• il bipolo è controllato in tensione se per ogni tensione ammissibile c'è una e una sola corrente. Allora si può scrivere $i = f_i(v)$;
• se valgono entrambe, le due funzioni sono una l'inversa dell'altra: $f_v = f_i^{-1}$.

Esempio. Il GIT $v = 5\ \mathrm V$ è controllato in corrente ($v$ è funzione di $i$) ma non in tensione; il resistore da $2\ \Omega$ è controllato in entrambi: $v = 2\,i$ e $i = v/2$.

Come si riconosce sul grafico. Si disegna la caratteristica con $i$ in ascissa e $v$ in ordinata. È controllato in corrente se ogni retta verticale ($i$ fissata) taglia la curva in un solo punto. È controllato in tensione se ogni retta orizzontale ($v$ fissata) la taglia in un solo punto.

Questa classificazione serve subito: la serie di bipoli controllati in corrente si tratta sommando le tensioni a parità di corrente, il parallelo di bipoli controllati in tensione sommando le correnti a parità di tensione (vedi Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →).

Errori comuni

• Dare al GIC una tensione nulla o al GIT una corrente nulla: la grandezza non imposta è decisa dalla rete.
• Confondere il caso limite: il GIT spento ($e = 0$) è un cortocircuito, il GIC spento ($j = 0$) è un circuito aperto. Scambiarli cambia completamente la rete (servirà nella sovrapposizione degli effettiSi calcola l'effetto di un generatore alla volta, spegnendo gli altri: i GIT spenti diventano cortocircuiti, i GIC spenti circuiti aperti.).
• Montare il diodo al contrario: il verso conta, la corrente può entrare solo dall'anodo.
• Credere che un bipolo controllato in corrente sia anche controllato in tensione: il GIT è il controesempio.