Generatori elettrici, GIT e GAT

Seconda parte della lezione 3. Prima: Resistore e legge di OhmPer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm →. Domande di verifica: Autoverifica Lezione 3 - domande e risposte.

Perché servono forze non conservative

In un resistore percorso da corrente costante si dissipa potenza: le cariche girano in un circuito chiuso e perdono energia in calore a ogni giro. Qualcosa deve restituirgliela.

Non può farlo il campo coulombiano: è conservativo, quindi lungo un percorso chiuso fa lavoro nullo,

$$\oint_\ell \mathbf E_c \cdot \mathbf t\,d\ell = 0$$

Serve allora una forza per unità di carica non conservativa, detta forza elettrica specifica generatrice (o campo elettrico generatore):

$$\mathbf E_g = \frac{d\mathbf F_g}{dq}, \qquad \oint \mathbf E_g \cdot \mathbf t\,d\ell \neq 0$$

I componenti in cui agisce sono i generatori. A seconda dell'origine di $\mathbf E_g$:

Comportamento a vuoto

Un generatore è a vuoto quando i suoi morsetti non sono collegati a niente: non può uscire né entrare corrente.

Cosa succede dentro: $\mathbf E_g$ spinge le cariche positive verso un morsetto e le negative verso l'altro. Le cariche si accumulano ai terminali e generano un campo coulombiano $\mathbf E_c$, sia dentro sia fuori dal componente. Dentro, $\mathbf E_c$ si oppone a $\mathbf E_g$. L'accumulo continua finché, punto per punto, i due campi si bilanciano:

$$\mathbf E_g + \mathbf E_c = \mathbf 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mathbf E_g = -\mathbf E_c \quad (\text{dentro il generatore a vuoto})$$

Se il campo totale non fosse nullo, le cariche continuerebbero a muoversi, ma a vuoto non possono uscire: quindi all'equilibrio il campo totale interno è zero.

Forza elettromotrice

Definizione (forza elettromotrice). La forza elettromotrice (f.e.m.) è l'integrale del campo generatore lungo una linea interna al generatore, dal morsetto $B$ (quello $-$) al morsetto $A$ (quello $+$):

$$e(t) = \int_{B,\ell}^{A} \mathbf E_g \cdot d\boldsymbol\ell$$

Esempio. Se $E_g$ è uniforme e vale $150\ \mathrm{V/m}$ lungo un percorso interno di $1\ \mathrm{cm}$ dal $-$ al $+$, la f.e.m. è $e = E_g\,\ell = 150 \cdot 0{,}01 = 1{,}5\ \mathrm V$.

Nonostante il nome non è una forza: si misura in volt.

La f.e.m. è uguale alla tensione a vuoto. La tensione a vuoto $v_0$ tra $A$ e $B$ si calcola con il campo coulombiano (fuori dal generatore il campo è solo coulombiano). Siccome $\mathbf E_c$ è conservativo, l'integrale non dipende dal percorso: si può calcolare lungo una linea esterna oppure lungo una linea interna:

$$v_0(t) = \int_A^B \mathbf E_c \cdot d\boldsymbol\ell = \int_B^A (-\mathbf E_c) \cdot d\boldsymbol\ell$$

(nel secondo passaggio si è invertito il verso di integrazione cambiando segno all'integrando). Dentro il generatore $-\mathbf E_c = \mathbf E_g$, quindi l'ultimo integrale è proprio la f.e.m.:

Proprietà (la f.e.m. è uguale alla tensione a vuoto). $$\boxed{\,e(t) = v_0(t)\,}$$

La f.e.m. di un generatore è la tensione che un voltmetro (ideale) misura ai suoi morsetti quando il generatore è a vuoto.

Esempio. Un voltmetro ideale collegato ai morsetti di una pila senza carico indica $1{,}5\ \mathrm V$: è la sua f.e.m., $e = v_0 = 1{,}5\ \mathrm V$.

Comportamento a carico

Il generatore è a carico quando i suoi morsetti sono attraversati da corrente (è collegato a qualcosa). Ora la tensione ai morsetti è diversa da quella a vuoto:

$$v(t) \neq e(t) = v_0(t)$$

perché la corrente, passando dentro il generatore, incontra fenomeni dissipativi (il materiale interno ha una sua resistenza).

