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Note per Studenti Esercizio 1.58 - potenziali di nodo con due GIT e due GIC

Esercizio 1.58 - potenziali di nodo con due GIT e due GIC

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Testo (Eserciziario, es. 1.58). Rete a regime stazionario con J1=5 AJ_1 = 5\ \mathrm A, J2=6 AJ_2 = 6\ \mathrm A, E1=160 VE_1 = 160\ \mathrm V, E2=120 VE_2 = 120\ \mathrm V, R1=R2=R3=R4=40 ΩR_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 40\ \Omega. Prendendo il nodo A come riferimento, determinare UBU_B e UCU_C.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = C, nodo B a metà altezza al centro.

Bipolo Tra i nodi Note
J1J_1 C → A lato sinistro, freccia in su
R1R_1 A – C verticale
R2R_2 A – B verticale al centro, in alto
J2J_2 B → A a destra di R2R_2, freccia in su (verso A)
E1E_1 + R3R_3 B – C ramo centrale in basso: E1E_1 sotto B con il ++ in alto, poi R3R_3 fino a C
R4R_4 + E2E_2 A – C lato destro: R4R_4 in alto, E2E_2 in basso con il −- in alto e il ++ verso C

Risultati: UB=−96 VU_B = -96\ \mathrm V, UC=−112 VU_C = -112\ \mathrm V.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →, Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →.

1. Trasformare i due rami GIT–R

  • E1E_1–R3R_3 (tra B e C, ++ verso B): GIC Jp1=E1/R3=4 AJ_{p1} = E_1/R_3 = 4\ \mathrm A con la freccia verso B (entra in B, esce da C), in parallelo a Rp1=40 ΩR_{p1} = 40\ \Omega.
  • R4R_4–E2E_2 (tra A e C, ++ verso C): GIC Jp2=E2/R4=3 AJ_{p2} = E_2/R_4 = 3\ \mathrm A con la freccia verso C (entra in C, esce da A), in parallelo a Rp2=40 ΩR_{p2} = 40\ \Omega.

Ora ci sono solo resistori e GIC: due equazioni (nodi B e C), A è il riferimento.

2. Le equazioni

Nodo Autoconduttanza Mutua con l'altro nodo Correnti impresse entranti
B 1R2+1Rp1=0,05\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_{p1}} = 0{,}05 1Rp1=0,025\frac{1}{R_{p1}} = 0{,}025 −J2-J_2 (esce), +Jp1+J_{p1} (entra): −6+4=−2-6 + 4 = -2
C 1R1+1Rp1+1Rp2=0,075\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_{p1}} + \frac{1}{R_{p2}} = 0{,}075 0,0250{,}025 −J1-J_1, −Jp1-J_{p1}, +Jp2+J_{p2}: −5−4+3=−6-5 - 4 + 3 = -6

{0,05 UB−0,025 UC=−2−0,025 UB+0,075 UC=−6\begin{cases} 0{,}05\, U_B - 0{,}025\, U_C = -2 \\ -0{,}025\, U_B + 0{,}075\, U_C = -6 \end{cases}

3. Risoluzione

Dalla prima: UB=−40+0,5 UCU_B = -40 + 0{,}5\, U_C. Nella seconda:

−0,025(−40+0,5 UC)+0,075 UC=−6⟹1+0,0625 UC=−6⟹UC=−112 V-0{,}025(-40 + 0{,}5\, U_C) + 0{,}075\, U_C = -6 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 0{,}0625\, U_C = -6 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_C = -112\ \mathrm V}

UB=−40−56=−96 V\boxed{U_B = -40 - 56 = -96\ \mathrm V}

4. Verifica sulla rete originale

Correnti verso il nodo C (con UA=0U_A = 0):

