Impedenza e ammettenza

Dispensa, capitolo 20. Traduce in fasori (Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →) le equazioni di resistorePer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm →, InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore → e CondensatoreIl condensatore ideale ha q = C v e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, i = C dv/dt (C in farad). È un bipolo dinamico con memoria: v(t) = v(t0) + (1/C) ∫ i dt. Con corrente limitata la tensione è continua (non può saltare). Immagazzina l'energia W_C = ½ C v², senza dissiparla: è passivo e la sua variabile di stato è la tensione. In regime stazionario è un circuito aperto. Serie: 1/C_s = Σ 1/C_k; parallelo: C_p = Σ C_k (al contrario dei resistori).Condensatore →, e introduce l'impedenza, che generalizza la resistenza. Si usa in Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →; le potenze dei singoli bipoli sono in Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

Sempre convenzione dell'utilizzatore, $\bar V = V e^{j\varphi_v}$, $\bar I = I e^{j\varphi_i}$, e $\varphi = \varphi_v - \varphi_i$ lo sfasamento della tensione rispetto alla corrente.

Generatori indipendenti

Un GIT sinusoidale $e(t) = \sqrt2 E \cos(\omega t + \alpha)$ ha fasore $\bar E = E e^{j\alpha}$: impone $\bar V = \bar E$ qualunque sia la corrente. Un GIC impone $\bar I = \bar J$. Spenti: $\bar E = 0$ è un cortocircuito, $\bar J = 0$ un circuito aperto, come in continua.

Resistore

Formula (resistore in regime sinusoidale). $v = R i$ diventa, sui fasori,

$$\bar V = R\, \bar I \qquad (\bar I = G\, \bar V)$$

Esempio. Con $R = 10\ \Omega$ e $\bar I = 3\ \mathrm A$ si ha $\bar V = 30\ \mathrm V$, in fase con la corrente.

$R$ è reale, quindi $\varphi_v = \varphi_i$: tensione e corrente in fase ($\varphi = 0$).

Un resistore con $R < 0$ (resistore attivo) è un modello usato per dispositivi che in un certo intervallo di funzionamento hanno conduttanza differenziale negativa: tensione e corrente sono in opposizione di fase ed eroga potenza.

Induttore

Formula (induttore in regime sinusoidale). $v = L\, \frac{di}{dt}$ e la derivata diventa $j\omega$:

$$\bar V = j\omega L\, \bar I$$

Esempio. Con $L = 20\ \mathrm{mH}$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$ è $X_L = \omega L = 20\ \Omega$; con $\bar I = 2\ \mathrm A$ la tensione è $\bar V = j\,20 \cdot 2 = j\,40\ \mathrm V$, in anticipo di $\pi/2$.

$j\omega L = \omega L\, e^{j\pi/2}$: il valore efficace della tensione è $\omega L$ volte quello della corrente, e la fase avanza di $\pi/2$. Con la convenzione dell'utilizzatore la tensione è in quadratura in anticipo sulla corrente ($\varphi = +\pi/2$).

• Reattanza induttiva $X_L = \omega L > 0$ (in ohm): $\bar V = j X_L \bar I$.
• Suscettanza induttiva $B_L = -\dfrac{1}{\omega L} < 0$ (in siemens): $\bar I = j B_L \bar V$.

Comportamento in frequenza. $X_L$ cresce con $\omega$: a bassa frequenza l'induttore è quasi un cortocircuito (in continua, $\omega = 0$, lo è esattamente), ad alta frequenza quasi un circuito aperto. Esempio: $L = 20\ \mathrm{mH}$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$ ha $X_L = 20\ \Omega$.

