Circuiti del secondo ordine (RLC)

Dispensa, capitolo 16. Estende i Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) → al caso con due componenti dinamici, un CondensatoreIl condensatore ideale ha q = C v e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, i = C dv/dt (C in farad). È un bipolo dinamico con memoria: v(t) = v(t0) + (1/C) ∫ i dt. Con corrente limitata la tensione è continua (non può saltare). Immagazzina l'energia W_C = ½ C v², senza dissiparla: è passivo e la sua variabile di stato è la tensione. In regime stazionario è un circuito aperto. Serie: 1/C_s = Σ 1/C_k; parallelo: C_p = Σ C_k (al contrario dei resistori).Condensatore → e un InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore →. Il metodo in tre tempi è quello di Regime variabile, istanti critici e condizioni inizialiIn regime variabile le reti contengono condensatori, induttori e interruttori o deviatori che commutano in un istante critico (t = 0). Se all'istante critico tutte le grandezze restano limitate, valgono vC(0+) = vC(0-) e iL(0+) = iL(0-): le variabili di stato sono continue, le altre grandezze possono saltare. L'analisi si divide in t < 0 (di solito regime stazionario: C aperto, L in corto, da cui vC(0-) e iL(0-)), t = 0 (continuità) e t > 0 (equazione differenziale). Le eccezioni sono le maglie capacitive e gli insiemi di taglio induttivi, dove compaiono impulsi di Dirac.Regime variabile, istanti critici e condizioni iniziali →.

1. RLC serie con GIT costante

Circuito. Un GIT costante $E$, un resistore $R$, un induttore $L$ e un condensatore $C$ in serie, collegati in $t = 0$ da un commutatore (per $t < 0$ la maglia R–L–C è chiusa su se stessa, senza generatore, ed è a regime).

$t < 0$. A regime stazionario L è un cortocircuito e C un aperto: nella maglia non passa corrente, $v_R = 0$, e dalla LKT anche $v_C = 0$. Quindi $i_L(0^-) = 0$, $v_C(0^-) = 0$.

$t = 0$. Continuità di entrambe le variabili di stato: $i_L(0^+) = 0$, $v_C(0^+) = 0$.

$t > 0$. Un'unica corrente $i$ in tutti i bipoli:

$$v_R + v_L + v_C = E, \qquad v_R = R\, i, \qquad v_L = L \frac{di}{dt}, \qquad i = C \frac{dv_C}{dt}$$

Si sceglie come incognita $v_C$ e si sostituisce $i = C\, \dot v_C$ (quindi $\frac{di}{dt} = C\, \ddot v_C$):

$$LC\, \frac{d^2 v_C}{dt^2} + RC\, \frac{dv_C}{dt} + v_C = E$$

Formula (equazione del circuito RLC serie). Dividendo per $LC$:

$$\boxed{\;\frac{d^2 v_C}{dt^2} + 2\alpha\, \frac{dv_C}{dt} + \omega_0^2\, v_C = \omega_0^2\, E, \qquad \alpha = \frac{R}{2L}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\;}$$

• $\alpha$ è la costante di smorzamento (in $\mathrm s^{-1}$): misura quanto il resistore "frena" il circuito.
• $\omega_0$ è la pulsazione di risonanza (in $\mathrm{rad/s}$): la pulsazione con cui il circuito oscillerebbe senza resistore. Tornerà nella risonanzaIn un RLC serie l'impedenza Ż = R + j(ωL - 1/ωC) ha modulo minimo, pari a R, alla pulsazione di risonanza ω0 = 1/√(LC), dove le reattanze di L e C si annullano: la serie LC equivale a un cortocircuito e su L e C compaiono tensioni Q volte quella applicata (Q = ω0 L / R). Nel parallelo RLC l'ammettenza è minima (G) a ω0: il parallelo LC equivale a un circuito aperto e le correnti in L e C sono Q volte quella totale (Q = ω0 R C). Usati come filtri passa banda: banda B = ω2 - ω1 = ω0 / Q.Risonanza serie e parallelo →.

