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Note per Studenti Esercizio 3.22 - Norton e potenza reattiva del condensatore

Esercizio 3.22 - Norton e potenza reattiva del condensatore

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Testo (Eserciziario, es. 3.22). Rete a regime sinusoidale con R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=20 ΩR_2 = 20\ \Omega, L=10 mHL = 10\ \mathrm{mH}, C=50 μFC = 50\ \mu\mathrm F, e(t)=1002cos⁡(2000t−π2)e(t) = 100\sqrt2\cos\left(2000t - \frac{\pi}{2}\right), j(t)=52cos⁡(2000t)j(t) = 5\sqrt2\cos(2000t).

  1. Applicare il teorema di Norton alla rete a destra della porta AB: determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq} e il fasore Iˉcc\bar I_{cc} della corrente di cortocircuito, uscente da A.
  2. Nella rete completa calcolare la potenza reattiva QCQ_C entrante nel condensatore.

Figura (descritta). A sinistra della porta: CC tra A (in alto) e B (in basso). Nel riquadro, quattro rami in parallelo tra il filo di A e quello di B: R1R_1; LL; il GIC jj (freccia in su, verso A); R2R_2 in serie al GIT ee (R2R_2 in alto, ee in basso con il ++ in alto).

Risultati: Z˙ABeq=2(3+j)=6+j2 Ω\dot Z_{ABeq} = 2(3 + j) = 6 + j2\ \Omega, Iˉcc=5(1−j) A\bar I_{cc} = 5(1 - j)\ \mathrm A, QC=−200 VARQ_C = -200\ \mathrm{VAR}.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

Eˉ=100 e−jπ/2=−j100\bar E = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100, Jˉ=5\bar J = 5; Z˙L=j20\dot Z_L = j20, Z˙C=−j2000⋅50⋅10−6=−j10\dot Z_C = -\frac{j}{2000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = -j10.

2. Impedenza equivalente

Generatori spenti: restano R1R_1, LL, R2R_2 in parallelo. Con le ammettenze:

Y˙eq=110+1j20+120=0,15−j0,05 S\dot Y_{eq} = \frac{1}{10} + \frac{1}{j20} + \frac{1}{20} = 0{,}15 - j0{,}05\ \mathrm S

Z˙ABeq=10,15−j0,05=0,15+j0,050,025=6+j2=2(3+j) Ω\dot Z_{ABeq} = \frac{1}{0{,}15 - j0{,}05} = \frac{0{,}15 + j0{,}05}{0{,}025} = 6 + j2 = 2(3 + j)\ \Omega

3. Corrente di cortocircuito

Con A e B in cortocircuito la tensione della porta è nulla: R1R_1 e LL non portano corrente. Verso A arrivano:

  • dal GIC: Jˉ=5\bar J = 5;
  • dal ramo R2R_2–ee: il nodo tra R2R_2 e il GIT è a Eˉ\bar E (il ++ in alto), quindi in R2R_2 sale verso A la corrente Eˉ−0R2=−j10020=−j5\frac{\bar E - 0}{R_2} = \frac{-j100}{20} = -j5.

Iˉcc=5−j5=5(1−j) A\boxed{\bar I_{cc} = 5 - j5 = 5(1 - j)\ \mathrm A}

4. Potenza reattiva del condensatore

Norton: un GIC Iˉcc\bar I_{cc} in parallelo a Y˙eq\dot Y_{eq}, chiuso su CC (Y˙C=j0,1\dot Y_C = j0{,}1). La tensione della porta è

VˉAB=IˉccY˙eq+Y˙C=5−j50,15−j0,05+j0,1=5−j50,15+j0,05=(5−j5)(0,15−j0,05)0,025=20−j40 V\bar V_{AB} = \frac{\bar I_{cc}}{\dot Y_{eq} + \dot Y_C} = \frac{5 - j5}{0{,}15 - j0{,}05 + j0{,}1} = \frac{5 - j5}{0{,}15 + j0{,}05} = \frac{(5 - j5)(0{,}15 - j0{,}05)}{0{,}025} = 20 - j40\ \mathrm V

QC=−ωC VAB2=−VAB2∣XC∣=−400+160010=−200 VAR\boxed{Q_C = -\omega C\, V_{AB}^2 = -\frac{V_{AB}^2}{|X_C|} = -\frac{400 + 1600}{10} = -200\ \mathrm{VAR}}

Basta il modulo di VˉAB\bar V_{AB}: VAB2=∣5−j5∣2∣0,15+j0,05∣2=500,025=2000 V2V_{AB}^2 = \frac{|5 - j5|^2}{|0{,}15 + j0{,}05|^2} = \frac{50}{0{,}025} = 2000\ \mathrm{V^2}.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.22). Rete a regime sinusoidale con R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=20 ΩR_2 = 20\ \Omega, L=10 mHL = 10\ \mathrm{mH}, C=50 μFC = 50\ \mu\mathrm F, e(t)=1002cos⁡(2000t−π2)e(t) = 100\sqrt2\cos\left(2000t - \frac{\pi}{2}\right), j(t)=52cos⁡(2000t)j(t) = 5\sqrt2\cos(2000t).

  1. Applicare il teorema di Norton alla rete a destra della porta AB: determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq} e il fasore Iˉcc\bar I_{cc} della corrente di cortocircuito, uscente da A.
  2. Nella rete completa calcolare la potenza reattiva QCQ_C entrante nel condensatore.

Figura (descritta). A sinistra della porta: CC tra A (in alto) e B (in basso). Nel riquadro, quattro rami in parallelo tra il filo di A e quello di B: R1R_1; LL; il GIC jj (freccia in su, verso A); R2R_2 in serie al GIT ee (R2R_2 in alto, ee in basso con il ++ in alto).

Risultati: Z˙ABeq=2(3+j)=6+j2 Ω\dot Z_{ABeq} = 2(3 + j) = 6 + j2\ \Omega, Iˉcc=5(1−j) A\bar I_{cc} = 5(1 - j)\ \mathrm A, QC=−200 VARQ_C = -200\ \mathrm{VAR}.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

Eˉ=100 e−jπ/2=−j100\bar E = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100, Jˉ=5\bar J = 5; Z˙L=jωL=j20\dot Z_L = j\omega L = j20, Z˙C=−jωC=−j10\dot Z_C = -\frac{j}{\omega C} = -j10.

2. Impedenza equivalente

Generatori spenti: R1R_1, LL, R2R_2 in parallelo. Y˙eq=110+1j20+120=0,15−j0,05 S\dot Y_{eq} = \frac{1}{10} + \frac{1}{j20} + \frac{1}{20} = 0{,}15 - j0{,}05\ \mathrm S Z˙ABeq=10,15−j0,05=6+j2 Ω\dot Z_{ABeq} = \frac{1}{0{,}15 - j0{,}05} = 6 + j2\ \Omega

3. Corrente di cortocircuito

Cortocircuitando AB la tensione della porta è nulla: R1R_1 e LL non portano corrente. Verso A arrivano:

  • Contributo GIC: Jˉ=5\bar J = 5;
  • Contributo ramo R2R_2–ee: EˉR2=−j10020=−j5\frac{\bar E}{R_2} = \frac{-j100}{20} = -j5. Iˉcc=5−j5 A\boxed{\bar I_{cc} = 5 - j5\ \mathrm A}

4. Potenza reattiva del condensatore

Equivalente di Norton chiuso su CC (Y˙C=j0,1\dot Y_C = j0{,}1): VˉAB=IˉccY˙eq+Y˙C=5−j50,15+j0,05=20−j40 V\bar V_{AB} = \frac{\bar I_{cc}}{\dot Y_{eq} + \dot Y_C} = \frac{5 - j5}{0{,}15 + j0{,}05} = 20 - j40\ \mathrm V VAB2=∣VˉAB∣2=202+(−40)2=2000 V2V_{AB}^2 = |\bar V_{AB}|^2 = 20^2 + (-40)^2 = 2000\ \mathrm{V^2}. QC=−VAB2∣XC∣=−200010=−200 VAR\boxed{Q_C = -\frac{V_{AB}^2}{|X_C|} = -\frac{2000}{10} = -200\ \mathrm{VAR}}

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