Sinusoidi e fasori

Dispensa, capitolo 18. Apre la parte sul regime sinusoidale; prosegue con Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →, Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale → e Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

Perché il regime sinusoidale

Una rete è in regime sinusoidale quando tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidi con la stessa frequenza. È il caso delle reti di distribuzione dell'energia ($50\ \mathrm{Hz}$ in Europa) e di moltissimi segnali delle telecomunicazioni.

Due motivi lo rendono centrale:

1. nei transitoriUna rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) → con generatori sinusoidali, quando il transitorio si è esaurito resta il regime permanente sinusoidale, che è la soluzione particolare;
2. un segnale periodico qualsiasi si scompone (serie di Fourier) in un valore medio più sinusoidi di frequenze multiple: con una rete lineare si studia ogni frequenza separatamente e si sommano i risultati. Così, per esempio, si descrive un impianto hi-fi che deve lavorare tra $20\ \mathrm{Hz}$ e $20\ \mathrm{kHz}$.

Sinusoidi

Definizione (sinusoide: ampiezza, pulsazione e fase). $$a(t) = A_M \cos(\omega t + \varphi_a)$$

• $A_M \ge 0$ è l'ampiezza (valore massimo);
• $\omega > 0$ è la pulsazione in $\mathrm{rad/s}$; il periodo è $T = 2\pi/\omega$ e la frequenza $f = 1/T = \omega / 2\pi$ in hertz ($\mathrm{Hz} = \mathrm s^{-1}$);
• $\varphi_a$ è la fase in radianti, presa nell'intervallo $(-\pi, \pi]$.

Esempio. La rete elettrica a $f = 50\ \mathrm{Hz}$ ha $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314\ \mathrm{rad/s}$ e $T = 20\ \mathrm{ms}$.

Si può scrivere tutto con il seno invece che con il coseno, ricordando $\sin(\gamma + \pi/2) = \cos\gamma$, cioè $\sin \theta = \cos(\theta - \pi/2)$. L'importante è scegliere una convenzione e usarla per tutte le sinusoidi: la dispensa usa il coseno; i testi d'esame spesso danno i generatori in seno, $e(t) = \sqrt2 E \sin(\omega t + \alpha)$.

Valore efficace

Definizione (valore efficace). Il valore efficace (in inglese rms, root mean square) è la radice della media del quadrato su un periodo:

$$A = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T a^2(t)\, dt}$$

Per una sinusoide, usando $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (la media del secondo termine su un periodo è zero):

$$A = \sqrt{\frac{A_M^2}{2}} = \frac{A_M}{\sqrt 2} \approx 0{,}707\, A_M$$

Esempio. I $230\ \mathrm V$ della rete domestica sono un valore efficace: l'ampiezza è $A_M = 230\sqrt2 \approx 325\ \mathrm V$.

Perché è il valore che conta. Un resistore percorso da una corrente sinusoidale di valore efficace $I$ dissipa in media $R I^2$, la stessa potenza che dissiperebbe con una corrente continua $I$. Per questo i $230\ \mathrm V$ della rete domestica sono un valore efficace: l'ampiezza è $230\sqrt2 \approx 325\ \mathrm V$. D'ora in poi si scrive $a(t) = \sqrt2\, A \cos(\omega t + \varphi_a)$.

Sfasamento

Definizione (sfasamento). Due sinusoidi della stessa frequenza $a(t) = \sqrt2 A\cos(\omega t + \varphi_a)$ e $b(t) = \sqrt2 B\cos(\omega t + \varphi_b)$ differiscono per l'ampiezza e per una traslazione nel tempo. Lo sfasamento (o anticipo di fase) di $a$ rispetto a $b$ è

$$\varphi_a - \varphi_b \quad \text{(riportato nell'intervallo } (-\pi, \pi] \text{ sommando o togliendo } 2\pi\text{)}$$

e corrisponde a uno spostamento nel tempo $\Delta t = (\varphi_a - \varphi_b)/\omega$.

