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Note per Studenti Esercizio 3.14 - sovrapposizione con un condensatore in serie al GIC

Esercizio 3.14 - sovrapposizione con un condensatore in serie al GIC

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Testo (Eserciziario, es. 3.14). Rete a regime sinusoidale con R=10 ΩR = 10\ \Omega, L=10 mHL = 10\ \mathrm{mH}, C=50 μFC = 50\ \mu\mathrm F, e(t)=502cos⁡(2000t+π2)e(t) = 50\sqrt2\cos\left(2000t + \frac{\pi}{2}\right), j(t)=4cos⁡(2000t−π4)j(t) = 4\cos\left(2000t - \frac{\pi}{4}\right). Calcolare la potenza reattiva QLQ_L entrante nell'induttore, con la sovrapposizione degli effetti.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento. Nodi in alto: P (a sinistra) e M (al centro).

Bipolo Tra i nodi Note
GIC j(t)j(t) P → riferimento lato sinistro, freccia in giù
CC P – M sul filo in alto
LL M – riferimento ramo centrale
RR + e(t)e(t) M – riferimento ramo destro: RR in alto, poi il GIT con il −- in alto e il ++ in basso

Risultato: QL=52 VARQ_L = 52\ \mathrm{VAR}.

La stessa rete è risolta con le correnti di anello e con i potenziali ai nodi. Teoria: Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

  • Eˉ=50 ejπ/2=j50\bar E = 50\, e^{j\pi/2} = j50.
  • Jˉ\bar J: ampiezza 44, valore efficace 222\sqrt2:  Jˉ=22 e−jπ/4=2−j2\ \bar J = 2\sqrt2\, e^{-j\pi/4} = 2 - j2.
  • Z˙L=j20\dot Z_L = j20,  Z˙C=−j2000⋅50⋅10−6=−j10\ \dot Z_C = -\frac{j}{2000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = -j10,  R=10\ R = 10.

Osservazione chiave. Il nodo P è toccato solo dal GIC e da CC: il condensatore è in serie al GIC e porta sempre la corrente Jˉ\bar J. Come in continua, un bipolo in serie a un generatore di corrente non influenza il resto della rete: CC non entra nel calcolo di QLQ_L (conterebbe solo per la tensione ai capi del GIC). Dal nodo M, il GIC "preleva" la corrente Jˉ\bar J.

Serve il fasore IˉL\bar I_L (verso il basso in LL), poi QL=XLIL2Q_L = X_L I_L^2.

2. Agisce solo Jˉ\bar J (Eˉ\bar E cortocircuitato)

Da M esce Jˉ\bar J verso P; deve arrivare dal basso attraverso LL e RR, in parallelo:

Z˙p=j20⋅1010+j20=j201+2j=j20(1−2j)5=8+j4,UˉM′=−Jˉ Z˙p=−(2−2j)(8+j4)=−24+j8\dot Z_p = \frac{j20 \cdot 10}{10 + j20} = \frac{j20}{1 + 2j} = \frac{j20(1 - 2j)}{5} = 8 + j4, \qquad \bar U_M' = -\bar J\, \dot Z_p = -(2 - 2j)(8 + j4) = -24 + j8

IˉL′=UˉM′j20=(−24+j8)(−j)20=8+j2420=0,4+j1,2\bar I_L' = \frac{\bar U_M'}{j20} = \frac{(-24 + j8)(-j)}{20} = \frac{8 + j24}{20} = 0{,}4 + j1{,}2

3. Agisce solo Eˉ\bar E (Jˉ\bar J aperto)

Senza GIC, in CC non passa corrente. Resta la maglia LL – RR – GIT. Il GIT ha il ++ in basso, quindi il nodo tra RR e il GIT è a potenziale −Eˉ-\bar E. Partitore tra RR e LL:

UˉM′′=−Eˉ j2010+j20=−j50⋅j2010+j20=100010+j20=100(1−2j)5=20−j40\bar U_M'' = -\bar E\, \frac{j20}{10 + j20} = -j50 \cdot \frac{j20}{10 + j20} = \frac{1000}{10 + j20} = \frac{100(1 - 2j)}{5} = 20 - j40