Condensatore

Formula (condensatore in regime sinusoidale). $i = C\, \frac{dv}{dt}$:

$$\bar I = j\omega C\, \bar V \qquad\Longleftrightarrow\qquad \bar V = \frac{1}{j\omega C}\, \bar I = -\frac{j}{\omega C}\, \bar I$$

Esempio. Con $C = 25\ \mu\mathrm F$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$ è $X_C = -40\ \Omega$; con $\bar V = 100\ \mathrm V$ la corrente è $\bar I = j\omega C\,\bar V = j\,2{,}5\ \mathrm A$, in anticipo di $\pi/2$.

La corrente è in quadratura in anticipo sulla tensione (la tensione in ritardo: $\varphi = -\pi/2$).

• Reattanza capacitiva $X_C = -\dfrac{1}{\omega C} < 0$: $\bar V = j X_C\, \bar I$.
• Suscettanza capacitiva $B_C = \omega C > 0$: $\bar I = j B_C\, \bar V$.

In frequenza è il contrario dell'induttore: $|X_C|$ diminuisce con $\omega$; in continua il condensatore è un circuito aperto, ad alta frequenza quasi un cortocircuito. Esempio: $C = 25\ \mu\mathrm F$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$: $X_C = -1/(1000 \cdot 25 \cdot 10^{-6}) = -40\ \Omega$.

Un trucco per ricordare gli sfasamenti: "CIVIL": in un C la I precede la V; la V precede la I in un L.

Impedenza

Definizione (impedenza). Per resistore, induttore e condensatore (e per ogni rete passiva fatta con essi, vista da due morsetti) vale una proporzionalità tra fasori:

$$\boxed{\;\bar V = \dot Z\, \bar I\;}$$

$\dot Z$ è l'impedenza (in ohm). È un numero complesso, ma non un fasore (non rappresenta una sinusoide), per questo ha il punto. In forma polare e cartesiana:

$$\dot Z = \frac{\bar V}{\bar I} = \frac{V}{I}\, e^{j(\varphi_v - \varphi_i)} = Z\, e^{j\varphi} = R + jX$$

• il modulo $Z = V/I$ è il rapporto tra i valori efficaci;
• l'argomento $\varphi$ è lo sfasamento della tensione rispetto alla corrente;
• la parte reale $R = Z\cos\varphi$ è la resistenza, la parte immaginaria $X = Z\sin\varphi$ la reattanza.

Esempio. Un resistore da $3\ \Omega$ in serie a un induttore con $X_L = 4\ \Omega$ ha $\dot Z = 3 + 4j = 5\,e^{j53{,}1^\circ}\ \Omega$; con $\bar I = 2\ \mathrm A$ si ha $\bar V = 10\,e^{j53{,}1^\circ}\ \mathrm V$.

Un'impedenza con $X > 0$ si dice ohmico-induttiva (la corrente è in ritardo sulla tensione), con $X < 0$ ohmico-capacitiva (la corrente è in anticipo).

Ammettenza

Definizione (ammettenza). $$\dot Y = \frac{1}{\dot Z} = \frac{\bar I}{\bar V} = Y e^{-j\varphi} = G + jB \qquad [\mathrm S]$$

con conduttanza $G$ e suscettanza $B$.

Esempio. L'impedenza $\dot Z = 5\,e^{j53{,}1^\circ}\ \Omega$ ha ammettenza $\dot Y = 0{,}2\,e^{-j53{,}1^\circ}\ \mathrm S$.

Formula (conduttanza e suscettanza di un'impedenza complessa). Attenzione: $G \ne 1/R$ e $B \ne 1/X$ quando $\dot Z$ ha sia parte reale che immaginaria. Si razionalizza:

$$\dot Y = \frac{1}{R + jX} = \frac{R - jX}{R^2 + X^2} \quad\Longrightarrow\quad G = \frac{R}{R^2 + X^2}, \quad B = \frac{-X}{R^2 + X^2}$$

Esempio. $\dot Z = 10(1 - j)$ dà $\dot Y = \frac{1}{10(1-j)} = \frac{1 + j}{20}$, quindi $G = B = 0{,}05\ \mathrm S$, mentre $1/R = 0{,}1$.