Formula (generatore reale a carico). Per molti generatori (per esempio quelli elettrochimici) in regime stazionario la differenza tra vuoto e carico è proporzionale alla corrente $I$ che attraversa il generatore (convenzione del generatore: $I$ esce dal $+$):

$$E - V = R_i\,I \qquad\Longleftrightarrow\qquad V = E - R_i\,I$$

$R_i$ si chiama resistenza interna del generatore.

Esempio. Una pila con $E = 1{,}5\ \mathrm V$ e $R_i = 0{,}15\ \Omega$ che eroga $I = 0{,}2\ \mathrm A$ ha ai morsetti $V = 1{,}5 - 0{,}15 \cdot 0{,}2 = 1{,}47\ \mathrm V$.

Bilancio di potenza

Formula (bilancio di potenza di un generatore reale). Moltiplicando per $I$:

$$V I = E I - R_i I^2$$

Con la convenzione del generatore e $V, E, I$ concordi (per esempio tutti positivi):

• $P_g = E\,I$ è la potenza generata, cioè trasferita alle cariche dalla forza generatrice;
• $P_d = R_i\,I^2$ è la quota dissipata dentro il generatore (effetto Joule interno);
• $P = V\,I = P_g - P_d$ è la potenza erogata al circuito esterno.

Esempio. Con $E = 1{,}5\ \mathrm V$, $R_i = 0{,}15\ \Omega$, $I = 0{,}2\ \mathrm A$: $P_g = 0{,}3\ \mathrm W$ generati, $P_d = 0{,}15 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}006\ \mathrm W$ dissipati e $P = 1{,}47 \cdot 0{,}2 = 0{,}294\ \mathrm W$ erogati.

Se invece $V$ e $I$ sono discordi, la potenza uscente $VI$ è negativa: il generatore assorbe potenza dal circuito (è quello che succede a una batteria in carica).

Generatore ideale di tensione (GIT)

Definizione (generatore ideale di tensione, GIT). È il bipolo con equazione

$$v(t) = e(t) \qquad \forall\, i(t)$$

• La tensione è impressa: non dipende dalla corrente, che è decisa dal resto del circuito.
• La f.e.m. può essere costante ($V = E$) o variabile nel tempo (per esempio sinusoidale).
• Caratteristica nel piano $v$–$i$: una retta parallela all'asse delle correnti, all'altezza $v = e$. Non passa per l'origine, tranne nel caso limite $e = 0$ (in cui il GIT diventa un cortocircuito).
• È attivo: può erogare (e assorbire) lavoro senza limiti.
• È il modello di un generatore reale quando la potenza dissipata internamente è trascurabile ($R_i = 0$).

Esempio. Un GIT con $e = 12\ \mathrm V$ collegato a un resistore da $4\ \Omega$ eroga $i = 3\ \mathrm A$, collegato a uno da $12\ \Omega$ eroga $1\ \mathrm A$: la tensione resta $12\ \mathrm V$.

Simbolo: un cerchio con i segni $+$ e $-$ dentro, che indicano il verso della f.e.m.

Formula (potenza del GIT). Potenza. Con la convenzione del generatore la potenza uscente è

$$p_u = v\,i = e\,i$$

ed è positiva (erogata) o negativa (assorbita) a seconda che $e$ e $i$ siano concordi o discordi. Il segno lo decide il circuito, non il generatore.

Esempio. Con $e = 12\ \mathrm V$ e $i = 3\ \mathrm A$ concordi, $p_u = 36\ \mathrm W$ erogati; con $i = -2\ \mathrm A$ è $p_u = -24\ \mathrm W$, cioè il GIT assorbe $24\ \mathrm W$.

Riferimenti.

• Invertendo il riferimento di corrente la caratteristica non cambia ($v = e$ vale per ogni $i$, positiva o negativa).
• Invertendo il riferimento di tensione si ha $v = -e$: la caratteristica si ribalta rispetto all'asse delle correnti.

Generatore affine di tensione (GAT)

Definizione (generatore affine di tensione, GAT). Un generatore reale fa due cose: genera e dissipa. Per rappresentarle entrambe si usa il bipolo (convenzione del generatore)

$$V = E - R_i\,I$$

detto generatore affine di tensione ("affine" perché la caratteristica è una retta che non passa per l'origine). Equivale a un GIT di f.e.m. $E$ in serie a un resistore $R_i$.

• Caratteristica: retta che taglia l'asse $V$ in $E$ (a vuoto, $I = 0$) e scende con pendenza $R_i$. Taglia l'asse $I$ in $I_{cc} = E / R_i$, la corrente di cortocircuito (quella che scorre con i morsetti collegati da un filo, $V = 0$).
• Se $R_i = 0$ il GAT si riduce a un GIT.