Esempio. Con $L = 25\ \mathrm{mH}$, $C = 10\ \mu\mathrm F$ e $R = 200\ \Omega$: $\alpha = R/2L = 4000\ \mathrm s^{-1}$ e $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 2000\ \mathrm{rad/s}$.

Se invece si sceglie $i_L$ come incognita (derivando la LKT), si ottiene $\ddot i_L + 2\alpha\, \dot i_L + \omega_0^2\, i_L = \frac{1}{L}\frac{dE}{dt} = 0$: stessa parte sinistra, quindi stesso comportamento (stesse radici); il secondo membro è nullo perché $E$ è costante.

2. RLC parallelo con GIC costante

Formula (equazione del circuito RLC parallelo). Duale: un GIC costante $J$ alimenta in $t = 0$ il parallelo di $R$ (conduttanza $G$), $L$ e $C$. Stessa tensione $v$ su tutti; LKC: $G v + i_L + C \frac{dv}{dt} = J$ con $v = L \frac{di_L}{dt}$:

$$\frac{d^2 i_L}{dt^2} + 2\alpha\, \frac{di_L}{dt} + \omega_0^2\, i_L = \omega_0^2\, J, \qquad \alpha = \frac{G}{2C} = \frac{1}{2RC}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Esempio. Con $R = 100\ \Omega$, $C = 10\ \mu\mathrm F$ e $L = 25\ \mathrm{mH}$: $\alpha = \frac{1}{2RC} = 500\ \mathrm s^{-1}$ e $\omega_0 = 2000\ \mathrm{rad/s}$ (circuito sottosmorzato).

Attenzione al ruolo di $R$: nel serie lo smorzamento cresce con $R$; nel parallelo cresce con $G = 1/R$, cioè diminuisce con $R$ (una $R$ infinita nel parallelo è un circuito aperto, che non smorza nulla).

3. La soluzione: omogenea più particolare

L'equazione generale è $\ddot x + 2\alpha\, \dot x + \omega_0^2\, x = u(t)$. Come al primo ordine, $x = x_o + x_p$.

Soluzione particolare. Con generatori costanti è costante ed è la soluzione di regime stazionario per $t > 0$: nel serie, C aperto e L in corto, quindi $i = 0$ e $v_C = E$. Con generatori sinusoidali è la soluzione di regime sinusoidale.

Proprietà (radici e tre casi di smorzamento del circuito RLC). Omogenea. Si cerca $e^{st}$: sostituendo si trova il polinomio caratteristico

$$s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$$

Il segno del discriminante $\Delta = \alpha^2 - \omega_0^2$ dà tre casi.

Caso	Condizione	Radici	Soluzione dell'omogenea
sovrasmorzato	$\alpha > \omega_0$	reali, negative, distinte	$A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$
criticamente smorzato	$\alpha = \omega_0$	reale doppia $-\alpha$	$e^{-\alpha t}(A_1 + A_2 t)$
sottosmorzato	$0 < \alpha < \omega_0$	complesse $-\alpha \pm j\omega_s$	$e^{-\alpha t}\,[A_1 \cos \omega_s t + A_2 \sin \omega_s t]$

Esempio. Con $\alpha = 500\ \mathrm s^{-1} < \omega_0 = 2000\ \mathrm{rad/s}$ (sottosmorzato) le radici sono $s_{1,2} = -500 \pm j\,\omega_s$ con $\omega_s = \sqrt{2000^2 - 500^2} \approx 1936{,}5\ \mathrm{rad/s}$.

con la pulsazione smorzata $\omega_s = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$. Nel caso sovrasmorzato ci sono due costanti di tempo $T_{1,2} = -1/s_{1,2}$, una minore e una maggiore di $1/\alpha$. Con $\alpha = 0$ (nessun resistore, circuito LC) la soluzione è una sinusoide che non si smorza mai.

