Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente

Dispensa, paragrafo 9.3 ("Equivalenza tra schemi serie GIT–R e parallelo GIC–G"). Si basa sulle due caratteristiche ricavate in Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →. È uno strumento per semplificare reti con più generatori, e anticipa i teoremi di Thévenin e NortonQualunque rete lineare vista da due morsetti equivale a un GIT in serie a un resistore (Thévenin) oppure a un GIC in parallelo a un resistore (Norton)..

I due schemi

Entrambi con la convenzione del generatore sul bipolo complessivo (corrente $i$ che esce dal morsetto A, tensione $v$ con il $+$ su A).

(a) Serie GIT–R (generatore reale di tensione): GIT di tensione impressa $e$ con il $+$ verso A, in serie a un resistore $R_s$.

$$v = e - R_s\, i$$

(b) Parallelo GIC–G (generatore reale di corrente): GIC di corrente impressa $j$ con la freccia verso A, in parallelo a un resistore di conduttanza $G_p$.

$$i = j - G_p\, v$$

Le condizioni di equivalenza

Due bipoli sono equivalenti se hanno la stessa caratteristica. Si porta la (a) nella forma della (b), esplicitando $i$ (si può fare se $R_s \ne 0$):

$$v = e - R_s\, i \quad\Longrightarrow\quad R_s\, i = e - v \quad\Longrightarrow\quad i = \frac{e}{R_s} - \frac{1}{R_s}\, v$$

Formula (da generatore reale di tensione a generatore reale di corrente). Confrontando termine a termine con $i = j - G_p\, v$:

$$\boxed{\;j = \frac{e}{R_s}, \qquad G_p = \frac{1}{R_s}\;}$$

Esempio. Un GIT con $e = 12\ \mathrm V$ in serie a $R_s = 4\ \Omega$ equivale a un GIC con $j = 12/4 = 3\ \mathrm A$ in parallelo a $G_p = 1/4 = 0{,}25\ \mathrm S$.

Formula (da generatore reale di corrente a generatore reale di tensione). Nel verso opposto (da parallelo a serie, se $G_p \ne 0$) si esplicita $v$ nella (b): $v = \dfrac{j}{G_p} - \dfrac{1}{G_p}\, i$, e confrontando con la (a):

$$\boxed{\;e = \frac{j}{G_p} = j\, R, \qquad R_s = \frac{1}{G_p}\;}$$

Esempio. Un GIC con $j = 3\ \mathrm A$ in parallelo a $G_p = 0{,}25\ \mathrm S$ equivale a un GIT con $e = j/G_p = 12\ \mathrm V$ in serie a $R_s = 1/G_p = 4\ \Omega$.

In pratica: il resistore resta lo stesso (stessa $R$, una volta in serie e una in parallelo) e le impresse sono legate dalla legge di Ohm, $e = R\, j$.

Significato fisico dei due numeri.

• $e$ è la tensione a vuoto (con $i = 0$): nello schema (b), a vuoto tutta la $j$ passa nel resistore e dà $v = j/G_p = jR$. Torna.
• $j$ è la corrente di cortocircuito (con $v = 0$): nello schema (a), cortocircuitando i morsetti scorre $i = e/R_s$. Torna.

Quindi per passare da uno schema all'altro basta ricordare: stessa tensione a vuoto, stessa corrente di cortocircuito, stessa resistenza.

Il verso del generatore

Nello schema (a) la corrente esce dal morsetto A se il $+$ del GIT è verso A. Nello schema (b) deve uscire da A la corrente $j$: la freccia del GIC punta verso il morsetto che nel GIT era il $+$. Se si sbaglia il verso si ottiene un generatore con impressa di segno opposto, cioè un circuito diverso.

Esempio numerico

GIT $e = 12\ \mathrm V$ in serie a $R_s = 4\ \Omega$. L'equivalente parallelo ha $j = 12/4 = 3\ \mathrm A$ e $G_p = 0{,}25\ \mathrm S$ (cioè $R = 4\ \Omega$ in parallelo).

Verifica con un carico $R_L = 2\ \Omega$ collegato ai morsetti:

• schema (a): la serie $R_s + R_L = 6\ \Omega$ con $12\ \mathrm V$ dà $i = 2\ \mathrm A$, quindi $v = R_L\, i = 4\ \mathrm V$;
• schema (b): $4\ \Omega \parallel 2\ \Omega = \frac{8}{6} = \frac43\ \Omega$; la corrente $3\ \mathrm A$ del GIC attraversa questo parallelo e dà $v = 3 \cdot \frac43 = 4\ \mathrm V$, quindi $i = v/R_L = 2\ \mathrm A$.

Stesso risultato sul carico, come deve essere.

Ma la potenza interna è diversa. Nello schema (a) il resistore interno dissipa $R_s\, i^2 = 4 \cdot 4 = 16\ \mathrm W$; nello schema (b) il resistore interno ha tensione $4\ \mathrm V$ e dissipa $v^2 / R = 16/4 = 4\ \mathrm W$. I due schemi sono equivalenti solo verso l'esterno: le grandezze interne (potenza dei generatori e del resistore interno) non si conservano.

Casi particolari

• $e = 0$: il GIT diventa un cortocircuito e il GIC (con $j = 0$) un circuito aperto. Resta "resistore $R$ in serie a un filo" equivalente a "resistore $R$ in parallelo a un'interruzione": è lo stesso resistore.
• GIT da solo ($R_s = 0$): nessun equivalente parallelo. Formalmente $j = e/0$ esploderebbe; fisicamente un GIT impone la tensione per ogni corrente, mentre ogni schema GIC–G ha la tensione che dipende dalla corrente.
• GIC da solo ($G_p = 0$): nessun equivalente serie, per lo stesso motivo.
• L'equivalenza vale anche con resistori attivi (entrambi $R_s < 0$ e $G_p < 0$).

A che cosa serve

Permette di semplificare reti con generatori: per esempio più rami "GIT in serie a R" collegati in parallelo diventano tanti GIC in parallelo a resistori, che si sommano (le $j$ si sommano, le $G$ si sommano), e alla fine si torna, se serve, a un unico GIT con resistore in serie. È l'idea della formula di MillmanTensione tra due nodi collegati da soli rami GIT-R in parallelo: somma delle E_k/R_k divisa per la somma delle 1/R_k..

Errori comuni

• Cambiare il valore del resistore nella trasformazione (per esempio mettere $1/R$ come resistenza): il resistore è lo stesso, cambia solo il modo in cui è collegato.
• Sbagliare il verso del GIC: la freccia punta verso il $+$ del GIT.
• Calcolare la potenza del generatore sullo schema trasformato. Va calcolata sullo schema originale.
• Trasformare un GIT senza resistore in serie (o un GIC senza resistore in parallelo): non si può.