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Note per Studenti Esercizio 3.24 - Thévenin e Norton di una rete a T

Esercizio 3.24 - Thévenin e Norton di una rete a T

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Testo (Eserciziario, es. 3.24). Rete a regime sinusoidale con R1=20 ΩR_1 = 20\ \Omega, R2=5 ΩR_2 = 5\ \Omega, R3=10 ΩR_3 = 10\ \Omega, L1=10 mHL_1 = 10\ \mathrm{mH}, L2=25 mHL_2 = 25\ \mathrm{mH}, C1=50 μFC_1 = 50\ \mu\mathrm F, e(t)=200cos⁡(1000t+π4)e(t) = 200\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right). Della rete a sinistra della porta AB determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq}, VˉAB0\bar V_{AB0} (++ in A) e Iˉcc\bar I_{cc} (uscente da A).

Figura (descritta). Filo in basso = B. A sinistra il GIT ee (++ in alto). Sul filo in alto: R1R_1 e L1L_1 fino al nodo M; da M scende il ramo R3R_3–C1C_1 fino a B; da M proseguono L2L_2 e R2R_2 fino al morsetto A.

Risultati: Z˙ABeq=20+j20 Ω\dot Z_{ABeq} = 20 + j20\ \Omega, VˉAB0=100 V\bar V_{AB0} = 100\ \mathrm V, Iˉcc=52−j52 A\bar I_{cc} = \frac52 - j\frac52\ \mathrm A.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

Eˉ\bar E: ampiezza 200200, valore efficace 1002100\sqrt2:  Eˉ=1002 ejπ/4=100+j100\ \bar E = 100\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 100 + j100.

Tre "lati" della T: Z˙1=R1+jωL1=20+j10\dot Z_1 = R_1 + j\omega L_1 = 20 + j10;  Z˙3=R3−jωC1=10−j20\ \dot Z_3 = R_3 - \frac{j}{\omega C_1} = 10 - j20;  Z˙2=R2+jωL2=5+j25\ \dot Z_2 = R_2 + j\omega L_2 = 5 + j25.

2. Impedenza equivalente

GIT in corto: da A si vede Z˙2\dot Z_2 in serie al parallelo Z˙1∥Z˙3\dot Z_1 \parallel \dot Z_3:

Z˙1∥Z˙3=(20+j10)(10−j20)30−j10=400−j30030−j10=(400−j300)(30+j10)1000=15−j5\dot Z_1 \parallel \dot Z_3 = \frac{(20 + j10)(10 - j20)}{30 - j10} = \frac{400 - j300}{30 - j10} = \frac{(400 - j300)(30 + j10)}{1000} = 15 - j5

I due prodotti(20 + j10)(10 - j20) = 200 - j400 + j100 + 200 = 400 - j300. Poi (400 - j300)(30 + j10) = 12000 + j4000 - j9000 + 3000 = 15000 - j5000..

Z˙ABeq=15−j5+5+j25=20+j20 Ω\boxed{\dot Z_{ABeq} = 15 - j5 + 5 + j25 = 20 + j20\ \Omega}

3. Tensione a vuoto

A vuoto Z˙2\dot Z_2 non porta corrente: VˉAB0\bar V_{AB0} è la tensione su Z˙3\dot Z_3, partitore tra Z˙1\dot Z_1 e Z˙3\dot Z_3:

VˉAB0=Eˉ Z˙3Z˙1+Z˙3=(100+j100)(10−j20)30−j10=3000−j100030−j10=100 V\bar V_{AB0} = \bar E\, \frac{\dot Z_3}{\dot Z_1 + \dot Z_3} = \frac{(100 + j100)(10 - j20)}{30 - j10} = \frac{3000 - j1000}{30 - j10} = 100\ \mathrm V

Il numeratore è esattamente 100100 volte il denominatore: VˉAB0=100 V\boxed{\bar V_{AB0} = 100\ \mathrm V}.

4. Corrente di cortocircuito

Dalla relazione tra Thévenin e Norton, VˉAB0=Z˙ABeq Iˉcc\bar V_{AB0} = \dot Z_{ABeq}\, \bar I_{cc}:

Iˉcc=10020+j20=51+j=5(1−j)2=52−j52 A\bar I_{cc} = \frac{100}{20 + j20} = \frac{5}{1 + j} = \frac{5(1 - j)}{2} = \frac52 - j\frac52\ \mathrm A