Perché $t\,e^{-\alpha t}$ nel caso critico. Con una radice doppia $e^{-\alpha t}$ dà una sola soluzione indipendente; la seconda, come si dimostra in Analisi, è $t\, e^{-\alpha t}$.

Le due condizioni iniziali

Formula (condizioni iniziali per il secondo ordine). Un'equazione del secondo ordine ha due costanti, quindi servono due condizioni in $0^+$: il valore dell'incognita e quello della sua derivata. La derivata non è data direttamente, ma si ottiene dall'altra variabile di stato. Nel serie, con incognita $v_C$:

$$v_C(0^+) = v_C(0^-), \qquad \left.\frac{dv_C}{dt}\right|_{0^+} = \frac{i_C(0^+)}{C} = \frac{i_L(0^+)}{C}$$

(nel serie la corrente del condensatore è quella dell'induttore, che è continua). Nel parallelo, con incognita $i_L$: $\dot i_L(0^+) = v_L(0^+)/L = v_C(0^+)/L$.

Esempio. Nel serie con $C = 10\ \mu\mathrm F$ e $i_L(0^+) = 0$ si ha $\dot v_C(0^+) = 0$; con $i_L(0^+) = 0{,}5\ \mathrm A$ sarebbe $\dot v_C(0^+) = 0{,}5/10^{-5} = 5 \cdot 10^{4}\ \mathrm{V/s}$.

4. Esempi: RLC serie con $E = 10\ \mathrm V$, $L = 25\ \mathrm{mH}$, $C = 10\ \mu\mathrm F$

Condizioni iniziali nulle. $\omega_0 = 1/\sqrt{25 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-5}} = 1/\sqrt{2{,}5 \cdot 10^{-7}} = 2000\ \mathrm{rad/s}$. Il caso dipende solo da $R$: il caso critico si ha per $\alpha = \omega_0$, cioè $R = 2L\omega_0 = 2\sqrt{L/C} = 100\ \Omega$.

In tutti e tre i casi la soluzione è $v_C = E + x_o(t)$ e le condizioni sono $v_C(0^+) = 0$, $\dot v_C(0^+) = i_L(0^+)/C = 0$.

$R = 200\ \Omega$: sovrasmorzato

$\alpha = R/2L = 4000\ \mathrm s^{-1} > \omega_0$. Radici $s_{1,2} = -4000 \pm \sqrt{16 \cdot 10^6 - 4 \cdot 10^6} = -4000 \pm 3464$: $s_1 = -535{,}9\ \mathrm s^{-1}$, $s_2 = -7464{,}1\ \mathrm s^{-1}$ (costanti di tempo $1{,}866\ \mathrm{ms}$ e $0{,}134\ \mathrm{ms}$).

Condizioni: $E + A_1 + A_2 = 0$ e $s_1 A_1 + s_2 A_2 = 0$. Dalla seconda $A_2 = -A_1 s_1/s_2$; sostituendo: $A_1 = \frac{s_2}{s_1 - s_2} E = -10{,}77\ \mathrm V$, $A_2 = 0{,}77\ \mathrm V$.

Formula (RLC serie sovrasmorzato: E = 10 V, L = 25 mH, C = 10 µF, R = 200 Ω). $$v_C(t) = 10 - 10{,}77\, e^{-535{,}9\, t} + 0{,}77\, e^{-7464{,}1\, t}\ \mathrm V, \qquad i_L(t) = C\frac{dv_C}{dt} = 0{,}0577\,\left(e^{-535{,}9\, t} - e^{-7464{,}1\, t}\right)\ \mathrm A$$

Esempio. Dopo $t = 1\ \mathrm{ms}$ la tensione è $v_C = 10 - 10{,}77\,e^{-0{,}536} + 0{,}77\,e^{-7{,}464} \approx 3{,}7\ \mathrm V$.

