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Note per Studenti Esercizio 2.9 - resistenza interna con un GTPC e tre resistori

Esercizio 2.9 - resistenza interna con un GTPC e tre resistori

Testo (Eserciziario, es. 2.9). Rete in regime stazionario con R1=180 ΩR_1 = 180\ \Omega, R2=100 ΩR_2 = 100\ \Omega, R3=180 ΩR_3 = 180\ \Omega, un GIT E=15 VE = 15\ \mathrm V e un GTPC con r=20 Ωr = 20\ \Omega. Determinare la resistenza interna RiR_i ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in alto a destra = A, filo in basso a destra = B. A sinistra due nodi: P (in alto) e Q (in basso).

Bipolo Tra i nodi Note
GTPC rIR2r I_{R2} P – A in alto, ++ verso P: VP−VA=rIR2V_P - V_A = r I_{R2}
R1R_1 P – Q lato sinistro
EE Q – B in basso, ++ verso Q
R2R_2 A – B IR2I_{R2} verso il basso
R3R_3 A – B accanto a R2R_2

Risultato: Ri=45 ΩR_i = 45\ \Omega.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Generatore di prova

EE spento (cortocircuito): Q coincide con B. GIT di prova V∗V^* su AB, VB=0V_B = 0, VA=V∗V_A = V^*.

  1. Controllo: IR2=V∗/R2=V∗/100I_{R2} = V^* / R_2 = V^*/100.
  2. Nodo P: VP=VA+rIR2=V∗+20100V∗=1,2 V∗V_P = V_A + r I_{R2} = V^* + \frac{20}{100} V^* = 1{,}2\, V^*.
  3. Ramo GTPC–R1R_1: la corrente va da A a P attraverso il GTPC, poi scende in R1R_1 fino a Q (= B): vale VP/R1=1,2V∗/180V_P / R_1 = 1{,}2 V^* / 180.
  4. LKC in A: dalla prova entra I∗I^*, escono le correnti in R2R_2, R3R_3 e nel ramo del GTPC:

I∗=V∗100+V∗180+1,2 V∗180=V∗(0,01+2,2180)=V∗⋅1,8+2,2180=V∗45I^* = \frac{V^*}{100} + \frac{V^*}{180} + \frac{1{,}2\, V^*}{180} = V^* \left( 0{,}01 + \frac{2{,}2}{180} \right) = V^* \cdot \frac{1{,}8 + 2{,}2}{180} = \frac{V^*}{45}

Ri=45 Ω\boxed{R_i = 45\ \Omega}

Confronto. Senza il pilotato (r=0r = 0) si avrebbe R1∥R2∥R3=180∥180∥100=90∥100=47,4 ΩR_1 \parallel R_2 \parallel R_3 = 180 \parallel 180 \parallel 100 = 90 \parallel 100 = 47{,}4\ \Omega. Il GTPC fa sembrare R1R_1 un resistore da 180/1,2=150 Ω180/1{,}2 = 150\ \Omega, e 150∥180∥100=45 Ω150 \parallel 180 \parallel 100 = 45\ \Omega.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 2.9). Rete in regime stazionario con R1=180 ΩR_1 = 180\ \Omega, R2=100 ΩR_2 = 100\ \Omega, R3=180 ΩR_3 = 180\ \Omega, un GIT E=15 VE = 15\ \mathrm V e un GTPC con r=20 Ωr = 20\ \Omega. Determinare la resistenza interna RiR_i ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in alto a destra = A, filo in basso a destra = B. A sinistra due nodi: P (in alto) e Q (in basso).

Bipolo Tra i nodi Note
GTPC rIR2r I_{R2} P – A in alto, ++ verso P: VP−VA=rIR2V_P - V_A = r I_{R2}
R1R_1 P – Q lato sinistro
EE Q – B in basso, ++ verso Q
R2R_2 A – B IR2I_{R2} verso il basso
R3R_3 A – B accanto a R2R_2

Risultato: Ri=45 ΩR_i = 45\ \Omega.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Metodo: Generatore di provaUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →: EE spento (cortocircuito), GIT di prova V∗V^* su AB (VB=0V_B = 0, VA=V∗V_A = V^*).

  1. Controllo: IR2=V∗/R2=V∗/100I_{R2} = V^* / R_2 = V^*/100.
  2. Nodo P: VP=VA+rIR2=V∗+20100V∗=1,2 V∗V_P = V_A + r I_{R2} = V^* + \frac{20}{100} V^* = 1{,}2\, V^*.
  3. Corrente ramo superiore: da A passa nel GTPC e scende in R1R_1 fino a Q (= B): VPR1=1,2V∗180\frac{V_P}{R_1} = \frac{1{,}2 V^*}{180}.
  4. LKC in A: I∗=V∗100+V∗180+1,2 V∗180=V∗45I^* = \frac{V^*}{100} + \frac{V^*}{180} + \frac{1{,}2\, V^*}{180} = \frac{V^*}{45} Ri=45 Ω\boxed{R_i = 45\ \Omega} Senza pilotato sarebbe R1∥R2∥R3=47,4 ΩR_1 \parallel R_2 \parallel R_3 = 47{,}4\ \Omega; il GTPC fa sembrare R1R_1 un resistore da 180/1,2=150 Ω180/1{,}2 = 150\ \Omega, e 150∥180∥100=45 Ω150 \parallel 180 \parallel 100 = 45\ \Omega.

Errori tipici: sbagliare il verso o la dipendenza del generatore pilotato nel calcolo del potenziale del nodo P.

Teoria collegata