IˉL′′=20−j40j20=(20−j40)(−j)20=−40−j2020=−2−j\bar I_L'' = \frac{20 - j40}{j20} = \frac{(20 - j40)(-j)}{20} = \frac{-40 - j20}{20} = -2 - j

4. Somma

IˉL=0,4+j1,2−2−j=−1,6+j0,2,IL2=2,56+0,04=2,6 A2\bar I_L = 0{,}4 + j1{,}2 - 2 - j = -1{,}6 + j0{,}2, \qquad I_L^2 = 2{,}56 + 0{,}04 = 2{,}6\ \mathrm{A^2}

QL=XL IL2=20⋅2,6=52 VAR\boxed{Q_L = X_L\, I_L^2 = 20 \cdot 2{,}6 = 52\ \mathrm{VAR}}

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.14). Rete a regime sinusoidale con R=10 ΩR = 10\ \Omega, L=10 mHL = 10\ \mathrm{mH}, C=50 μFC = 50\ \mu\mathrm F, e(t)=502cos⁡(2000t+π2)e(t) = 50\sqrt2\cos\left(2000t + \frac{\pi}{2}\right), j(t)=4cos⁡(2000t−π4)j(t) = 4\cos\left(2000t - \frac{\pi}{4}\right). Calcolare la potenza reattiva QLQ_L entrante nell'induttore, con la sovrapposizione degli effetti.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento. Nodi in alto: P (a sinistra) e M (al centro).

Bipolo Tra i nodi Note
GIC j(t)j(t) P → riferimento lato sinistro, freccia in giù
CC P – M sul filo in alto
LL M – riferimento ramo centrale
RR + e(t)e(t) M – riferimento ramo destro: RR in alto, poi il GIT con il −- in alto e il ++ in basso

Risultato: QL=52 VARQ_L = 52\ \mathrm{VAR}.

La stessa rete è risolta con le correnti di anello e con i potenziali ai nodi. Teoria: Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

Metodo: Metodo simbolicoMetodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →, sovrapposizione degli effetti e proprietà del condensatore in serie al GIC.

  1. Rete simbolica. Eˉ=j50\bar E = j50, Jˉ=22 e−jπ/4=2−j2\bar J = 2\sqrt2\, e^{-j\pi/4} = 2 - j2, Z˙L=jωL=j20\dot Z_L = j\omega L = j20, Z˙C=−jωC=−j10\dot Z_C = -\frac{j}{\omega C} = -j10, R=10R = 10. CC è in serie al GIC (il nodo P è toccato solo da loro): porta sempre la corrente Jˉ\bar J e, come un bipolo in serie a un generatore di corrente, non influenza il resto della rete (conterebbe solo per la tensione ai capi del GIC). Serve IˉL\bar I_L per QL=XLIL2Q_L = X_L I_L^2.
  2. Agisce solo Jˉ\bar J (Eˉ\bar E cortocircuitato). Z˙p=j20⋅1010+j20=8+j4,UˉM′=−Jˉ Z˙p=−24+j8\dot Z_p = \frac{j20 \cdot 10}{10 + j20} = 8 + j4, \qquad \bar U_M' = -\bar J\, \dot Z_p = -24 + j8 IˉL′=UˉM′j20=0,4+j1,2\bar I_L' = \frac{\bar U_M'}{j20} = 0{,}4 + j1{,}2
  3. Agisce solo Eˉ\bar E (Jˉ\bar J aperto). In CC non passa corrente. UˉM′′=−Eˉ j2010+j20=20−j40,IˉL′′=UˉM′′j20=−2−j\bar U_M'' = -\bar E\, \frac{j20}{10 + j20} = 20 - j40, \qquad \bar I_L'' = \frac{\bar U_M''}{j20} = -2 - j
  4. Somma e risultato. IˉL=0,4+j1,2−2−j=−1,6+j0,2,IL2=2,6 A2\bar I_L = 0{,}4 + j1{,}2 - 2 - j = -1{,}6 + j0{,}2, \qquad I_L^2 = 2{,}6\ \mathrm{A^2} QL=XL IL2=20⋅2,6=52 VAR\boxed{Q_L = X_L\, I_L^2 = 20 \cdot 2{,}6 = 52\ \mathrm{VAR}}

Errori tipici: considerare l'impedenza del condensatore CC nel calcolo dei paralleli nonostante sia in serie a un generatore ideale di corrente.

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