Sfasamento $\varphi_a - \varphi_b$	Si dice che
$> 0$	$a$ è in anticipo su $b$ (raggiunge prima il massimo)
$< 0$	$a$ è in ritardo su $b$
$0$	sono in fase
$\pi$	sono in opposizione di fase
$\pi/2$	$a$ è in quadratura in anticipo su $b$
$-\pi/2$	$a$ è in quadratura in ritardo su $b$

Esempio. Se $\varphi_a - \varphi_b$ risulta $-5\pi/4$, si somma $2\pi$ e lo sfasamento è $3\pi/4$.

Richiami sui numeri complessi

In elettrotecnica l'unità immaginaria si indica con $j$ ($j^2 = -1$), perché $i$ è la corrente. Un numero complesso si scrive:

• in forma cartesiana $\dot z = x + jy$;
• in forma polare $\dot z = \rho\, e^{j\theta} = \rho(\cos\theta + j\sin\theta)$ (formula di Eulero), con modulo $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ e argomento $\theta \in (-\pi, \pi]$.

Per l'argomento attenzione al quadrante: $\theta = \arctan(y/x)$ solo se $x > 0$; se $x < 0$ si aggiunge $\pi$ (se $y > 0$) o si toglie $\pi$ (se $y < 0$); se $x = 0$, $\theta = \pm \pi/2$ secondo il segno di $y$.

Somme e differenze si fanno comodamente in forma cartesiana; prodotti e quozienti in forma polare (si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti). Valori da ricordare: $j = e^{j\pi/2}$, $-j = \frac1j = e^{-j\pi/2}$, $-1 = e^{j\pi}$, $1 + j = \sqrt2\, e^{j\pi/4}$.

Fasori

Definizione (fasore). Con la frequenza fissata, una sinusoide è individuata da due numeri: valore efficace $A$ e fase $\varphi_a$. Anche un numero complesso è individuato da due numeri (modulo e argomento). Si associa allora a ogni sinusoide il fasore

$$\boxed{\;a(t) = \sqrt2\, A \cos(\omega t + \varphi_a) \quad\longleftrightarrow\quad \bar A = A\, e^{j\varphi_a}\;}$$

con modulo uguale al valore efficace e argomento uguale alla fase. La corrispondenza è biunivoca; per tornare alla sinusoide:

$$a(t) = \mathrm{Re}\left[\sqrt2\, \bar A\, e^{j\omega t}\right]$$

Esempio. Per $a(t) = 5\sqrt2 \cos(\omega t + \pi/4)$ il valore efficace è $5$ e la fase $\pi/4$: $\bar A = 5\,e^{j\pi/4} \approx 3{,}54 + 3{,}54j$.

Infatti $\sqrt2\, A e^{j\varphi_a} e^{j\omega t} = \sqrt2 A e^{j(\omega t + \varphi_a)}$, la cui parte reale è $\sqrt 2 A \cos(\omega t + \varphi_a)$.

Notazione. I fasori di tensioni e correnti si scrivono con il trattino sopra ($\bar V$, $\bar I$). Altri numeri complessi che non sono fasori (impedenze, potenza complessa) si scrivono con il punto sopra ($\dot Z$, $\dot S$).

Altre convenzioni. Con le sinusoidi in seno si usa $a(t) = \mathrm{Im}[\sqrt2\, \bar A\, e^{j\omega t}]$; con il modulo uguale all'ampiezza si toglie il $\sqrt2$. Le regole di calcolo non cambiano, e alla fine le sinusoidi trovate sono le stesse: conta solo essere coerenti. (Cambia invece la formula della potenza complessa, vedi Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.)

Vettore rotante. $\sqrt2\, \bar A\, e^{j\omega t}$ è un vettore di lunghezza $A_M$ che ruota in senso antiorario con velocità angolare $\omega$; la sinusoide è la sua proiezione sull'asse reale. Il fasore è la "fotografia" di quel vettore in $t = 0$ (diviso per $\sqrt 2$).

Esempi (coseno, valore efficace)

Operazioni sui fasori

Le leggi di Kirchhoff e le equazioni dei bipoli usano somme, prodotti per costanti reali e derivate. Su sinusoidi della stessa frequenza queste operazioni danno ancora sinusoidi della stessa frequenza, e sui fasori diventano:

Proprietà (operazioni sui fasori: somma, prodotto per una costante, derivata).

