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Note per Studenti Esercizio 1.36 - correnti di anello con due GIT

Esercizio 1.36 - correnti di anello con due GIT

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Testo (Eserciziario, es. 1.36). Rete in regime stazionario con GIT e resistori: R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=6 ΩR_2 = 6\ \Omega, R3=4 ΩR_3 = 4\ \Omega, R4=20 ΩR_4 = 20\ \Omega, R5=2 ΩR_5 = 2\ \Omega, E1=30 VE_1 = 30\ \mathrm V, E2=32 VE_2 = 32\ \mathrm V. Con il metodo delle correnti di anello calcolare le correnti indicate in figura.

Figura (descritta). Un filo in basso e, in alto, una catena di tre resistori orizzontali R5R_5, R3R_3, R2R_2 (da sinistra). Rami verticali, da sinistra:

Ramo verticale Contenuto Riferimento
lato sinistro E2E_2, con il −- in alto e il ++ in basso IE2I_{E2} verso il basso
tra R5R_5 e R3R_3 R4R_4 I4I_4 verso il basso
tra R3R_3 e R2R_2 R1R_1 I1I_1 verso il basso
lato destro E1E_1, con il ++ in alto IE1I_{E1} verso l'alto

I5I_5, I3I_3, I2I_2 sono prese verso destra nei resistori in alto.

Risultati: I1=0I_1 = 0, I2=−5 AI_2 = -5\ \mathrm A, I3=−5 AI_3 = -5\ \mathrm A, I4=−1 AI_4 = -1\ \mathrm A, I5=−6 AI_5 = -6\ \mathrm A, IE1=5 AI_{E1} = 5\ \mathrm A, IE2=6 AI_{E2} = 6\ \mathrm A.

(Nella riga "Risultati" dell'Eserciziario compaiono "I5=5 AI_5 = 5\ \mathrm A, I6=6 AI_6 = 6\ \mathrm A", ma nella figura non c'è una I6I_6: i valori 55 e 66 sono le correnti dei generatori, e la soluzione dell'Eserciziario stesso trova I5=IA1=−6 AI_5 = I_{A1} = -6\ \mathrm A.)

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →. È l'esempio con cui la dispensa introduce il metodo.

1. Impostazione

Tre anelli, correnti orarie: IA1I_{A1} (sinistra: E2E_2, R5R_5, R4R_4), IA2I_{A2} (centro: R4R_4, R3R_3, R1R_1), IA3I_{A3} (destra: R1R_1, R2R_2, E1E_1). Solo resistori e GIT: metodo base, tre equazioni.

2. Le equazioni per ispezione

Anello Autoresistenza Mutue resistenze F.e.m. (verso orario)
1 R4+R5=22R_4 + R_5 = 22 R4=20R_4 = 20 con l'anello 2 sale nel lato sinistro: attraversa E2E_2 dal ++ (in basso) al −-, quindi −E2-E_2
2 R1+R3+R4=34R_1 + R_3 + R_4 = 34 R4R_4 con 1, R1=10R_1 = 10 con 3 nessun GIT
3 R1+R2=16R_1 + R_2 = 16 R1R_1 con 2 scende nel lato destro: attraversa E1E_1 dal ++ al −-, quindi −E1-E_1

{22 IA1−20 IA2=−32−20 IA1+34 IA2−10 IA3=0−10 IA2+16 IA3=−30\begin{cases} 22\, I_{A1} - 20\, I_{A2} = -32 \\ -20\, I_{A1} + 34\, I_{A2} - 10\, I_{A3} = 0 \\ -10\, I_{A2} + 16\, I_{A3} = -30 \end{cases}

La matrice è simmetrica (i coefficienti −20-20 e −10-10 compaiono a specchio), come deve essere.

3. Risoluzione

Dalla prima: IA1=20 IA2−3222I_{A1} = \dfrac{20\, I_{A2} - 32}{22}. Dalla terza: IA3=10 IA2−3016I_{A3} = \dfrac{10\, I_{A2} - 30}{16}. Sostituendo nella seconda e moltiplicando per 176 (il minimo comune multiplo di 22 e 16):

−160 (20 IA2−32)+5984 IA2−110 (10 IA2−30)=0-160\,(20\, I_{A2} - 32) + 5984\, I_{A2} - 110\,(10\, I_{A2} - 30) = 0

−3200 IA2+5120+5984 IA2−1100 IA2+3300=0⟹1684 IA2=−8420⟹IA2=−5 A-3200\, I_{A2} + 5120 + 5984\, I_{A2} - 1100\, I_{A2} + 3300 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1684\, I_{A2} = -8420 \quad\Longrightarrow\quad I_{A2} = -5\ \mathrm A

Quindi IA1=−100−3222=−6 AI_{A1} = \dfrac{-100 - 32}{22} = -6\ \mathrm A e IA3=−50−3016=−5 AI_{A3} = \dfrac{-50 - 30}{16} = -5\ \mathrm A.