  • da R1R_1: (0−(−112))/40=2,8 A(0 - (-112))/40 = 2{,}8\ \mathrm A;
  • dal ramo E1E_1–R3R_3: il nodo tra E1E_1 e R3R_3 sta a UB−E1=−256 VU_B - E_1 = -256\ \mathrm V, quindi in R3R_3 passano (−256+112)/40=−3,6 A(-256 + 112)/40 = -3{,}6\ \mathrm A verso C, cioè 3,6 A3{,}6\ \mathrm A escono da C;
  • dal ramo R4R_4–E2E_2: il nodo tra R4R_4 ed E2E_2 sta a UC−E2=−232 VU_C - E_2 = -232\ \mathrm V; in R4R_4 passano (0+232)/40=5,8 A(0 + 232)/40 = 5{,}8\ \mathrm A da A verso il basso, che arrivano in C;
  • J1J_1 esce da C con 5 A5\ \mathrm A.

Entranti 2,8+5,8=8,62{,}8 + 5{,}8 = 8{,}6; uscenti 3,6+5=8,63{,}6 + 5 = 8{,}6 ✓.

Le frecce dei GIC equivalentiLa freccia punta sempre verso il morsetto + del GIT che sostituiscono: è la condizione perché il GIC faccia uscire corrente dallo stesso lato del GIT. sono la fonte di errore più frequente in questo tipo di esercizio.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 1.58). Rete a regime stazionario con J1=5 AJ_1 = 5\ \mathrm A, J2=6 AJ_2 = 6\ \mathrm A, E1=160 VE_1 = 160\ \mathrm V, E2=120 VE_2 = 120\ \mathrm V, R1=R2=R3=R4=40 ΩR_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 40\ \Omega. Prendendo il nodo A come riferimento, determinare UBU_B e UCU_C.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = C, nodo B a metà altezza al centro.

Bipolo Tra i nodi Note
J1J_1 C → A lato sinistro, freccia in su
R1R_1 A – C verticale
R2R_2 A – B verticale al centro, in alto
J2J_2 B → A a destra di R2R_2, freccia in su (verso A)
E1E_1 + R3R_3 B – C ramo centrale in basso: E1E_1 sotto B con il ++ in alto, poi R3R_3 fino a C
R4R_4 + E2E_2 A – C lato destro: R4R_4 in alto, E2E_2 in basso con il −- in alto e il ++ verso C

Risultati: UB=−96 VU_B = -96\ \mathrm V, UC=−112 VU_C = -112\ \mathrm V.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →, Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →.

Metodo: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) → dopo trasformazione dei GIT in GICUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →.

  1. Trasformazione rami GIT–R:
    • E1E_1–R3R_3 (tra B e C) →\rightarrow Jp1=E1/R3=4 AJ_{p1} = E_1/R_3 = 4\ \mathrm A verso B, Rp1=40 ΩR_{p1} = 40\ \Omega.
    • R4R_4–E2E_2 (tra A e C) →\rightarrow Jp2=E2/R4=3 AJ_{p2} = E_2/R_4 = 3\ \mathrm A verso C, Rp2=40 ΩR_{p2} = 40\ \Omega.
  2. Sistema nodale (rif. A): {0,05 UB−0,025 UC=−2−0,025 UB+0,075 UC=−6\begin{cases} 0{,}05\, U_B - 0{,}025\, U_C = -2 \\ -0{,}025\, U_B + 0{,}075\, U_C = -6 \end{cases}
  3. Risoluzione: dalla prima UB=−40+0,5 UCU_B = -40 + 0{,}5\, U_C; nella seconda 1+0,0625 UC=−61 + 0{,}0625\, U_C = -6, quindi UC=−112 VU_C = -112\ \mathrm V, UB=−96 VU_B = -96\ \mathrm V.

Verifica in C: entranti 2,8+5,8=8,6 A2{,}8 + 5{,}8 = 8{,}6\ \mathrm A, uscenti 3,6+5=8,6 A3{,}6 + 5 = 8{,}6\ \mathrm A ✓.

Errori tipici: sbagliare il verso della Le frecce dei GIC equivalentiLa freccia punta sempre verso il morsetto + del GIT che sostituiscono: è la condizione perché il GIC faccia uscire corrente dallo stesso lato del GIT. rispetto al polo del GIT.

Teoria collegata