Esercizio 1.18 - trasformazione triangolo-stella

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Testo (Eserciziario, es. 1.18). Tre resistori a triangolo $R_{12}$ , $R_{23}$ , $R_{31}$ tra i nodi 1, 2, 3 e tre resistori a stella $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ con centro stella O. Calcolare $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ che rendono le due configurazioni equivalenti, per:

$R_{12} = 20\ \Omega$ , $R_{23} = 80\ \Omega$ , $R_{31} = 100\ \Omega$ ;
$R_{12} = R_{23} = R_{31} = 60\ \Omega$ .

Risultati: (1) $R_1 = 10\ \Omega$ , $R_2 = 8\ \Omega$ , $R_3 = 40\ \Omega$ ; (2) $R_1 = R_2 = R_3 = 20\ \Omega$ .

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo. È l'operazione inversa di Esercizio 1.17 - trasformazione stella-triangolo.

Le formule triangolo → stella

$R_1 = \frac{R_{12}\, R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}, \qquad R_2 = \frac{R_{12}\, R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}, \qquad R_3 = \frac{R_{23}\, R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}$

Il resistore della stella attaccato al nodo $k$ ha al numeratore il prodotto dei due lati del triangolo che toccano il nodo k, al denominatore la somma dei tre lati.

Caso 1

Denominatore comune: $20 + 80 + 100 = 200\ \Omega$ .

$R_1 = \frac{20 \cdot 100}{200} = 10\ \Omega, \qquad R_2 = \frac{20 \cdot 80}{200} = 8\ \Omega, \qquad R_3 = \frac{80 \cdot 100}{200} = 40\ \Omega$

Controllo. Tra 1 e 2 (nodo 3 libero): stella $R_1 + R_2 = 18\ \Omega$ ; triangolo $20 \parallel (80 + 100) = \frac{20 \cdot 180}{200} = 18\ \Omega$ ✓.

Controllo con la trasformazione inversa. Ripartendo dalla stella $10, 8, 40$ : somma dei prodotti $80 + 320 + 400 = 800$ , quindi $R_{12} = 800/40 = 20$ , $R_{23} = 800/10 = 80$ , $R_{31} = 800/8 = 100$ ✓. Si torna al triangolo di partenza.

Caso 2

$R_1 = R_2 = R_3 = \frac{60 \cdot 60}{180} = 20\ \Omega$

Caso simmetrico: $R_Y = R_\Delta / 3 = 60/3 = 20\ \Omega$ .

Osservazione. I resistori della stella sono sempre più piccoli dei lati del triangolo che toccano lo stesso nodo: $R_1 = R_{12} \cdot \frac{R_{31}}{\Sigma}$ e la frazione $R_{31}/\Sigma$ è minore di 1.

Versione ripasso

$R_{12} = 20\ \Omega$ , $R_{23} = 80\ \Omega$ , $R_{31} = 100\ \Omega$ ;
$R_{12} = R_{23} = R_{31} = 60\ \Omega$ .

Risultati: (1) $R_1 = 10\ \Omega$ , $R_2 = 8\ \Omega$ , $R_3 = 40\ \Omega$ ; (2) $R_1 = R_2 = R_3 = 20\ \Omega$ .

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo. È l'operazione inversa di Esercizio 1.17 - trasformazione stella-triangolo.

Formule triangolo → stella

$R_1 = \frac{R_{12}\, R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}, \qquad R_2 = \frac{R_{12}\, R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}, \qquad R_3 = \frac{R_{23}\, R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}$

Il resistore della stella attaccato al nodo $k$ ha al numeratore il prodotto dei due lati del triangolo che toccano il nodo k, al denominatore la somma dei tre lati.

Svolgimento

Caso 1: Denominatore $= 20 + 80 + 100 = 200\ \Omega$ . $R_1 = \frac{20 \cdot 100}{200} = 10\ \Omega, \qquad R_2 = \frac{20 \cdot 80}{200} = 8\ \Omega, \qquad R_3 = \frac{80 \cdot 100}{200} = 40\ \Omega$ Controllo: tra 1 e 2: $R_1 + R_2 = 18\ \Omega$ e $20 \parallel 180 = 18\ \Omega$ ✓; la trasformazione inversa riporta a $20, 80, 100$ (Esercizio 1.17 - trasformazione stella-triangolo).
Caso 2: $R_1 = R_2 = R_3 = \frac{60 \cdot 60}{180} = 20\ \Omega$ Caso simmetrico: $R_Y = R_\Delta / 3 = 60/3 = 20\ \Omega$ .

Teoria collegata

Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo