Metodo delle correnti di anello

Dispensa, paragrafi 10.4 e 10.5. È il duale dell'Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →: lì si usano potenziali e si scrivono LKC, qui si usano correnti di anello e si scrivono LKT. Si applica a reti con grafo piano (disegnabili senza incroci), dove gli anelli sono le "finestre" del disegno (vedi Grafo di una rete ed equazioni indipendentiIl grafo di una rete tiene solo i collegamenti (nodi e lati). Scelto un albero (n−1 lati, connesso, senza maglie), ogni lato di coalbero dà una LKT indipendente e ogni lato d'albero una LKC indipendente: in totale ℓ − n + 1 LKT e n − 1 LKC, che con le ℓ equazioni dei bipoli fanno 2ℓ equazioni per 2ℓ incognite.Grafo di una rete ed equazioni indipendenti →).

Le correnti di anello

Una corrente di anello è una corrente fittizia che percorre tutti i lati di un anello e solo quelli, richiudendosi su sé stessa. Se ne prende una per ogni anello: sono $m = \ell - n + 1$. Per semplicità si orientano tutte nello stesso verso (tutte orarie, oppure tutte antiorarie).

Proprietà (correnti di lato e correnti di anello). La corrente vera di ogni lato si ottiene sommando le correnti di anello che lo attraversano:

• lato di un solo anello (sul bordo esterno): $i_h = \pm\, i_{Ar}$;
• lato in comune tra due anelli adiacenti: $i_h = \pm\,(i_{Ar} - i_{As})$. Con tutte le correnti nello stesso verso, due anelli vicini percorrono il lato comune in versi opposti: per questo compare una differenza.

Il segno è $+$ se il riferimento di $i_h$ è concorde con $i_{Ar}$, $-$ altrimenti.

Esempio. Con $i_{A1} = 3\ \mathrm A$ e $i_{A2} = 1\ \mathrm A$ nello stesso verso, il lato in comune ha corrente $3 - 1 = 2\ \mathrm A$ e un lato esterno del primo anello ha $3\ \mathrm A$.

Perché le LKC sono automatiche. Ogni corrente di anello entra in un nodo e ne riesce (si richiude su sé stessa), quindi dà contributo nullo a ogni LKC. Esempio: con $i_1 = i_{A1}$, $i_2 = i_{A1} - i_{A2}$, $i_3 = i_{A2}$, la LKC $i_1 - i_2 - i_3 = 0$ diventa $i_{A1} - i_{A1} + i_{A2} - i_{A2} = 0$, vera qualunque siano le correnti di anello.

Restano da imporre solo le LKT sugli $m$ anelli: tante quante le incognite.

Conviene il metodo con meno incognite: reti con pochi nodi e molti lati $\Rightarrow$ analisi nodale; reti con pochi anelli $\Rightarrow$ correnti di anello.

Il metodo su un esempio (solo resistori e GIT)

Rete di Esercizio 1.36 - correnti di anello con due GIT: tre anelli affiancati, correnti $i_{A1}$, $i_{A2}$, $i_{A3}$ tutte orarie.

1. LKT su ogni anello, percorso nel verso della sua corrente, con il $+$ per le tensioni attraversate dal $+$ al $-$;

2. tensioni dei resistori come $R \cdot i$ e f.e.m. dei GIT a destra;

3. correnti di lato come combinazioni delle correnti di anello. Il risultato, riordinato, è

$$\begin{cases} (R_4 + R_5)\, i_{A1} - R_4\, i_{A2} = -e_2 \\ -R_4\, i_{A1} + (R_1 + R_3 + R_4)\, i_{A2} - R_1\, i_{A3} = 0 \\ -R_1\, i_{A2} + (R_1 + R_2)\, i_{A3} = -e_1 \end{cases}$$

La regola pratica (scrittura per ispezione)

Formula (correnti di anello per ispezione). Per l'anello $h$, con tutte le correnti di anello nello stesso verso:

$$\boxed{\;R_{hh}\, i_{Ah} - \sum_{k \ne h} R_{hk}\, i_{Ak} = e_h\;}$$

• autoresistenza $R_{hh}$: somma di tutte le resistenze dell'anello $h$;
• mutua resistenza $R_{hk}$: resistenza del lato (o dei lati) in comune tra gli anelli $h$ e $k$;
• tensione impressa di anello $e_h$: somma algebrica delle f.e.m. dei GIT dell'anello, con il $+$ se, percorrendo l'anello nel verso di $i_{Ah}$, si attraversa il GIT dal $-$ al $+$ (il GIT "spinge" nel verso della corrente di anello), con il $-$ altrimenti.

Esempio. Anello $1$: $10\ \Omega$ esterno, $10\ \Omega$ in comune e un GIT da $12\ \mathrm V$ nel verso di $i_{A1}$; anello $2$: $20\ \Omega$ esterno e lo stesso lato da $10\ \Omega$. Il sistema $20\,i_{A1} - 10\,i_{A2} = 12$, $-10\,i_{A1} + 30\,i_{A2} = 0$ dà $i_{A1} = 0{,}72\ \mathrm A$ e $i_{A2} = 0{,}24\ \mathrm A$; nel lato in comune passano $0{,}48\ \mathrm A$.

Da dove viene. $R_{hh} i_{Ah} - \sum R_{hk} i_{Ak}$ è la somma delle cadute di tensione sui resistori dell'anello: su un lato in comune la corrente vera è $i_{Ah} - i_{Ak}$. A destra ci sono le f.e.m. che spingono nel verso di percorrenza. È la LKT: "cadute sui resistori = f.e.m. dei generatori".

La matrice di resistenza di anello $\tilde R$ è simmetrica, come la matrice di conduttanza dell'analisi nodale.

Invertire il verso di tutte le correnti di anello (da orario ad antiorario) lascia invariato il primo membro e cambia segno ai termini noti: le correnti di anello cambiano segno, ma le correnti di lato tornano uguali.

Semplificare prima: i resistori in serie si sommano subito; un parallelo va ridotto prima, perché crea un anello in più. Un ramo "GIC in parallelo a R" si trasforma in "GIT in serie a R".

Metodo modificato: reti con GIC

Un GIC senza resistore in parallelo ha tensione non esprimibile come $R \cdot i$. Come nella MNA, ma con i ruoli scambiati:

1. per ogni GIC si introduce come incognita in più la sua tensione $v_j$;
2. nelle LKT si tratta il GIC come se fosse un GIT di f.e.m. $v_j$ (con la stessa regola dei segni);
3. per ogni GIC si aggiunge l'equazione $j =$ (combinazione delle correnti di anello che lo attraversano).

Il caso facile. Se il GIC sta su un lato esterno (di un solo anello), quella corrente di anello è nota subito: $i_{Ar} = \pm j$. L'equazione di quell'anello serve solo, alla fine, a trovare $v_j$ (Esercizio 1.34 - correnti di anello con un GIC, Esercizio 1.35 - correnti di anello, GIC in parallelo a un resistore).

Il caso con GIC interno (tra due anelli): $j = \pm(i_{Ar} - i_{As})$. Sommando le equazioni dei due anelli, $v_j$ si cancella (è la LKT sulla maglia che contorna entrambi gli anelli evitando il GIC). Svolto in Esercizio 1.37 - correnti di anello modificato con due GIC.

Errori comuni

• Orientare le correnti di anello in versi diversi: la regola pratica (segno $-$ davanti a tutte le mutue resistenze) vale solo con tutte le correnti nello stesso verso.
• Segno della f.e.m.: $+$ quando si va dal $-$ al $+$ del GIT nel verso della corrente di anello.
• Confondere corrente di anello e corrente di lato sui lati in comune: la corrente vera è la differenza.
• Usare il metodo su una rete non piana: gli anelli non sono definiti; si usano le maglie fondamentali o l'analisi nodale.