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Note per Studenti Esercizio 2.3 - matrici G e T di un resistore in serie

Esercizio 2.3 - matrici G e T di un resistore in serie

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Testo (Eserciziario, es. 2.3). Doppio bipolo con Ra=20 ΩR_a = 20\ \Omega, convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte.

  1. Calcolare la matrice [G][G].
  2. Calcolare la matrice [T][T] (trasmissione 1).

Figura (descritta). RaR_a sul filo superiore tra 1 e 2; il filo inferiore collega direttamente 1' e 2'. Nient'altro.

Risultati: [G]=[120−120−120120]S[G] = \begin{bmatrix} \frac{1}{20} & -\frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{1}{20} \end{bmatrix} \mathrm S, [T]=[120 Ω01]\quad [T] = \begin{bmatrix} 1 & 20\ \Omega \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

Teoria: Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →.

1. Matrice [G][G]

In RaR_a c'è la tensione v1−v2v_1 - v_2 (dal morsetto 1 al morsetto 2) e la corrente i1i_1, che poi esce tutta da 2: i2=−i1i_2 = -i_1 sempre. Con Ga=1/20 SG_a = 1/20\ \mathrm S:

i1=Ga(v1−v2),i2=−Ga(v1−v2)i_1 = G_a (v_1 - v_2), \qquad i_2 = -G_a (v_1 - v_2)

  • Porta 2 in cortocircuito (v2=0v_2 = 0): i1=Gav1i_1 = G_a v_1, i2=−Gav1i_2 = -G_a v_1, quindi G11=120 SG_{11} = \frac{1}{20}\ \mathrm S, G21=−120 SG_{21} = -\frac{1}{20}\ \mathrm S.
  • Porta 1 in cortocircuito (v1=0v_1 = 0): i1=−Gav2i_1 = -G_a v_2, i2=Gav2i_2 = G_a v_2, quindi G12=−120 SG_{12} = -\frac{1}{20}\ \mathrm S, G22=120 SG_{22} = \frac{1}{20}\ \mathrm S.

Non esiste [R][R]: det⁡[G]=1400−1400=0\det [G] = \frac{1}{400} - \frac{1}{400} = 0. Il motivo: i2=−i1i_2 = -i_1, le due correnti non si possono fissare indipendentemente. Con la porta 2 aperta (i2=0i_2 = 0) anche i1=0i_1 = 0, e R11=v1/i1R_{11} = v_1/i_1 non si può calcolare.

2. Matrice [T][T]

Porta 2 aperta (i2=0i_2 = 0): anche i1=0i_1 = 0, RaR_a non ha tensione e v1=v2v_1 = v_2.

A=v1v2∣i2=0=1,C=i1v2∣i2=0=0v2=0 SA = \left.\frac{v_1}{v_2}\right|_{i_2=0} = 1, \qquad C = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{i_2=0} = \frac{0}{v_2} = 0\ \mathrm S

Porta 2 in cortocircuito (v2=0v_2 = 0): v1=Rai1v_1 = R_a i_1 e i1=−i2i_1 = -i_2.

B=v1−i2∣v2=0=Rai1i1=Ra=20 Ω,D=i1−i2∣v2=0=1B = \left.\frac{v_1}{-i_2}\right|_{v_2=0} = \frac{R_a i_1}{i_1} = R_a = 20\ \Omega, \qquad D = \left.\frac{i_1}{-i_2}\right|_{v_2=0} = 1

3. Osservazioni

  • AD−BC=1AD - BC = 1 e A=DA = D: reciproco e simmetrico. Anche da [G][G]: G11=G22G_{11} = G_{22}, G12=G21G_{12} = G_{21}.
  • [1R01]\begin{bmatrix} 1 & R \\ 0 & 1 \end{bmatrix} è la matrice "standard" di un resistore in serie: con l'Esercizio 2.2 - matrici R e T di un resistore in parallelo dà la rete a L dell'Esercizio 2.4 - matrice T di una rete a L.
  • Questo esercizio e il precedente sono duali: lì mancava [G][G], qui manca [R][R].

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 2.3). Doppio bipolo con Ra=20 ΩR_a = 20\ \Omega, convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte.

  1. Calcolare la matrice [G][G].
  2. Calcolare la matrice [T][T] (trasmissione 1).

Figura (descritta). RaR_a sul filo superiore tra 1 e 2; il filo inferiore collega direttamente 1' e 2'. Nient'altro.

Risultati: [G]=[120−120−120120]S[G] = \begin{bmatrix} \frac{1}{20} & -\frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{1}{20} \end{bmatrix} \mathrm S, [T]=[120 Ω01]\quad [T] = \begin{bmatrix} 1 & 20\ \Omega \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

Teoria: Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →.

1. Matrice [G][G]

Con Ga=1/20 SG_a = 1/20\ \mathrm S e i2=−i1i_2 = -i_1: i1=Ga(v1−v2),i2=−Ga(v1−v2)i_1 = G_a (v_1 - v_2), \qquad i_2 = -G_a (v_1 - v_2)

  1. Porta 2 in cortocircuito (v2=0v_2 = 0): G11=120 SG_{11} = \frac{1}{20}\ \mathrm S, G21=−120 SG_{21} = -\frac{1}{20}\ \mathrm S.
  2. Porta 1 in cortocircuito (v1=0v_1 = 0): G12=−120 SG_{12} = -\frac{1}{20}\ \mathrm S, G22=120 SG_{22} = \frac{1}{20}\ \mathrm S.

Non esiste [R][R]: det⁡[G]=1400−1400=0\det [G] = \frac{1}{400} - \frac{1}{400} = 0 poiché i2=−i1i_2 = -i_1 e le correnti non sono indipendenti (con la porta 2 aperta anche i1=0i_1 = 0, e R11=v1/i1R_{11} = v_1/i_1 non si può calcolare).

2. Matrice [T][T]

  1. Porta 2 aperta (i2=0⇒i1=0i_2 = 0 \Rightarrow i_1 = 0, RaR_a senza tensione, v1=v2v_1 = v_2): A=1A = 1, C=0 SC = 0\ \mathrm S.
  2. Porta 2 in cortocircuito (v2=0v_2 = 0, i1=−i2i_1 = -i_2): v1=Rai1v_1 = R_a i_1, quindi B=Ra=20 ΩB = R_a = 20\ \Omega, D=1D = 1.

3. Osservazioni

  • AD−BC=1AD - BC = 1 e A=DA = D: reciproco e simmetrico.
  • [1R01]\begin{bmatrix} 1 & R \\ 0 & 1 \end{bmatrix} è la matrice standard del resistore in serie, duale dell'esercizio in parallelo.

Errori tipici: confondere le condizioni alle porte (v=0v=0 per cortocircuito, i=0i=0 per circuito aperto) o sbagliare i segni nelle relazioni di corrente.

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