Reti con generatori pilotati

Dispensa, paragrafo 11.8. Usa i generatori pilotatiUn generatore pilotato impone una tensione o una corrente (lato 2) proporzionale a una tensione o corrente di un altro lato della rete (lato 1, che è un circuito aperto se pilota una tensione, un cortocircuito se pilota una corrente). Quattro tipi: GTPT (v2 = α v1), GTPC (v2 = r i1), GCPT (i2 = g v1), GCPC (i2 = β i1). Il trasformatore ideale ha v1 = n v2 e i1 = -i2/n: assorbe potenza nulla, può amplificare tensioni o correnti e vista dalla porta 1 trasforma una resistenza R2 in n² R2.Generatori pilotati e trasformatore ideale → dentro reti resistive lineari, e rivede i metodi già visti: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →, Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →, Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →, Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

Il sistema resta lineare

Una rete fatta di GIT, GIC, resistori (con i casi limite cortocircuito e circuito aperto) e generatori pilotati dà, come sempre, $2\ell$ equazioni in $2\ell$ incognite: le LKC, le LKT e una equazione per ogni lato. Le equazioni dei pilotati ($v_2 = \alpha v_1$, $i_2 = g v_1$, …) sono lineari e omogenee, come quella di un resistore. I termini noti del sistema restano solo le tensioni e le correnti impresse dei generatori indipendenti:

$$[M] \begin{bmatrix} \mathbf v \\ \mathbf i \end{bmatrix} = [\mathbf g] \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} \mathbf v \\ \mathbf i \end{bmatrix} = [M]^{-1} [\mathbf g]$$

se $[M]$ è invertibile (equazioni linearmente indipendenti). Due conseguenze:

Proprietà (sovrapposizione e teoremi di Thévenin e Norton con i pilotati).

1. Vale la sovrapposizione, facendo agire uno alla volta i generatori indipendenti. I generatori pilotati non compaiono nel vettore dei termini noti, quindi restano sempre accesi, insieme ai resistori.
2. Valgono Thévenin e Norton, ma la resistenza equivalente va calcolata in un altro modo (sotto).

Esempio. Un GIT e un GIC alimentano una rete con un pilotato: l'effetto del solo GIT (GIC aperto) è $i' = 1\ \mathrm A$, quello del solo GIC (GIT in cortocircuito) è $i'' = 0{,}5\ \mathrm A$, con il pilotato sempre acceso; in totale $i = 1{,}5\ \mathrm A$.

Il trucco pratico: la porta 1 non si scrive

Proprietà (la porta 1 del pilotato non si scrive). La porta 1 di un pilotato è un cortocircuito o un circuito aperto che coincide con un lato già presente (il filo in cui scorre la corrente di controllo, o i due nodi tra cui si misura la tensione di controllo). Non serve aggiungerla: basta usare la sua grandezza, che è già una grandezza della rete.

Esempio. Con $e = 6\ \mathrm V$, $R_1 = 3\ \Omega$ e un GTPC con $r = 2\ \Omega$: $i_2 = 6/3 = 2\ \mathrm A$ e $v_4 = r\,i_2 = 4\ \mathrm V$, senza scrivere la porta 1.

Esempio della dispensa. Un GIT $e$ alimenta un resistore $R_1$, in cui scorre $i_2$. Un GTPC con tensione $r\, i_2$ alimenta un secondo resistore $R_2$. Si vuole la tensione $v_4$ su $R_2$.

La corrente di controllo è quella di $R_1$: $i_2 = e / R_1$. La tensione del pilotato è imposta: $v_4 = r\, i_2$. Quindi

$$v_4 = r\, i_2 = \frac{r}{R_1}\, e$$

Non è servito scrivere la porta 1: il cortocircuito che misura $i_2$ è "dentro" il filo di $R_1$.

Metodo generale per scrivere le equazioni

Principio (metodo generale per le reti con generatori pilotati).