La tensione parte con tangente orizzontale (derivata nulla perché $i_L(0^+) = 0$), ha un flesso e sale verso $E$ senza superarlo. La corrente parte da zero, ha un massimo in corrispondenza del flesso della tensione e torna a zero. Il transitorio dura circa $5$ volte la costante di tempo maggiore ($\approx 9\ \mathrm{ms}$).

$R = 100\ \Omega$: criticamente smorzato

$\alpha = 2000 = \omega_0$, radice doppia $-2000\ \mathrm s^{-1}$. $v_C = E + e^{-\alpha t}(A_1 + A_2 t)$: da $v_C(0) = 0$, $A_1 = -E = -10\ \mathrm V$; da $\dot v_C(0) = A_2 - \alpha A_1 = 0$, $A_2 = \alpha A_1 = -20\,000\ \mathrm{V/s}$.

Formula (RLC serie criticamente smorzato: R = 100 Ω). $$v_C(t) = 10 - 10\, e^{-2000 t} - 20\,000\, t\, e^{-2000 t}\ \mathrm V, \qquad i_L(t) = 400\, t\, e^{-2000 t}\ \mathrm A$$

Esempio. Dopo $t = 1\ \mathrm{ms}$ la tensione è $v_C = 10 - 10\,e^{-2} - 20\,e^{-2} \approx 5{,}94\ \mathrm V$.

È il caso che raggiunge il valore finale più in fretta senza superarlo.

$R = 25\ \Omega$: sottosmorzato

$\alpha = 500\ \mathrm s^{-1} < \omega_0$, $\omega_s = \sqrt{2000^2 - 500^2} = 1936{,}5\ \mathrm{rad/s}$. $v_C = E + e^{-\alpha t}[A_1 \cos \omega_s t + A_2 \sin \omega_s t]$: da $v_C(0) = 0$, $A_1 = -E$; da $\dot v_C(0) = -\alpha A_1 + \omega_s A_2 = 0$, $A_2 = \frac{\alpha}{\omega_s} A_1 = -2{,}582\ \mathrm V$.

Formula (RLC serie sottosmorzato: R = 25 Ω). $$v_C(t) = 10 + e^{-500 t}\,[-10 \cos(1936{,}5\, t) - 2{,}582 \sin(1936{,}5\, t)]\ \mathrm V, \qquad i_L(t) = 0{,}2066\, e^{-500 t} \sin(1936{,}5\, t)\ \mathrm A$$

Esempio. Il primo massimo è a $t = \pi/\omega_s = 1{,}62\ \mathrm{ms}$ e vale $v_C = 10 + 10\,e^{-\alpha\pi/\omega_s} = 10 + 10\,e^{-0{,}811} \approx 14{,}4\ \mathrm V$.

La tensione supera $E$: il primo massimo è a $t = \pi/\omega_s = 1{,}62\ \mathrm{ms}$ e vale $14{,}4\ \mathrm V$ (sovraelongazione del $44\%$, pari a $e^{-\alpha \pi/\omega_s}$). Poi oscilla attorno a $E$ con pulsazione $\omega_s$ e ampiezza che si riduce come $e^{-\alpha t}$; il transitorio dura circa $5/\alpha = 10\ \mathrm{ms}$. La corrente è nulla nei massimi e minimi della tensione ed è massima nei suoi flessi.

Interpretazione energetica. Nel caso sottosmorzato l'energia "rimbalza" tra condensatore ($\frac12 C v_C^2$) e induttore ($\frac12 L i_L^2$), e a ogni passaggio il resistore ne dissipa una parte. Con $R$ grande la dissipazione è così forte che l'oscillazione non riesce a partire (sovrasmorzato).

