Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attiva

Dispensa, paragrafi 21.12 e 21.13. Due applicazioni della Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

Rifasamento

Il problema

Un carico ohmico-induttivo (per esempio un motore, modellato come $R$ in serie a $L$) alimentato alla tensione $V$ assorbe

Formula (potenza reattiva e corrente di un carico ohmico-induttivo). $$\dot S = P + jQ, \qquad Q = P\tan\varphi > 0, \qquad I = \frac{P}{V\cos\varphi}$$

Esempio. Con $P = 10\ \mathrm{kW}$ e $\cos\varphi = 0{,}6$ ($\tan\varphi = 1{,}333$): $Q = P\tan\varphi = 13{,}3\ \mathrm{kVAR}$ e, a $230\ \mathrm V$, $I = \frac{10\,000}{230 \cdot 0{,}6} \approx 72{,}5\ \mathrm A$.

La potenza attiva $P$ è quella utile. La potenza reattiva $Q$ corrisponde a un'energia che va e viene tra generatore e carico senza essere usata, ma che fa circolare corrente nella linea. A parità di $P$ e di $V$, più basso è $\cos\varphi$, più alta è la corrente: servono conduttori più grossi, si hanno più perdite per effetto Joule nella linea ($R_{linea} I^2$) e generatori e trasformatori più grandi (dimensionati sulla potenza apparente). Per questo i distributori penalizzano i clienti con fattore di potenza basso (in Italia sotto circa $0{,}9$).

La soluzione: un condensatore in parallelo

Si mette un condensatore $C$ in parallelo al carico:

• il carico ha la stessa tensione $V$, quindi assorbe la stessa corrente e la stessa potenza complessa di prima: per lui non cambia nulla;
• il condensatore ha $P_C = 0$ e $Q_C = -\omega C V^2 < 0$;
• per Boucherot il generatore ora eroga $P' = P$ (invariata) e $Q' = Q + Q_C < Q$.

La potenza reattiva del carico viene fornita (in parte o tutta) dal condensatore, localmente, invece di viaggiare sulla linea. Il nome viene dal fatto che la corrente di linea si avvicina in fase con la tensione.

Il calcolo di $C$

Formula (capacità di rifasamento). Si vuole passare dal fattore di potenza $\cos\varphi$ a $\cos\varphi'$ (con $0 \le \varphi' < \varphi$):

$$P\tan\varphi' = Q' = Q + Q_C = P\tan\varphi - \omega C V^2$$

$$\boxed{\;C = \frac{P\,(\tan\varphi - \tan\varphi')}{\omega V^2}\;}$$

Esempio. Con $P = 10\ \mathrm{kW}$, $V = 230\ \mathrm V$, $\omega = 314{,}2\ \mathrm{rad/s}$, $\tan\varphi = 1{,}333$ ($\cos\varphi = 0{,}6$) e $\tan\varphi' = 0{,}329$ ($\cos\varphi' = 0{,}95$): $C = \frac{10^4\,(1{,}333 - 0{,}329)}{314{,}2 \cdot 230^2} \approx 605\ \mu\mathrm F$.

Rifasamento completo ($\cos\varphi' = 1$, $\tan\varphi' = 0$): $C = \frac{P\tan\varphi}{\omega V^2} = \frac{Q}{\omega V^2}$. In pratica si rifasa a $0{,}9$–$0{,}95$, perché l'ultimo tratto verso $1$ richiede condensatori grandi per un guadagno piccolo, e si rischia di sovra-compensare quando il carico cala.

Formula (corrente di linea dopo il rifasamento). Corrente di linea dopo il rifasamento. $P$ è costante, quindi $V I \cos\varphi = V I' \cos\varphi'$:

$$I' = I\, \frac{\cos\varphi}{\cos\varphi'}$$

Esempio. Con $I = 72{,}5\ \mathrm A$, $\cos\varphi = 0{,}6$ e $\cos\varphi' = 0{,}95$: $I' = 72{,}5 \cdot \frac{0{,}6}{0{,}95} \approx 45{,}8\ \mathrm A$.

Esempio numerico

Carico $P = 10\ \mathrm{kW}$, $\cos\varphi = 0{,}6$ (induttivo), $V = 230\ \mathrm V$, $f = 50\ \mathrm{Hz}$ ($\omega = 314{,}2\ \mathrm{rad/s}$). Si vuole $\cos\varphi' = 0{,}95$.

