Serie e parallelo di bipoli

Capitolo 9 della dispensa ("Connessioni serie e parallelo"). Usa i bipoli di Bipoli adinamici, GIC e diodo idealeUn bipolo adinamico lega solo i valori istantanei di tensione e corrente, f(v,i) = 0, e si rappresenta con una curva nel piano v-i (caratteristica esterna). Oltre a resistore, cortocircuito, circuito aperto e GIT ci sono il GIC (i = j per ogni v), l'interruttore (aperto o chiuso a seconda dell'istante) e il diodo ideale (circuito aperto per v < 0, cortocircuito per i > 0). Un bipolo è controllato in corrente se v si può scrivere come funzione di i, controllato in tensione se i si può scrivere come funzione di v.Bipoli adinamici, GIC e diodo ideale → e le Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT)LKC: in ogni istante la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa (per esempio attorno a un nodo) è zero. LKT: in ogni istante la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso che tocca solo nodi (per esempio una maglia) è zero. Dipendono solo da come sono collegati i componenti.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) →. Seguono Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →, Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente → e Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.

L'idea: il bipolo equivalente

Quando alcuni bipoli sono collegati in serie o in parallelo, al resto della rete arrivano solo due morsetti, A e B. Il resto della rete "vede" soltanto la relazione tra la tensione $v_{AB}$ e la corrente che entra da A: non sa che cosa c'è dentro.

Il bipolo equivalente è un unico bipolo che, messo tra A e B, ha la stessa caratteristica esterna del gruppo di partenza. Sostituendolo, tutte le tensioni e le correnti del resto della rete restano identiche. È lo strumento più usato per semplificare un circuito prima di risolverlo.

Attenzione: l'equivalenza vale verso l'esterno. Le grandezze interne al gruppo sostituito (la corrente in uno dei resistori in parallelo, la potenza di un generatore) non si leggono sul bipolo equivalente: per ritrovarle bisogna tornare al circuito originale.

Serie

Definizione. Due bipoli $b_1$ e $b_2$ sono in serie se hanno un morsetto in comune (un nodo N) e a quel nodo non è collegato nient'altro. Gli altri due morsetti vanno ai nodi A e B, da cui si collega il resto della rete.

Esempio. Due resistori da $10\ \Omega$ e $40\ \Omega$ con un solo filo nel nodo in mezzo sono in serie; se dal nodo in mezzo parte un terzo filo, non lo sono.

La condizione "nient'altro sul nodo N" è quella che si dimentica più spesso: due resistori uno dopo l'altro con un terzo filo che parte dal nodo in mezzo non sono in serie.

Formula (relazioni della serie). Le relazioni. Si prendono i riferimenti di corrente tutti nello stesso verso (entra da A, attraversa $b_1$, poi $b_2$, esce da B) e la stessa convenzione per $b_1$, $b_2$ e per il bipolo equivalente (per esempio quella dell'utilizzatore). Allora:

• LKC al nodo N: la corrente che arriva da $b_1$ può solo proseguire in $b_2$, quindi $i_1 = i_2 = i_s$;
• LKT sul giro A → N → B → A: $v_1 + v_2 - v_s = 0$, cioè $v_s = v_1 + v_2$.

$$\boxed{\;i_s = i_1 = i_2, \qquad v_s = v_1 + v_2\;}$$

Esempio. Con $i_s = 2\ \mathrm A$ nei due resistori da $10\ \Omega$ e $40\ \Omega$ le tensioni sono $v_1 = 20\ \mathrm V$ e $v_2 = 80\ \mathrm V$, quindi $v_s = 100\ \mathrm V$.

Regola grafica. La caratteristica della serie si ottiene sommando le tensioni a parità di corrente. Se $b_1$ e $b_2$ sono controllati in corrente, $v_1 = f_1(i)$ e $v_2 = f_2(i)$, e la serie è il bipolo $v_s = f_1(i_s) + f_2(i_s)$: nel grafico con $i$ in ascissa si sommano le ordinate punto per punto.

Serie impossibili. Non tutto si può mettere in serie. Un GIC con $j \ne 0$ in serie a un circuito aperto chiederebbe $i = j$ e $i = 0$ insieme: le equazioni sono incompatibili e quel circuito non ha soluzione. Lo stesso vale per due GIC diversi in serie.

