Esercizio 3.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni con i fasori

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Testo (Eserciziario, es. 3.6). Determinare $v(t)$, note

$$v_1(t) = 10\sqrt2\cos\left(100t + \tfrac{\pi}{6}\right), \quad v_2(t) = 20\sqrt2\cos\left(100t - \tfrac56\pi\right), \quad v_3(t) = 10\sqrt2\cos\left(100t + \tfrac23\pi\right)$$

Figura (descritta). Tre bipoli in serie; ciascuna tensione $v_1, v_2, v_3$ ha il $+$ a sinistra. La tensione $v(t)$ ai morsetti della serie ha il $+$ sul morsetto di sinistra.

Risultato: $v(t) = 20\cos\left(100t + \frac{11}{12}\pi\right)$.

Teoria: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →, Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →.

Metodo: Somma dei fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori → corrispondenti tramite la LKTLegge di Kirchhoff delle tensioni: con i versi della figura le tre tensioni si sommano.: $\bar V = \bar V_1 + \bar V_2 + \bar V_3$.

1. Passaggio ai fasori cartesiani:
   • $\bar V_1 = 10\, e^{j\pi/6} = 8{,}660 + j5$
   • $\bar V_2 = 20\, e^{-j5\pi/6} = -17{,}321 - j10$
   • $\bar V_3 = 10\, e^{j2\pi/3} = -5 + j8{,}660$
2. Somma: $\bar V = (8{,}660 - 17{,}321 - 5) + j(5 - 10 + 8{,}660) = -13{,}660 + j3{,}660$.
3. Modulo e argomento: $V = \sqrt{200} = 10\sqrt2$. Secondo quadrante: $\varphi = \pi - \arctan\frac{3{,}660}{13{,}660} = \frac{11}{12}\pi$.
4. Ritorno al dominio del tempo: $v(t) = \sqrt2 \cdot 10\sqrt2\cos\left(100t + \tfrac{11}{12}\pi\right) = 20\cos\left(100t + \tfrac{11}{12}\pi\right)$.

Il valore efficace della somma è $14{,}1\ \mathrm V$, mentre la somma dei valori efficaci sarebbe $40\ \mathrm V$: la LKT vale sui fasori, non sui valori efficaci.

Errori tipici: Applicare la LKT sommando i valori efficaci invece dei fasori complessi; sbagliare quadrante nel calcolo dell'argomento.