Esempio. Una pila con $E = 1{,}5\ \mathrm V$ e $R_i = 0{,}15\ \Omega$ ha corrente di cortocircuito $I_{cc} = E/R_i = 1{,}5/0{,}15 = 10\ \mathrm A$.

Il punto di lavoro: pila e lampadina

Si collega una pila a una lampadina e si risolve il circuito con i due modelli della pila.

Dati.

• Pila alcalina (convenzione del generatore): f.e.m. $E = 1{,}5\ \mathrm V$, resistenza interna $R_i = 150\ \mathrm{m\Omega} = 0{,}15\ \Omega$.
• Lampadina (convenzione dell'utilizzatore), modellata come resistore: tensione nominale $V_n = 1{,}5\ \mathrm V$, potenza nominale $P_n = 0{,}45\ \mathrm W$. Da $P = V^2/R$: $$R = \frac{V_n^2}{P_n} = \frac{1{,}5^2}{0{,}45} = \frac{2{,}25}{0{,}45} = 5\ \Omega$$

Equazioni topologiche. I due bipoli sono collegati morsetto a morsetto, quindi hanno la stessa tensione e la stessa corrente: $V_1 = V_2 = V$, $I_1 = I_2 = I$ (la corrente esce dal $+$ della pila ed entra nel $+$ della lampadina).

Soluzione 1: pila come GIT

$$V_1 = E, \qquad V_2 = R\,I_2$$

$$V = E = 1{,}5\ \mathrm V, \qquad I = \frac ER = \frac{1{,}5}{5} = 0{,}3\ \mathrm A, \qquad P = \frac{V^2}{R} = \frac{2{,}25}{5} = 0{,}45\ \mathrm W$$

Soluzione 2: pila come GAT

$$V_1 = E - R_i I_1, \qquad V_2 = R\,I_2$$

Uguagliando le tensioni: $E - R_i I = R I$, quindi

$$I = \frac{E}{R_i + R} = \frac{1{,}5}{5{,}15} \approx 0{,}291\ \mathrm A, \qquad V = R\,I \approx 1{,}456\ \mathrm V, \qquad P = \frac{V^2}{R} \approx 0{,}424\ \mathrm W$$

Interpretazione grafica

Definizione (punto di lavoro). Il punto di lavoro è la coppia $(I, V)$ che soddisfa contemporaneamente l'equazione del generatore e quella del carico: graficamente è l'intersezione delle due caratteristiche nel piano $I$–$V$.

Esempio. Pila ($E = 1{,}5\ \mathrm V$, $R_i = 0{,}15\ \Omega$) su una lampadina da $R = 5\ \Omega$: $I = E/(R_i + R) = 1{,}5/5{,}15 \approx 0{,}291\ \mathrm A$ e $V = R\,I \approx 1{,}456\ \mathrm V$.

• Con il GIT: retta orizzontale $V = 1{,}5$ e retta del carico $V = 5I$ si incontrano in $(0{,}3\ \mathrm A;\ 1{,}5\ \mathrm V)$.
• Con il GAT: la retta $V = 1{,}5 - 0{,}15\,I$ scende leggermente e incontra $V = 5I$ in $(0{,}291\ \mathrm A;\ 1{,}456\ \mathrm V)$.

La differenza tra i due modelli è piccola (circa il $3\%$ sulla corrente) perché $R_i \ll R$: il GIT è un'ottima approssimazione quando il carico ha resistenza molto più grande di quella interna del generatore.

Limiti dei modelli

Anche il GAT è un'approssimazione:

• la f.e.m. cala nel tempo perché la pila si scarica: $E = E(t)$;
• la relazione lineare $R_i = (E - V)/I$ vale solo per correnti piccole rispetto a quella nominale $I_n$; per correnti grandi la caratteristica reale si incurva;
• anche la resistenza della lampadina non è costante: il filamento si scalda per effetto Joule e la sua resistività aumenta (vedi Resistore e legge di OhmPer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm →).

Errori comuni

• Scrivere $V = E + R_i I$: con la convenzione del generatore la caduta interna sottrae tensione. Con la convenzione dell'utilizzatore invece l'equazione diventa $V = E + R_i I$ (la corrente entra dal $+$).
• Pensare che il GIT eroghi sempre potenza. Può anche assorbirla: dipende dal verso della corrente imposto dal circuito.
• Chiamare "forza" la f.e.m.: è una tensione, in volt.