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Note per Studenti Esercizio 3.25 - Thévenin e Norton con un GIT e un GIC

Esercizio 3.25 - Thévenin e Norton con un GIT e un GIC

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Testo (Eserciziario, es. 3.25). Rete a regime sinusoidale con R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=3 ΩR_2 = 3\ \Omega, R3=2 ΩR_3 = 2\ \Omega, L1=15 mHL_1 = 15\ \mathrm{mH}, C1=100 μFC_1 = 100\ \mu\mathrm F, e(t)=160cos⁡(1000t−π4)e(t) = 160\cos\left(1000t - \frac{\pi}{4}\right), j(t)=42cos⁡(1000t+π2)j(t) = 4\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right). Della rete a sinistra della porta AB determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq}, VˉAB0\bar V_{AB0} (++ in A) e Iˉcc\bar I_{cc} (uscente da A).

Figura (descritta). Nodi T (in alto) e D (in basso), tra i quali ci sono, in parallelo, il GIC jj (freccia in su, verso T) e R1R_1. Da T, sul filo in alto: R2R_2 e L1L_1 fino al morsetto A. Da D, sul filo in basso: R3R_3, C1C_1 e il GIT ee (++ verso C1C_1, −- verso B) fino al morsetto B.

Risultati: Z˙ABeq=15+j5 Ω\dot Z_{ABeq} = 15 + j5\ \Omega, VˉAB0=80−j40 V\bar V_{AB0} = 80 - j40\ \mathrm V, Iˉcc=4−j4 A\bar I_{cc} = 4 - j4\ \mathrm A.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

  • Eˉ\bar E: ampiezza 160160, valore efficace 80280\sqrt2:  Eˉ=802 e−jπ/4=80−j80\ \bar E = 80\sqrt2\, e^{-j\pi/4} = 80 - j80.
  • Jˉ=4 ejπ/2=j4\bar J = 4\, e^{j\pi/2} = j4.
  • Z˙L1=j15\dot Z_{L1} = j15,  Z˙C1=−j1000⋅10−4=−j10\ \dot Z_{C1} = -\frac{j}{1000 \cdot 10^{-4}} = -j10.

2. Impedenza equivalente

GIC aperto, GIT in corto. Da A a B c'è un'unica maglia in serie: L1L_1, R2R_2, R1R_1 (il GIC aperto non offre un percorso alternativo), R3R_3, C1C_1:

Z˙ABeq=j15+3+10+2−j10=15+j5 Ω\boxed{\dot Z_{ABeq} = j15 + 3 + 10 + 2 - j10 = 15 + j5\ \Omega}

3. Tensione a vuoto

A vuoto il percorso in serie A – L1L_1 – R2R_2 – T e D – R3R_3 – C1C_1 – GIT – B non porta corrente. Quindi:

  • tutta la corrente del GIC passa in R1R_1, da T verso D: UˉT−UˉD=R1Jˉ=10⋅j4=j40\bar U_T - \bar U_D = R_1 \bar J = 10 \cdot j4 = j40;
  • su L1L_1, R2R_2, R3R_3, C1C_1 la tensione è nulla: UˉA=UˉT\bar U_A = \bar U_T, e UˉD\bar U_D è uguale al potenziale del ++ del GIT, cioè UˉB+Eˉ\bar U_B + \bar E.

VˉAB0=UˉA−UˉB=(UˉT−UˉD)+(UˉD−UˉB)=j40+80−j80\bar V_{AB0} = \bar U_A - \bar U_B = (\bar U_T - \bar U_D) + (\bar U_D - \bar U_B) = j40 + 80 - j80

VˉAB0=80−j40 V\boxed{\bar V_{AB0} = 80 - j40\ \mathrm V}

4. Corrente di cortocircuito

Iˉcc=VˉAB0Z˙ABeq=80−j4015+j5=(80−j40)(15−j5)250=1200−j400−j600−200250=1000−j1000250=4−j4 A\bar I_{cc} = \frac{\bar V_{AB0}}{\dot Z_{ABeq}} = \frac{80 - j40}{15 + j5} = \frac{(80 - j40)(15 - j5)}{250} = \frac{1200 - j400 - j600 - 200}{250} = \frac{1000 - j1000}{250} = 4 - j4\ \mathrm A