Resistori in serie

Formula (resistori in serie). Con $\ell$ resistori in serie, convenzione dell'utilizzatore su tutti:

$$v_s = \sum_{k=1}^{\ell} v_k = \sum_{k=1}^{\ell} R_k\, i_k = \Big(\sum_{k=1}^{\ell} R_k\Big)\, i_s$$

Il passaggio chiave è $i_k = i_s$ per ogni $k$ (stessa corrente), che permette di raccogliere $i_s$. Quindi la serie equivale a un resistore di resistenza

$$\boxed{\;R_s = R_1 + R_2 + \dots + R_\ell\;}$$

Esempio. Tre resistori da $10\ \Omega$, $40\ \Omega$ e $22\ \Omega$ in serie danno $R_s = 72\ \Omega$; con $v_s = 36\ \mathrm V$ la corrente è $i_s = 0{,}5\ \mathrm A$.

• Se tutti i resistori sono passivi ($R_k > 0$) anche $R_s > 0$, e $R_s$ è maggiore di ciascuna $R_k$: aggiungere un resistore in serie rende più difficile il passaggio della corrente.
• Esempio: $10\ \Omega$ e $40\ \Omega$ in serie danno $50\ \Omega$.

Casi limite (vedi Esercizio 1.9 - serie di due resistori e casi limite):

Generatori ideali di tensione in serie

Proprietà (GIT in serie). Due GIT in serie equivalgono a un GIT con tensione impressa uguale alla somma algebrica delle due:

$$e_s = \sum \pm\, e_k$$

con il segno $+$ per i GIT il cui $+$ è "dalla stessa parte" del $+$ di $v_s$ percorrendo la serie, e il segno $-$ per gli altri. Esempio: percorrendo da A a B si incontra $e_1 = 12\ \mathrm V$ dal $+$ al $-$ e poi $e_2 = 5\ \mathrm V$ dal $-$ al $+$; allora $v_s = e_1 - e_2 = 7\ \mathrm V$ per ogni corrente.

Esempio. Due GIT da $12\ \mathrm V$ e $5\ \mathrm V$ in serie con polarità opposte danno $e_s = 12 - 5 = 7\ \mathrm V$; con la stessa polarità $12 + 5 = 17\ \mathrm V$.

GIT in serie a un resistore

Formula (GIT in serie a un resistore). È il caso del generatore reale. Con la convenzione del generatore sul bipolo complessivo, $i_R = i_s$, $v_R = R\,i_R$ e la LKT $v_s - e + v_R = 0$ danno

$$v_s = e - R\, i_s$$

Esempio. Con $e = 12\ \mathrm V$ e $R = 4\ \Omega$ si ha $v_s = 12 - 4\,i_s$: per $i_s = 2\ \mathrm A$ la tensione è $v_s = 4\ \mathrm V$.

È la caratteristica del GAT di Generatori elettrici, GIT e GATUn generatore contiene un campo non conservativo che spinge le cariche; a vuoto la sua tensione è uguale alla forza elettromotrice, a carico cala di Ri·I. Il GIT (v = e per ogni i) è il modello senza perdite, il GAT (V = E − Ri I) aggiunge la resistenza interna; collegando un carico si trova il punto di lavoro.Generatori elettrici, GIT e GAT →: una retta che taglia l'asse delle tensioni in $e$ e scende con pendenza $R$. Scambiare di posto GIT e resistore non cambia nulla: in serie conta solo la somma delle tensioni, non l'ordine.

GIC in serie a qualcosa

Proprietà (GIC in serie a un altro bipolo). Un GIC impone la corrente a tutta la serie: $i_s = j$ qualunque sia la tensione. Quindi

• GIC in serie a un resistore $\Rightarrow$ GIC con la stessa $j$;
• GIC in serie a un GIT $\Rightarrow$ GIC con la stessa $j$.

Esempio. Un GIC da $3\ \mathrm A$ in serie a un resistore da $10\ \Omega$ è, per il resto della rete, ancora un GIC da $3\ \mathrm A$; sul resistore però ci sono $30\ \mathrm V$.

Il resistore (o il GIT) è ininfluente per il resto della rete: si può sostituire con un cortocircuito senza cambiare niente fuori. Non è però ininfluente dentro: la tensione ai capi del GIC e la sua potenza cambiano eccome. Il bipolo equivalente non è il GIC originale.