1. Trattare il pilotato come un generatore indipendente del suo tipo (GIT se impone una tensione, GIC se impone una corrente) e scrivere le equazioni con il metodo scelto (nodi, anelli, Kirchhoff).
2. Aggiungere l'equazione di controllo: esprimere la grandezza di controllo ($V_{R2}$, $I_x$, …) con le incognite del metodo (potenziali di nodo o correnti di anello).
3. Sostituire e risolvere.

Esempio. Un nodo con un resistore da $10\ \Omega$ verso massa, un GIC entrante da $2\ \mathrm A$ e un GCPT con $g = 0{,}05\ \mathrm S$ pilotato dalla tensione $u_1$ dello stesso nodo che immette la corrente $g\,u_1$: la LKC dà $0{,}1\,u_1 = 2 + 0{,}05\,u_1$, cioè $u_1 = 40\ \mathrm V$.

Con l'analisi nodale, un GCPT tra due nodi porta una corrente "impressa" $g\, V_c$ che contiene incognite: dopo la sostituzione i coefficienti finiscono a sinistra e la matrice non è più simmetrica (la reciprocità si perde). Un GTPT o un GTPC si gestiscono come i GIT, con il supernodo o con l'analisi nodale modificata. Con le correnti di anello vale il duale: GTPT e GTPC vanno nella LKT come tensioni impresse, che contengono incognite (Esercizio 2.17 - correnti di anello con un GTPC e un GTPT).

Thévenin e Norton con i pilotati

Ipotesi aggiuntiva. La rete $N_1$ da sostituire deve contenere entrambe le porte di ogni suo pilotato: la grandezza di controllo deve stare dentro $N_1$. Se un generatore dentro $N_1$ fosse pilotato da una grandezza del carico, $N_1$ non interagirebbe con l'esterno solo attraverso la porta e il teorema non si applicherebbe.

La dimostrazione è la stessa vista per le reti di resistori: si impone la corrente di porta con un GIC $j = i$ e si sovrappongono (a) tutti i generatori indipendenti interni, con $j$ spento, che danno la tensione a vuoto $v_0$, e (b) solo $j$, con gli indipendenti spenti. Nel caso (b) la rete contiene resistori e pilotati: si dimostra che anche così il legame tensione–corrente alla porta è una proporzionalità, cioè un resistore $R_{eq}$. Si ottiene di nuovo $v = v_0 - R_{eq}\, i$.

Calcolare $R_{eq}$: niente serie e parallelo

Con i pilotati la rete a generatori spenti non è fatta di soli resistori, quindi le regole di serie e parallelo non bastano. Due metodi:

Formula (resistenza equivalente con il generatore di prova). 1. Generatore di prova. Si spengono i generatori indipendenti (GIT $\to$ cortocircuito, GIC $\to$ aperto), i pilotati restano. Si collega alla porta un generatore di prova:

• un GIT $E^* = V^*$, e si calcola la corrente $I^*$ che entra nella rete;
• oppure un GIC $J^* = I^*$, e si calcola la tensione $V^*$.

Con $V^*$ e $I^*$ in convenzione dell'utilizzatore per la rete (la corrente entra dal $+$):

$$R_{eq} = \frac{V^*}{I^*}$$

Esempio. Un resistore da $10\ \Omega$ in parallelo a un GCPT che, con $g = 0{,}05\ \mathrm S$, porta alla porta la corrente $g\,V^*$ in verso opposto a $I^*$: $I^* = V^*/10 - 0{,}05\,V^* = 0{,}05\,V^*$, quindi $R_{eq} = V^*/I^* = 20\ \Omega$, maggiore di $10\ \Omega$.

Il valore del generatore di prova è arbitrario (la rete è lineare e omogenea, $V^*$ e $I^*$ sono proporzionali): si può tenere simbolico, oppure porre $V^* = 1\ \mathrm V$.