Verifica diretta. Con A in corto con B, Z˙2\dot Z_2 è in parallelo a Z˙3\dot Z_3: Z˙2∥Z˙3=(5+j25)(10−j20)15+j5=550+j15015+j5=36−j2\dot Z_2 \parallel \dot Z_3 = \frac{(5 + j25)(10 - j20)}{15 + j5} = \frac{550 + j150}{15 + j5} = 36 - j2. La corrente dal GIT è EˉZ˙1+36−j2=100+j10056+j8\frac{\bar E}{\dot Z_1 + 36 - j2} = \frac{100 + j100}{56 + j8}, e il partitore dà Iˉcc=100+j10056+j8⋅10−j2015+j5\bar I_{cc} = \frac{100 + j100}{56 + j8} \cdot \frac{10 - j20}{15 + j5}. Facendo i conti: 3000−j1000(56+j8)(15+j5)=3000−j1000800+j400=(3000−j1000)(800−j400)800 000=2,5−j2,5\frac{3000 - j1000}{(56 + j8)(15 + j5)} = \frac{3000 - j1000}{800 + j400} = \frac{(3000 - j1000)(800 - j400)}{800\,000} = 2{,}5 - j2{,}5 ✓.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.24). Rete a regime sinusoidale con R1=20 ΩR_1 = 20\ \Omega, R2=5 ΩR_2 = 5\ \Omega, R3=10 ΩR_3 = 10\ \Omega, L1=10 mHL_1 = 10\ \mathrm{mH}, L2=25 mHL_2 = 25\ \mathrm{mH}, C1=50 μFC_1 = 50\ \mu\mathrm F, e(t)=200cos⁡(1000t+π4)e(t) = 200\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right). Della rete a sinistra della porta AB determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq}, VˉAB0\bar V_{AB0} (++ in A) e Iˉcc\bar I_{cc} (uscente da A).

Figura (descritta). Filo in basso = B. A sinistra il GIT ee (++ in alto). Sul filo in alto: R1R_1 e L1L_1 fino al nodo M; da M scende il ramo R3R_3–C1C_1 fino a B; da M proseguono L2L_2 e R2R_2 fino al morsetto A.

Risultati: Z˙ABeq=20+j20 Ω\dot Z_{ABeq} = 20 + j20\ \Omega, VˉAB0=100 V\bar V_{AB0} = 100\ \mathrm V, Iˉcc=52−j52 A\bar I_{cc} = \frac52 - j\frac52\ \mathrm A.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

Eˉ\bar E: ampiezza 200200, efficace 1002100\sqrt2: Eˉ=1002 ejπ/4=100+j100\bar E = 100\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 100 + j100. Z˙1=20+j10\dot Z_1 = 20 + j10, Z˙3=10−j20\dot Z_3 = 10 - j20, Z˙2=5+j25\dot Z_2 = 5 + j25.

2. Impedenza equivalente

GIT in corto: Z˙2\dot Z_2 in serie al parallelo Z˙1∥Z˙3\dot Z_1 \parallel \dot Z_3: Z˙1∥Z˙3=(20+j10)(10−j20)30−j10=400−j30030−j10=15−j5\dot Z_1 \parallel \dot Z_3 = \frac{(20 + j10)(10 - j20)}{30 - j10} = \frac{400 - j300}{30 - j10} = 15 - j5 Z˙ABeq=15−j5+5+j25=20+j20 Ω\boxed{\dot Z_{ABeq} = 15 - j5 + 5 + j25 = 20 + j20\ \Omega}

3. Tensione a vuoto

VˉAB0\bar V_{AB0} è la tensione su Z˙3\dot Z_3, partitore tra Z˙1\dot Z_1 e Z˙3\dot Z_3: VˉAB0=Eˉ Z˙3Z˙1+Z˙3=(100+j100)(10−j20)30−j10=3000−j100030−j10=100 V\bar V_{AB0} = \bar E\, \frac{\dot Z_3}{\dot Z_1 + \dot Z_3} = \frac{(100 + j100)(10 - j20)}{30 - j10} = \frac{3000 - j1000}{30 - j10} = 100\ \mathrm V VˉAB0=100 V\boxed{\bar V_{AB0} = 100\ \mathrm V}

4. Corrente di cortocircuito

Dalla relazione tra Thévenin e Norton, VˉAB0=Z˙ABeq Iˉcc\bar V_{AB0} = \dot Z_{ABeq}\, \bar I_{cc}: Iˉcc=10020+j20=51+j=5(1−j)2=52−j52 A\bar I_{cc} = \frac{100}{20 + j20} = \frac{5}{1 + j} = \frac{5(1 - j)}{2} = \frac52 - j\frac52\ \mathrm A Verifica diretta: con A in corto, Z˙2∥Z˙3=36−j2\dot Z_2 \parallel \dot Z_3 = 36 - j2, e il partitore dà Iˉcc=3000−j1000800+j400=2,5−j2,5\bar I_{cc} = \frac{3000 - j1000}{800 + j400} = 2{,}5 - j2{,}5 ✓.

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