Parallelo

Definizione. Due bipoli sono in parallelo se i loro morsetti sono collegati alla stessa coppia di nodi A e B.

Esempio. Due resistori con i morsetti sugli stessi nodi A e B e $v_{AB} = 10\ \mathrm V$ hanno entrambi $10\ \mathrm V$ ai capi, anche se nel disegno sono lontani.

Un trucco di disegno. Un nodo si può "allungare" con tratti di cortocircuito senza cambiare la soluzione della rete: le LKT non cambiano (il tratto aggiunto ha tensione nulla) e le LKC sui nodi restano le stesse. Per questo si disegna il parallelo con due fili orizzontali, uno per A e uno per B, e i bipoli in verticale tra i due. Tutti i punti del filo superiore sono equipotenziali con A, tutti quelli del filo inferiore con B.

Formula (relazioni del parallelo). Le relazioni. Si prendono le tensioni tutte con il $+$ su A e la stessa convenzione per tutti i bipoli (per esempio dell'utilizzatore):

• LKT: i bipoli stanno tutti tra A e B, quindi $v_1 = v_2 = v_p$;
• LKC al nodo A: $i_p = i_1 + i_2$.

$$\boxed{\;v_p = v_1 = v_2, \qquad i_p = i_1 + i_2\;}$$

Esempio. Con $v_p = 10\ \mathrm V$ e correnti $i_1 = 1\ \mathrm A$, $i_2 = 0{,}25\ \mathrm A$ si ha $i_p = 1{,}25\ \mathrm A$.

Regola grafica. La caratteristica del parallelo si ottiene sommando le correnti a parità di tensione. Per bipoli controllati in tensione: $i_p = f_1(v_p) + f_2(v_p)$.

Paralleli impossibili. Un GIT con $e \ne 0$ in parallelo a un cortocircuito chiederebbe $v = e$ e $v = 0$ insieme: impossibile. Lo stesso per due GIT con tensioni diverse in parallelo.

Resistori in parallelo

Formula (resistori in parallelo). Con $\ell$ resistori in parallelo, usando le conduttanze $G_k = 1/R_k$:

$$i_p = \sum_{k=1}^{\ell} i_k = \sum_{k=1}^{\ell} G_k\, v_k = \Big(\sum_{k=1}^{\ell} G_k\Big)\, v_p$$

Qui il passaggio chiave è $v_k = v_p$ (stessa tensione). Il parallelo equivale a un resistore di conduttanza

$$\boxed{\;G_p = G_1 + G_2 + \dots + G_\ell \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_\ell}\;}$$

Esempio. Tre resistori da $10\ \Omega$, $40\ \Omega$ e $8\ \Omega$ in parallelo: $G_p = 0{,}1 + 0{,}025 + 0{,}125 = 0{,}25\ \mathrm S$, cioè $R_p = 4\ \Omega$.

Perché le conduttanze. In serie si sommano le tensioni e la grandezza che "moltiplica la corrente" è $R$: per questo si sommano le resistenze. In parallelo si sommano le correnti e la grandezza che "moltiplica la tensione" è $G$: per questo si sommano le conduttanze. È la stessa regola con i ruoli di $v$ e $i$ scambiati (si chiama dualità).

Formula (due resistori in parallelo: prodotto diviso somma). Due resistori. Il caso più frequente ha una formula comoda, "prodotto diviso somma":

$$R_p = \frac{1}{G_1 + G_2} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

L'ultimo passaggio si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per $R_1 R_2$. Esempio: $10\ \Omega \parallel 40\ \Omega = \dfrac{400}{50} = 8\ \Omega$. Si scrive spesso $R_1 /\!/ R_2$.

Esempio. $12\ \Omega \parallel 6\ \Omega = \frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = 4\ \Omega$.

Attenzione: "prodotto diviso somma" vale solo per due resistori. Con tre o più si sommano le conduttanze, oppure si applica la formula due alla volta.

Proprietà utili per controllare i conti:

• con resistori passivi $R_p$ è minore di ciascuna $R_k$ (aggiungere un percorso in parallelo facilita il passaggio della corrente);
• $n$ resistori uguali $R$ in parallelo danno $R/n$ (due da $40\ \Omega$ danno $20\ \Omega$);
• se una resistenza è molto più piccola dell'altra, il parallelo è poco meno della più piccola ($1\ \Omega \parallel 1000\ \Omega \approx 0{,}999\ \Omega$).