Verifica diretta (sovrapposizione in cortocircuito). Con A–B in corto la rete è una maglia con il GIC in parallelo a R1R_1. Il GIC con R1R_1 equivale a un GIT R1Jˉ=j40R_1 \bar J = j40 (++ verso T) in serie a R1R_1: nella maglia agiscono j40j40 ed Eˉ\bar E, concordi nel far uscire corrente da A, e l'impedenza totale è 15+j515 + j5. Quindi Iˉcc=j40+80−j8015+j5\bar I_{cc} = \frac{j40 + 80 - j80}{15 + j5}, lo stesso numero ✓.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.25). Rete a regime sinusoidale con R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=3 ΩR_2 = 3\ \Omega, R3=2 ΩR_3 = 2\ \Omega, L1=15 mHL_1 = 15\ \mathrm{mH}, C1=100 μFC_1 = 100\ \mu\mathrm F, e(t)=160cos⁡(1000t−π4)e(t) = 160\cos\left(1000t - \frac{\pi}{4}\right), j(t)=42cos⁡(1000t+π2)j(t) = 4\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right). Della rete a sinistra della porta AB determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq}, VˉAB0\bar V_{AB0} (++ in A) e Iˉcc\bar I_{cc} (uscente da A).

Figura (descritta). Nodi T (in alto) e D (in basso), tra i quali ci sono, in parallelo, il GIC jj (freccia in su, verso T) e R1R_1. Da T, sul filo in alto: R2R_2 e L1L_1 fino al morsetto A. Da D, sul filo in basso: R3R_3, C1C_1 e il GIT ee (++ verso C1C_1, −- verso B) fino al morsetto B.

Risultati: Z˙ABeq=15+j5 Ω\dot Z_{ABeq} = 15 + j5\ \Omega, VˉAB0=80−j40 V\bar V_{AB0} = 80 - j40\ \mathrm V, Iˉcc=4−j4 A\bar I_{cc} = 4 - j4\ \mathrm A.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

  • Eˉ=802 e−jπ/4=80−j80\bar E = 80\sqrt2\, e^{-j\pi/4} = 80 - j80
  • Jˉ=4 ejπ/2=j4\bar J = 4\, e^{j\pi/2} = j4
  • Z˙L1=j15\dot Z_{L1} = j15,  Z˙C1=−j10\ \dot Z_{C1} = -j10

2. Impedenza equivalente

GIC aperto, GIT in corto. Serie di L1L_1, R2R_2, R1R_1, R3R_3, C1C_1:

Z˙ABeq=j15+3+10+2−j10=15+j5 Ω\boxed{\dot Z_{ABeq} = j15 + 3 + 10 + 2 - j10 = 15 + j5\ \Omega}

3. Tensione a vuoto

A vuoto non scorre corrente su L1L_1, R2R_2, R3R_3, C1C_1 (tensione nulla, UˉA=UˉT\bar U_A = \bar U_T, UˉD=UˉB+Eˉ\bar U_D = \bar U_B + \bar E); la corrente del GIC passa interamente in R1R_1: UˉT−UˉD=R1Jˉ=j40\bar U_T - \bar U_D = R_1 \bar J = j40.

VˉAB0=(UˉT−UˉD)+(UˉD−UˉB)=j40+80−j80\bar V_{AB0} = (\bar U_T - \bar U_D) + (\bar U_D - \bar U_B) = j40 + 80 - j80 VˉAB0=80−j40 V\boxed{\bar V_{AB0} = 80 - j40\ \mathrm V}

4. Corrente di cortocircuito

Iˉcc=VˉAB0Z˙ABeq=80−j4015+j5=(80−j40)(15−j5)250=1000−j1000250=4−j4 A\bar I_{cc} = \frac{\bar V_{AB0}}{\dot Z_{ABeq}} = \frac{80 - j40}{15 + j5} = \frac{(80 - j40)(15 - j5)}{250} = \frac{1000 - j1000}{250} = 4 - j4\ \mathrm A Verifica diretta: con A–B in corto il GIC con R1R_1 equivale a un GIT R1Jˉ=j40R_1\bar J = j40 in serie a R1R_1; nella maglia agiscono j40j40 ed Eˉ\bar E con impedenza totale 15+j515 + j5, stesso risultato ✓.

Teoria collegata