• $\tan\varphi = \frac{\sqrt{1 - 0{,}36}}{0{,}6} = \frac{0{,}8}{0{,}6} = 1{,}333$; $\ \tan\varphi' = \frac{\sqrt{1 - 0{,}9025}}{0{,}95} = 0{,}329$.
• $Q = P\tan\varphi = 13{,}3\ \mathrm{kVAR}$, $\ Q' = P\tan\varphi' = 3{,}29\ \mathrm{kVAR}$: il condensatore deve fornire $|Q_C| = 10{,}0\ \mathrm{kVAR}$.
• $C = \frac{10\,000 \cdot (1{,}333 - 0{,}329)}{314{,}2 \cdot 230^2} \approx 605\ \mu\mathrm F$ (per il rifasamento completo servirebbero circa $802\ \mu\mathrm F$).
• Corrente di linea: da $I = \frac{10\,000}{230 \cdot 0{,}6} = 72{,}5\ \mathrm A$ a $I' = \frac{10\,000}{230 \cdot 0{,}95} = 45{,}8\ \mathrm A$. Le perdite in linea, proporzionali a $I^2$, scendono al $40\%$.

Massimo trasferimento di potenza attiva

È l'estensione al regime sinusoidale del Teorema del massimo trasferimento di potenzaUna rete con equivalente di Thévenin (e_eq, R_i) cede a un carico resistivo R_u la potenza P = R_u e_eq² / (R_i + R_u)². Al variare di R_u questa potenza è massima per R_u = R_i (carico adattato) e vale P_max = e_eq² / (4 R_i). In quella condizione il rendimento è solo del 50%.Teorema del massimo trasferimento di potenza →.

Impostazione

Una rete lineare vista da due morsetti si sostituisce con il suo equivalente di Thévenin: $\bar E_{eq}$ in serie a $\dot Z_{eq} = R_{eq} + jX_{eq}$ (fissi, $R_{eq} > 0$). Vi si collega un carico $\dot Z = R + jX$ che si può scegliere. Corrente e potenza attiva nel carico:

$$I = \frac{E_{eq}}{|\dot Z + \dot Z_{eq}|} = \frac{E_{eq}}{\sqrt{(R + R_{eq})^2 + (X + X_{eq})^2}}, \qquad P = R\, I^2 = \frac{R\, E_{eq}^2}{(R + R_{eq})^2 + (X + X_{eq})^2}$$

Le due condizioni

1. Scelta di $X$. $X$ compare solo al denominatore, in un quadrato che si somma a una quantità positiva: $P$ è massima quando quel quadrato è nullo, cioè $X = -X_{eq}$. La reattanza del carico compensa quella della rete (è una risonanza serie della maglia).
2. Scelta di $R$. Con $X = -X_{eq}$ resta $P = \frac{R\, E_{eq}^2}{(R + R_{eq})^2}$, la stessa funzione del caso resistivo, massima per $R = R_{eq}$ (derivata rispetto a $R$ nulla).

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva (adattamento coniugato). $$\boxed{\;\dot Z = R_{eq} - jX_{eq} = \dot Z_{eq}^*\;} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;P_{max} = \frac{E_{eq}^2}{4 R_{eq}}\;}$$

Il carico deve avere l'impedenza coniugata di quella interna: si parla di adattamento coniugato. Come in continua, il rendimento è del $50\%$: metà della potenza attiva viene dissipata in $R_{eq}$.

Esempio. Un equivalente con $\bar E_{eq} = j100\ \mathrm V$ e $\dot Z_{eq} = 15 + j25\ \Omega$ (quello dell'Esercizio 3.20 - Thévenin e voltmetro in regime sinusoidale): il carico adattato è $15 - j25\ \Omega$ (resistore da $15\ \Omega$ in serie a un condensatore con $X_C = -25\ \Omega$, cioè $C = 40\ \mu\mathrm F$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$) e riceve $P_{max} = \frac{100^2}{4 \cdot 15} \approx 167\ \mathrm W$. Con il solo $R_1 = 10\ \Omega$ dell'esercizio si hanno invece $10 \cdot \frac{100^2}{25^2 + 25^2} = 80\ \mathrm W$.

Dove si usa. Nelle telecomunicazioni (antenne, amplificatori, linee) interessa trasferire al carico il massimo segnale possibile: si progettano reti di adattamento che presentano alla sorgente l'impedenza coniugata. Nelle reti di potenza invece conta il rendimento, e si lavora lontano dall'adattamento.

Errori comuni

• Mettere il condensatore di rifasamento in serie al carico: cambierebbe la tensione e la potenza del carico. Va in parallelo.
• Dimenticare il quadrato di $V$ nella formula di $C$, o usare l'ampiezza invece del valore efficace.
• Imporre $\dot Z = \dot Z_{eq}$ invece del coniugato: con $X = X_{eq}$ le reattanze si sommano invece di compensarsi.