Casi limite (vedi Esercizio 1.13 - parallelo di due resistori e casi limite):

Il secondo caso è fondamentale: un resistore in parallelo a un cortocircuito non porta corrente e si può cancellare. È la situazione degli esercizi Esercizio 1.22 - resistenza equivalente con un cortocircuito e Esercizio 1.25 - resistenza equivalente con diagonale.

Generatori ideali di corrente in parallelo

Proprietà (GIC in parallelo). Due GIC in parallelo equivalgono a un GIC con corrente impressa uguale alla somma algebrica:

$$j_p = \sum \pm\, j_k$$

con il $+$ per i GIC la cui freccia è concorde con il riferimento di $i_p$ e il $-$ per gli altri.

Esempio. Due GIC da $3\ \mathrm A$ e $1\ \mathrm A$ in parallelo con frecce opposte equivalgono a un GIC da $j_p = 3 - 1 = 2\ \mathrm A$.

GIC in parallelo a un resistore

Formula (GIC in parallelo a un resistore). Con la convenzione del generatore sul bipolo complessivo: $v_R = v_p$, $i_R = G\,v_R$ e la LKC $i_p - j + i_R = 0$ danno

$$i_p = j - G\, v_p$$

Esempio. Con $j = 3\ \mathrm A$ e $G = 0{,}25\ \mathrm S$ ($4\ \Omega$) si ha $i_p = 3 - 0{,}25\,v_p$: a vuoto $v_p = 12\ \mathrm V$, in cortocircuito $i_p = 3\ \mathrm A$.

Retta che taglia l'asse delle correnti in $j$ e scende con pendenza $G$: è il generatore reale di corrente. Che sia equivalente al generatore reale di tensione è l'argomento di Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →.

GIT in parallelo a qualcosa

Proprietà (GIT in parallelo a un altro bipolo). Un GIT impone la tensione a tutto il parallelo: $v_p = e$ qualunque sia la corrente. Quindi GIT in parallelo a un resistore (o a un GIC) $\Rightarrow$ GIT con la stessa $e$. Il resistore in parallelo è ininfluente verso l'esterno, ma non per la corrente e la potenza del GIT.

Esempio. Un GIT da $12\ \mathrm V$ in parallelo a un resistore da $6\ \Omega$ è, per il resto della rete, ancora un GIT da $12\ \mathrm V$; il resistore assorbe $12^2/6 = 24\ \mathrm W$.

Riepilogo

Combinare caratteristiche date per grafico

Quando i bipoli sono dati solo con la caratteristica disegnata (spezzate), la procedura è:

1. Allineare i riferimenti. Per la serie: confrontare il riferimento di corrente di ogni bipolo con quello della serie. Se è discorde ($i_k = -i_s$), la caratteristica va specchiata rispetto all'asse delle tensioni (si cambia segno alla corrente).
2. Scrivere la LKT (serie) o la LKC (parallelo) con i riferimenti dati. Se una tensione compare con il segno $-$ (per esempio $v_s = -v_A + v_B$), la caratteristica di quel bipolo va specchiata rispetto all'asse delle correnti (si cambia segno alla tensione).
3. Sommare le curve così ottenute: le tensioni a parità di corrente per la serie, le correnti a parità di tensione per il parallelo. Con le spezzate basta sommare nei punti di "gomito" e unire con segmenti.

Svolti in Esercizio 1.27 - bipoli in serie, somma di caratteristiche e Esercizio 1.28 - bipoli in parallelo, somma di caratteristiche.

Errori comuni

• Dichiarare in serie due bipoli il cui nodo comune ha un terzo collegamento. Controllare sempre il nodo in mezzo.
• Dichiarare in parallelo due bipoli solo perché nel disegno sono "affiancati". Contano i nodi a cui sono collegati, non la posizione sul foglio; viceversa due bipoli disegnati lontani possono essere in parallelo se i fili li portano agli stessi due nodi.
• Usare "prodotto diviso somma" con tre resistori.
• Leggere sul bipolo equivalente grandezze interne, come la potenza di un GIC che aveva un resistore in serie.