Bipolo passivo in regime sinusoidale

Proprietà (impedenza di un bipolo passivo). Un bipolo passivo non può erogare energia indefinitamente: su molti periodi l'energia entrante è $P \cdot nT$, che con $P < 0$ crescerebbe in modulo senza limite superando qualunque energia immagazzinata. Quindi per un bipolo passivo la potenza attiva entrante è $P \ge 0$. Per un'impedenza:

$$\mathrm{Re}(\dot Z) \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$$

Esempio. $\dot Z = 3 + 4j\ \Omega$ ha $\mathrm{Re}(\dot Z) = 3 > 0$ ed è passiva; $\dot Z = -3 + 4j\ \Omega$ (resistore attivo) non lo è.

La reattanza invece può avere qualunque segno.

Doppi bipoli in regime sinusoidale

Le relazioni dei generatori pilotati e del trasformatore idealeUn generatore pilotato impone una tensione o una corrente (lato 2) proporzionale a una tensione o corrente di un altro lato della rete (lato 1, che è un circuito aperto se pilota una tensione, un cortocircuito se pilota una corrente). Quattro tipi: GTPT (v2 = α v1), GTPC (v2 = r i1), GCPT (i2 = g v1), GCPC (i2 = β i1). Il trasformatore ideale ha v1 = n v2 e i1 = -i2/n: assorbe potenza nulla, può amplificare tensioni o correnti e vista dalla porta 1 trasforma una resistenza R2 in n² R2.Generatori pilotati e trasformatore ideale → sono algebriche e con coefficienti reali: valgono identiche sui fasori ($\bar V_2 = \alpha \bar V_1$, $\bar I_2 = g \bar V_1$, $\bar V_1 = n \bar V_2$, $\bar I_1 = -\bar I_2/n$, …). Il trasformatore ideale chiuso su un'impedenza $\dot Z_2$ la riporta alla porta 1 come $n^2 \dot Z_2$.

Leggi di Kirchhoff sui fasori

Legge di Kirchhoff sui fasori (LKC e LKT). Una LKC $\sum \pm i_k(t) = 0$ è una somma di sinusoidi della stessa frequenza, quindi vale sui fasori:

$$\sum \pm \bar I_k = 0 \quad \text{(per ogni nodo o taglio)}, \qquad \sum \pm \bar V_k = 0 \quad \text{(per ogni maglia)}$$

Esempio. In una maglia R–L serie con $V_R = 30\ \mathrm V$ e $V_L = 40\ \mathrm V$ sfasate di $\pi/2$, la tensione totale è $|30 + 40j| = 50\ \mathrm V$, non $70\ \mathrm V$.

Insieme alle relazioni $\bar V = \dot Z \bar I$ si ottiene un sistema algebrico lineare complesso, con la stessa struttura di quello di una rete resistiva: la rete simbolica. Valgono quindi tutti i metodi già visti, con le impedenze al posto delle resistenze.

Attenzione: le leggi valgono sui fasori, non sui valori efficaci. In una maglia R–L in serie con $V_R = 30\ \mathrm V$ e $V_L = 40\ \mathrm V$ la tensione totale vale $|30 + j40| = 50\ \mathrm V$, non $70\ \mathrm V$.

Errori comuni

• Dimenticare il segno meno di $X_C$ o scrivere $\dot Z_C = j\omega C$ (quella è l'ammettenza).
• Invertire $G$ e $1/R$ per impedenze complesse.
• Sommare valori efficaci nelle leggi di Kirchhoff.
• Calcolare $\omega$ da $f$ dimenticando $2\pi$.

Esercizi: Esercizio 3.3 - impedenza equivalente di una rete RL, Esercizio 3.4 - impedenza equivalente con ammettenze, Esercizio 3.5 - impedenza equivalente di due rami in parallelo.