Nel tempo	Sui fasori
$c(t) = a(t) \pm b(t)$	$\bar C = \bar A \pm \bar B$
$c(t) = k\, a(t)$, $k$ reale	$\bar C = k\, \bar A$
$c(t) = \dfrac{da}{dt}$	$\bar C = j\omega\, \bar A$

Esempio. Con $\bar A = 3$ e $\bar B = 2j$: $\bar A + \bar B = 3 + 2j$, di modulo $\sqrt{13} \approx 3{,}61 < 3 + 2$. La derivata di $\bar A$ a $\omega = 314\ \mathrm{rad/s}$ è $j\omega \bar A = j\,942$.

Somma. $\mathrm{Re}[\sqrt2 \bar A e^{j\omega t}] + \mathrm{Re}[\sqrt2 \bar B e^{j\omega t}] = \mathrm{Re}[\sqrt2 (\bar A + \bar B) e^{j\omega t}]$. Graficamente si sommano i vettori con la regola del parallelogramma. Attenzione: i valori efficaci non si sommano: $|\bar A + \bar B| \ne A + B$ in generale.

Derivata. $\frac{d}{dt}\big[\sqrt2 A \cos(\omega t + \varphi_a)\big] = -\sqrt2 \omega A \sin(\omega t + \varphi_a) = \sqrt2\, \omega A \cos(\omega t + \varphi_a + \pi/2)$: il valore efficace si moltiplica per $\omega$ e la fase avanza di $\pi/2$. Moltiplicare per $j = e^{j\pi/2}$ fa esattamente questo. La derivata è in quadratura in anticipo sulla funzione.

La conseguenza decisiva. Con i fasori non c'è più il tempo (resta solo $\omega$ come parametro) e non ci sono più derivate: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche lineari con coefficienti complessi. Si risolvono con le stesse tecniche delle reti resistive. È il metodo simbolico (o di Steinmetz).

Diagramma fasoriale

Rappresentare sullo stesso piano complesso i fasori delle tensioni e delle correnti di una rete dà il diagramma fasoriale: le tensioni in una scala, le correnti in un'altra, gli angoli rispettati. Spesso si disegnano i vettori "in coda" uno all'altro (vettori equipollenti) per visualizzare una LKT come un poligono chiuso.

Linearizzazione: analisi ai piccoli segnali

Formula (linearizzazione ai piccoli segnali). Il metodo funziona solo con componenti le cui equazioni sono compatibili con il regime sinusoidale (somme, prodotti per costanti, derivate). Un diodo, con $i = I_S\left(e^{v/\eta V_T} - 1\right)$, non lo è: una tensione sinusoidale produce una corrente non sinusoidale. Se però la tensione varia poco attorno a un punto di lavoro $(v_0, i_0)$, si approssima con la tangente (Taylor al primo ordine):

$$i - i_0 \approx g_d\,(v - v_0), \qquad g_d = \left.\frac{di}{dv}\right|_{v_0}$$

Per le piccole variazioni il diodo si comporta come un resistore di conduttanza $g_d$ (la conduttanza differenziale), e il regime sinusoidale torna applicabile.

Esempio. Un diodo con $I_S = 10^{-12}\ \mathrm A$ e $\eta V_T = 25\ \mathrm{mV}$ in $v_0 = 0{,}5\ \mathrm V$ ha $i_0 \approx 0{,}485\ \mathrm{mA}$ e $g_d = i_0/(\eta V_T) \approx 19{,}4\ \mathrm{mS}$ (circa $52\ \Omega$).

Errori comuni

• Usare l'ampiezza come modulo del fasore quando la convenzione è il valore efficace (o viceversa): sbaglia tutto di $\sqrt 2$.
• Mescolare seno e coseno senza convertire prima.
• Sbagliare il quadrante dell'argomento con $\arctan$.
• Sommare i valori efficaci invece dei fasori.

Esercizi: Esercizio 3.1 - dalle sinusoidi ai fasori, Esercizio 3.2 - dai fasori alle sinusoidi.