Testo (Eserciziario, es. 3.1). Ricavare i fasori (con modulo uguale al valore efficace) delle sinusoidi, dopo averle espresse in coseno se necessario:
e 1 ( t ) = 100 2 cos ( 100 t ) e_1(t) = 100\sqrt2 \cos(100 t) e 1 ( t ) = 100 2 cos ( 100 t ) e 2 ( t ) = 10 2 cos ( 1000 t − π 3 ) e_2(t) = 10\sqrt2 \cos\left(1000 t - \frac{\pi}{3}\right) e 2 ( t ) = 10 2 cos ( 1000 t − 3 π ) e 3 ( t ) = 100 2 cos ( 100 t + π 6 ) e_3(t) = 100\sqrt2 \cos\left(100 t + \frac{\pi}{6}\right) e 3 ( t ) = 100 2 cos ( 100 t + 6 π ) e 4 ( t ) = 20 cos ( 100 t + 3 4 π ) e_4(t) = 20 \cos\left(100 t + \frac34 \pi\right) e 4 ( t ) = 20 cos ( 100 t + 4 3 π ) e 5 ( t ) = 100 2 sin ( 10 t ) e_5(t) = 100\sqrt2 \sin(10 t) e 5 ( t ) = 100 2 sin ( 10 t )
Risultati: E ˉ 1 = 100 \bar E_1 = 100 E ˉ 1 = 100 E ˉ 2 = 5 − j 5 3 \bar E_2 = 5 - j5\sqrt3 E ˉ 2 = 5 − j 5 3 E ˉ 3 = 50 3 + j 50 \bar E_3 = 50\sqrt3 + j50 E ˉ 3 = 50 3 + j 50 E ˉ 4 = − 10 + j 10 \bar E_4 = -10 + j10 E ˉ 4 = − 10 + j 10 E ˉ 5 = − j 100 \bar E_5 = -j100 E ˉ 5 = − j 100
Teoria: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori → .
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Il metodo
Per a ( t ) = A M cos ( ω t + φ ) a(t) = A_M\cos(\omega t + \varphi) a ( t ) = A M cos ( ω t + φ ) A = A M / 2 A = A_M/\sqrt2 A = A M / 2 φ \varphi φ A ˉ = A e j φ = A ( cos φ + j sin φ ) \bar A = A e^{j\varphi} = A(\cos\varphi + j\sin\varphi) A ˉ = A e j φ = A ( cos φ + j sin φ ) La pulsazione non compare nel fasore : va ricordata a parte (qui le sinusoidi hanno pulsazioni diverse, quindi questi fasori non si potrebbero sommare tra loro).
Svolgimento
Ampiezza 100 2 100\sqrt2 100 2 100 100 100 0 0 0 E ˉ 1 = 100 e j 0 = 100 \ \bar E_1 = 100\, e^{j0} = 100 E ˉ 1 = 100 e j 0 = 100
Valore efficace 10 10 10 − π / 3 -\pi/3 − π /3 E ˉ 2 = 10 [ cos ( − π 3 ) + j sin ( − π 3 ) ] = 10 ( 1 2 − j 3 2 ) = 5 − j 5 3 \bar E_2 = 10\left[\cos\left(-\tfrac{\pi}{3}\right) + j\sin\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)\right] = 10\left(\tfrac12 - j\tfrac{\sqrt3}{2}\right) = 5 - j5\sqrt3 E ˉ 2 = 10 [ cos ( − 3 π ) + j sin ( − 3 π ) ] = 10 ( 2 1 − j 2 3 ) = 5 − j 5 3
Valore efficace 100 100 100 π / 6 \pi/6 π /6 E ˉ 3 = 100 ( 3 2 + j 1 2 ) = 50 3 + j 50 \bar E_3 = 100\left(\tfrac{\sqrt3}{2} + j\tfrac12\right) = 50\sqrt3 + j50 E ˉ 3 = 100 ( 2 3 + j 2 1 ) = 50 3 + j 50
Attenzione: qui l'ampiezza è 20 20 20 2 \sqrt2 2 Il valore efficace è 20 / 2 = 10 2 20/\sqrt2 = 10\sqrt2 20/ 2 = 10 2 E ˉ 4 = 10 2 [ cos 3 π 4 + j sin 3 π 4 ] = 10 2 ( − 2 2 + j 2 2 ) = − 10 + j 10 \bar E_4 = 10\sqrt2\left[\cos\tfrac{3\pi}{4} + j\sin\tfrac{3\pi}{4}\right] = 10\sqrt2\left(-\tfrac{\sqrt2}{2} + j\tfrac{\sqrt2}{2}\right) = -10 + j10 E ˉ 4 = 10 2 [ cos 4 3 π + j sin 4 3 π ] = 10 2 ( − 2 2 + j 2 2 ) = − 10 + j 10