Formula (resistenza equivalente dal rapporto tra tensione a vuoto e corrente di cortocircuito). 2. Tensione a vuoto e corrente di cortocircuito. Se la rete funziona sia a vuoto sia in cortocircuito, con i generatori indipendenti accesi:

$$R_{eq} = \frac{v_0}{i_{cc}}$$

con $v_0$ e $i_{cc}$ nella convenzione del generatore (la corrente di cortocircuito esce dal morsetto con il $+$ di $v_0$). È comodo quando $v_0$ serve comunque per Thévenin. Non funziona se la rete non ha generatori indipendenti (verrebbe $0/0$): lì resta solo il generatore di prova.

Esempio. Con $v_0 = 8\ \mathrm V$ e $i_{cc} = 2\ \mathrm A$ si ha $R_{eq} = 8/2 = 4\ \Omega$.

Cosa cambia rispetto alle reti di resistori

• $R_{eq}$ può essere minore di ogni resistenza della rete, maggiore della loro somma, e perfino negativa: un pilotato può erogare potenza, quindi la porta può comportarsi da elemento attivo. Esempio: Esercizio 2.13 - resistenza interna con un GCPC, dove un resistore da $8\ \Omega$ "sembra" da $40\ \Omega$ grazie al pilotato.
• Un resistore in parallelo a un generatore di tensione pilotato, o in serie a un generatore di corrente pilotato, non influenza ciò che si vede dall'esterno, esattamente come con i generatori indipendenti (Esercizio 2.7 - Thévenin con un GTPT, Esercizio 2.12 - resistenza interna con un GCPT).

Procedura per gli esercizi

1. Individuare ogni pilotato: tipo, grandezza di controllo e suo verso in figura.
2. Scegliere le incognite (potenziali, correnti di anello o le correnti dei rami) e scrivere subito la grandezza di controllo in funzione di esse.
3. Per $R_{eq}$: spegnere solo gli indipendenti, applicare il generatore di prova e scrivere LKC/LKT; oppure calcolare $v_0$ e $i_{cc}$.
4. Verificare con un bilancio: la somma delle potenze erogate (indipendenti e pilotati) deve uguagliare quella assorbita dai resistori (Teorema di TellegenCon la stessa convenzione su tutti i bipoli, la somma dei prodotti v_h·i_h su tutti i bipoli di una rete è zero, se le tensioni rispettano le LKT e le correnti le LKC. Dipende solo dalla topologia; preso tutto allo stesso istante dà la conservazione della potenza: la potenza erogata dai generatori è uguale a quella assorbita dagli altri bipoli.Teorema di Tellegen →).

Errori comuni

• Spegnere un pilotato. È l'errore più grave: il risultato cambia completamente.
• Usare serie e parallelo per $R_{eq}$ ignorando il pilotato.
• Convenzioni sbagliate per $V^*/I^*$: con il generatore di prova la corrente deve entrare nella rete dal $+$ (utilizzatore); con $v_0 / i_{cc}$ la corrente di cortocircuito deve uscire dal $+$ (generatore). Mescolare le due convenzioni cambia il segno.
• Dimenticare che dopo aver spento un GIT la grandezza di controllo può cambiare valore: va ricalcolata nella nuova rete.

Esercizi: Esercizio 2.5 - resistenza interna con un GTPT, Esercizio 2.6 - resistenza interna con un GTPT e un GIT, Esercizio 2.7 - Thévenin con un GTPT, Esercizio 2.8 - resistenza interna con un GTPC, Esercizio 2.9 - resistenza interna con un GTPC e tre resistori, Esercizio 2.10 - potenze in una rete con GTPC, Esercizio 2.11 - resistenza interna con un GCPT, Esercizio 2.12 - resistenza interna con un GCPT, Esercizio 2.13 - resistenza interna con un GCPC, Esercizio 2.14 - resistenza interna con un GCPC in parallelo, Esercizio 2.15 - resistenza interna con un GCPC tra due nodi, Esercizio 2.17 - correnti di anello con un GTPC e un GTPT, Esercizio 2.18 - sovrapposizione con un GTPC e un GCPT.