5. Equazioni di stato

Formula (equazioni di stato dell'RLC serie). Invece di un'equazione del secondo ordine in una sola incognita, si possono scrivere due equazioni del primo ordine in entrambe le variabili di stato. Per l'RLC serie con un ingresso $e(t)$ qualsiasi, isolando le derivate:

$$\begin{cases} \dfrac{dv_C}{dt} = \dfrac{1}{C}\, i_L \\[2mm] \dfrac{di_L}{dt} = -\dfrac{1}{L}\, v_C - \dfrac{R}{L}\, i_L + \dfrac{1}{L}\, e(t) \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \dot{\mathbf x} = [A]\,\mathbf x + [B]\, u$$

con $\mathbf x = \begin{bmatrix} v_C \\ i_L \end{bmatrix}$, $[A] = \begin{bmatrix} 0 & 1/C \\ -1/L & -R/L \end{bmatrix}$, $[B] = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/L \end{bmatrix}$, $u = e(t)$.

Esempio. Con $R = 25\ \Omega$, $L = 25\ \mathrm{mH}$ e $C = 10\ \mu\mathrm F$: $[A] = \begin{bmatrix} 0 & 10^{5} \\ -40 & -1000 \end{bmatrix}$, il cui polinomio caratteristico è $s^2 + 1000\,s + 4 \cdot 10^{6}$, con radici $-500 \pm j\,1936\ \mathrm s^{-1}$.

• Gli autovalori di $[A]$ sono le radici del polinomio caratteristico: $\det([A] - s[I]) = s^2 + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC}$, lo stesso di prima.
• Questa forma si presta alla soluzione numerica (per esempio con il metodo di Eulero: $\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k + \Delta t\, (A \mathbf x_k + B u_k)$), utile quando l'ingresso non è costante né sinusoidale. È l'approccio che si generalizza ai circuiti di ordine superiore: Equazioni di stato e circuiti di ordine superioreUn circuito con n componenti dinamici (condensatori e induttori "indipendenti") è di ordine n. Si descrive con n equazioni di stato del primo ordine, dx/dt = A x + B u, nelle tensioni dei condensatori e correnti degli induttori. Per scriverle si risolve il circuito resistivo associato (ogni C sostituito da un GIT di valore vC, ogni L da un GIC di valore iL) e si ricavano iC e vL. Gli autovalori di A sono le frequenze naturali: la soluzione libera è una somma di modi e^(s t). Il circuito è assolutamente stabile se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa. Le equazioni si risolvono bene per via numerica (Eulero, SPICE).Equazioni di stato e circuiti di ordine superiore →.

6. Analogia meccanica

L'RLC serie scritto con la carica $q = C v_C$ diventa $L \ddot q + R \dot q + \frac{1}{C} q = E$, identico al sistema massa–molla–smorzatore $m \ddot x + b \dot x + k x = F$:

Gli ammortizzatori di un'auto sono progettati vicino allo smorzamento critico: l'auto torna in posizione rapidamente e senza oscillare.

Procedura per gli esercizi

1. $t < 0$: regime stazionario (C aperto, L in corto): $v_C(0^-)$, $i_L(0^-)$.
2. $t = 0$: continuità di entrambe; calcolare la derivata iniziale dell'incognita scelta tramite l'altra variabile di stato.
3. $t > 0$: scrivere l'equazione, trovare $\alpha$ e $\omega_0$ e stabilire il caso.
4. Soluzione particolare = regime per $t > 0$; omogenea dalla tabella; imporre le due condizioni.
5. Controlli: valori in $0^+$, valore finale, segno di $\alpha$ (positivo con resistori passivi).

Errori comuni

• Usare una sola condizione iniziale. Ne servono due.
• Porre la derivata iniziale uguale a zero per abitudine: è zero solo se l'altra variabile di stato è nulla in $0^+$.
• Confondere $\omega_0$ e $\omega_s$: le oscillazioni smorzate hanno pulsazione $\omega_s < \omega_0$.
• Applicare $\alpha = R/2L$ al circuito parallelo: lì $\alpha = 1/(2RC)$.

Domanda d'esame svolta: Domanda d'esame - transitorio di carica di un circuito RLC.