È un seno : prima si converte, sin θ = cos ( θ − π / 2 ) \sin\theta = \cos(\theta - \pi/2) sin θ = cos ( θ − π /2 ) e 5 ( t ) = 100 2 cos ( 10 t − π 2 ) e_5(t) = 100\sqrt2\cos\left(10t - \frac{\pi}{2}\right) e 5 ( t ) = 100 2 cos ( 10 t − 2 π ) E ˉ 5 = 100 e − j π / 2 = − j 100 \bar E_5 = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100 E ˉ 5 = 100 e − jπ /2 = − j 100
Controllo con il piano complesso. E ˉ 4 \bar E_4 E ˉ 4 3 π / 4 3\pi/4 3 π /4 E ˉ 5 \bar E_5 E ˉ 5 − π / 2 -\pi/2 − π /2
Versione ripasso
Testo (Eserciziario, es. 3.1). Ricavare i fasori (con modulo uguale al valore efficace) delle sinusoidi, dopo averle espresse in coseno se necessario:
e 1 ( t ) = 100 2 cos ( 100 t ) e_1(t) = 100\sqrt2 \cos(100 t) e 1 ( t ) = 100 2 cos ( 100 t ) e 2 ( t ) = 10 2 cos ( 1000 t − π 3 ) e_2(t) = 10\sqrt2 \cos\left(1000 t - \frac{\pi}{3}\right) e 2 ( t ) = 10 2 cos ( 1000 t − 3 π ) e 3 ( t ) = 100 2 cos ( 100 t + π 6 ) e_3(t) = 100\sqrt2 \cos\left(100 t + \frac{\pi}{6}\right) e 3 ( t ) = 100 2 cos ( 100 t + 6 π ) e 4 ( t ) = 20 cos ( 100 t + 3 4 π ) e_4(t) = 20 \cos\left(100 t + \frac34 \pi\right) e 4 ( t ) = 20 cos ( 100 t + 4 3 π ) e 5 ( t ) = 100 2 sin ( 10 t ) e_5(t) = 100\sqrt2 \sin(10 t) e 5 ( t ) = 100 2 sin ( 10 t )
Risultati: E ˉ 1 = 100 \bar E_1 = 100 E ˉ 1 = 100 E ˉ 2 = 5 − j 5 3 \bar E_2 = 5 - j5\sqrt3 E ˉ 2 = 5 − j 5 3 E ˉ 3 = 50 3 + j 50 \bar E_3 = 50\sqrt3 + j50 E ˉ 3 = 50 3 + j 50 E ˉ 4 = − 10 + j 10 \bar E_4 = -10 + j10 E ˉ 4 = − 10 + j 10 E ˉ 5 = − j 100 \bar E_5 = -j100 E ˉ 5 = − j 100
Teoria: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori → .
Il metodo
Per a ( t ) = A M cos ( ω t + φ ) a(t) = A_M\cos(\omega t + \varphi) a ( t ) = A M cos ( ω t + φ ) A = A M / 2 A = A_M/\sqrt2 A = A M / 2 φ \varphi φ A ˉ = A e j φ = A ( cos φ + j sin φ ) \bar A = A e^{j\varphi} = A(\cos\varphi + j\sin\varphi) A ˉ = A e j φ = A ( cos φ + j sin φ )
Svolgimento
A = 100 A = 100 A = 100 φ = 0 ⟹ E ˉ 1 = 100 \varphi = 0 \implies \bar E_1 = 100 φ = 0 ⟹ E ˉ 1 = 100 A = 10 A = 10 A = 10 φ = − π / 3 ⟹ E ˉ 2 = 10 ( 1 2 − j 3 2 ) = 5 − j 5 3 \varphi = -\pi/3 \implies \bar E_2 = 10(\frac12 - j\frac{\sqrt3}{2}) = 5 - j5\sqrt3 φ = − π /3 ⟹ E ˉ 2 = 10 ( 2 1 − j 2 3 ) = 5 − j 5 3 A = 100 A = 100 A = 100 φ = π / 6 ⟹ E ˉ 3 = 100 ( 3 2 + j 1 2 ) = 50 3 + j 50 \varphi = \pi/6 \implies \bar E_3 = 100(\frac{\sqrt3}{2} + j\frac12) = 50\sqrt3 + j50 φ = π /6 ⟹ E ˉ 3 = 100 ( 2 3 + j 2 1 ) = 50 3 + j 50 Qui l'ampiezza è 20 20 20 2 \sqrt2 2 A = 20 / 2 = 10 2 A = 20/\sqrt2 = 10\sqrt2 A = 20/ 2 = 10 2 φ = 3 π / 4 ⟹ E ˉ 4 = 10 2 ( − 2 2 + j 2 2 ) = − 10 + j 10 \varphi = 3\pi/4 \implies \bar E_4 = 10\sqrt2(-\frac{\sqrt2}{2} + j\frac{\sqrt2}{2}) = -10 + j10 φ = 3 π /4 ⟹ E ˉ 4 = 10 2 ( − 2 2 + j 2 2 ) = − 10 + j 10
È un seno, si converte prima: sin θ = cos ( θ − π / 2 ) ⟹ e 5 ( t ) = 100 2 cos ( 10 t − π 2 ) ⟹ E ˉ 5 = 100 e − j π / 2 = − j 100 \sin\theta = \cos(\theta - \pi/2) \implies e_5(t) = 100\sqrt2\cos(10t - \frac{\pi}{2}) \implies \bar E_5 = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100 sin θ = cos ( θ − π /2 ) ⟹ e 5 ( t ) = 100 2 cos ( 10 t − 2 π ) ⟹ E ˉ 5 = 100 e − jπ /2 = − j 100