Esercizio 1.26 - resistenza equivalente con ponte, stella-triangolo

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1. Perché serie e parallelo non bastano

Nel rombo ogni nodo (5, 7, 8, 9) ha almeno tre resistori: non c'è nessuna serie. E nessuna coppia di resistori collega gli stessi due nodi: non c'è nessun parallelo. È un ponte. Per sbloccarlo si trasforma una stella in un triangolo (o un triangolo in una stella).

2. Stella → triangolo sul nodo 7

Nel nodo 7 arrivano esattamente tre resistori, $R_7$ (verso 5), $R_9$ (verso 9) e $R_{11}$ (verso 8), e nient'altro: è una stellaTre resistori che partono da tre nodi diversi e si uniscono in un centro a cui non è collegato nient'altro. con centro 7 e vertici 5, 9, 8. La si sostituisce con un triangolo tra 5, 8, 9; il nodo 7 sparisce.

Numeratore comune (somma dei prodotti a due a due):

$$R_7 R_9 + R_7 R_{11} + R_9 R_{11} = 15 \cdot 60 + 15 \cdot 20 + 60 \cdot 20 = 900 + 300 + 1200 = 2400\ \Omega^2$$

Al denominatore va il resistore della stella che va al vertice opposto al lato:

3. Ora compaiono i paralleli

Dopo la trasformazione, tra 5 e 8 ci sono $R_{58}$ e $R_8$, tra 8 e 9 ci sono $R_{89}$ e $R_{10}$:

$$R_{58} \parallel R_8 = \frac{40 \cdot 10}{50} = 8\ \Omega, \qquad R_{89} \parallel R_{10} = \frac{160 \cdot 40}{200} = 32\ \Omega$$

Nel nodo 8 restano solo questi due: serie, $8 + 32 = 40\ \Omega$ tra 5 e 9. In parallelo c'è $R_{59} = 120$:

$$R_{eq,59} = \frac{40 \cdot 120}{160} = 30\ \Omega$$

Controllo con un'altra trasformazione. Si può invece trasformare il triangolo $R_7$, $R_8$, $R_{11}$ (nodi 5, 7, 8; somma $15 + 10 + 20 = 45$) in una stella con centro O:

$$R_{O5} = \frac{R_7 R_8}{45} = \frac{10}{3}, \qquad R_{O7} = \frac{R_7 R_{11}}{45} = \frac{20}{3}, \qquad R_{O8} = \frac{R_8 R_{11}}{45} = \frac{40}{9}$$

Allora tra 5 e 9: $R_{O5}$ in serie al parallelo di $(R_{O7} + R_9) = \frac{200}{3}$ e $(R_{O8} + R_{10}) = \frac{400}{9}$:

$$\frac{10}{3} + \frac{\frac{200}{3} \cdot \frac{400}{9}}{\frac{200}{3} + \frac{400}{9}} = \frac{10}{3} + \frac{80}{3} = 30\ \Omega \ ✓$$

Stesso risultato: le trasformazioni possibili sono quattro e danno tutte $30\ \Omega$.

4. Il resto della rete

Il rombo è ora un resistore da $30\ \Omega$ tra 5 e 9.

• Nel nodo 9 arrivano solo $R_{eq,59}$ e $R_{12}$: serie, $30 + 10 = 40\ \Omega$ tra 5 e 6.
• Tra 5 e 6 c'è anche $R_6 = 40$: parallelo, $40 \parallel 40 = 20\ \Omega$.
• Il percorso 3 → 5 → 6 → 4 passa per $R_2$, questo $20$, $R_4$: serie, $R_{eq,34} = 10 + 20 + 20 = 50\ \Omega$ tra 3 e 4.
• Tra 3 e 4 c'è anche $R_5 = 50$: parallelo, $50 \parallel 50 = 25\ \Omega$.
• Il percorso 1 → 3 → 4 → 2 passa per $R_1$, questo $25$, $R_3$: serie.

$$\boxed{R_{eq} = R_1 + (R_5 \parallel R_{eq,34}) + R_3 = 5 + 25 + 20 = 50\ \Omega}$$

5. La corrente

$I$ entra nel nodo 1, dove c'è il $+$ di $V$: per la rete di resistori è la convenzione dell'utilizzatore.

$$\boxed{I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{100}{50} = 2\ \mathrm A}$$

Errori comuni

• Trasformare come "stella" un nodo con quattro resistori (il nodo 5, che ha $R_2$, $R_6$, $R_7$, $R_8$): la stella deve avere esattamente tre resistori e nessun altro collegamento sul centro.
• Sbagliare i denominatori nella stella → triangolo: per ogni lato, il resistore della stella che va al vertice non toccato dal lato.
• Dimenticare che dopo la trasformazione i resistori $R_8$ e $R_{10}$ restano attaccati agli stessi nodi di prima e vanno combinati con i nuovi lati.