4. Le correnti di lato

Per ogni lato si guarda quali anelli lo percorrono e in che verso rispetto al riferimento:

Corrente Anelli che passano Valore
I5I_5 (verso destra, in alto a sinistra) anello 1, concorde IA1=−6 AI_{A1} = -6\ \mathrm A
I3I_3 (verso destra, in alto al centro) anello 2, concorde IA2=−5 AI_{A2} = -5\ \mathrm A
I2I_2 (verso destra, in alto a destra) anello 3, concorde IA3=−5 AI_{A3} = -5\ \mathrm A
I4I_4 (verso il basso) 1 scende (concorde), 2 sale IA1−IA2=−1 AI_{A1} - I_{A2} = -1\ \mathrm A
I1I_1 (verso il basso) 2 scende, 3 sale IA2−IA3=0I_{A2} - I_{A3} = 0
IE1I_{E1} (verso l'alto) 3 scende (discorde) −IA3=5 A-I_{A3} = 5\ \mathrm A
IE2I_{E2} (verso il basso) 1 sale (discorde) −IA1=6 A-I_{A1} = 6\ \mathrm A

I1=0I_1 = 0 non è un caso. Il nodo in alto sopra R1R_1 e il filo in basso hanno la stessa tensione: a destra, E1=30 VE_1 = 30\ \mathrm V meno la caduta su R2R_2 (6⋅5=30 V6 \cdot 5 = 30\ \mathrm V) dà zero. Su R1R_1 non c'è tensione e quindi non c'è corrente.

5. Verifica: bilancio delle potenze

IE1I_{E1} esce dal ++ di E1E_1 e IE2I_{E2} esce dal ++ di E2E_2 (in basso, verso il basso): entrambi in convenzione del generatore. PE1=30⋅5=150 WP_{E1} = 30 \cdot 5 = 150\ \mathrm W, PE2=32⋅6=192 WP_{E2} = 32 \cdot 6 = 192\ \mathrm W, totale 342 W342\ \mathrm W.

Resistori (RI2R I^2): R1R_1: 00; R2R_2: 6⋅25=1506 \cdot 25 = 150; R3R_3: 4⋅25=1004 \cdot 25 = 100; R4R_4: 20⋅1=2020 \cdot 1 = 20; R5R_5: 2⋅36=722 \cdot 36 = 72; totale 342 W342\ \mathrm W ✓.

6. Con le correnti di anello antiorarie

Se si scelgono tutte le correnti di anello antiorarie, il primo membro del sistema resta identico e cambiano segno i termini noti (+32+32, 00, +30+30). Le correnti di anello cambiano segno (66, 55, 5 A5\ \mathrm A), ma anche le relazioni tra correnti di lato e di anello cambiano segno (per esempio I5=−IA1I_5 = -I_{A1}): le correnti di lato tornano identiche.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 1.36). Rete in regime stazionario con GIT e resistori: R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=6 ΩR_2 = 6\ \Omega, R3=4 ΩR_3 = 4\ \Omega, R4=20 ΩR_4 = 20\ \Omega, R5=2 ΩR_5 = 2\ \Omega, E1=30 VE_1 = 30\ \mathrm V, E2=32 VE_2 = 32\ \mathrm V. Con il metodo delle correnti di anello calcolare le correnti indicate in figura.

Figura (descritta). Un filo in basso e, in alto, una catena di tre resistori orizzontali R5R_5, R3R_3, R2R_2 (da sinistra). Rami verticali, da sinistra:

Ramo verticale Contenuto Riferimento
lato sinistro E2E_2, con il −- in alto e il ++ in basso IE2I_{E2} verso il basso
tra R5R_5 e R3R_3 R4R_4 I4I_4 verso il basso
tra R3R_3 e R2R_2 R1R_1 I1I_1 verso il basso
lato destro E1E_1, con il ++ in alto IE1I_{E1} verso l'alto

I5I_5, I3I_3, I2I_2 sono prese verso destra nei resistori in alto.

Risultati: I1=0I_1 = 0, I2=−5 AI_2 = -5\ \mathrm A, I3=−5 AI_3 = -5\ \mathrm A, I4=−1 AI_4 = -1\ \mathrm A, I5=−6 AI_5 = -6\ \mathrm A, IE1=5 AI_{E1} = 5\ \mathrm A, IE2=6 AI_{E2} = 6\ \mathrm A.

(Nella riga "Risultati" dell'Eserciziario compaiono "I5=5 AI_5 = 5\ \mathrm A, I6=6 AI_6 = 6\ \mathrm A", ma nella figura non c'è una I6I_6: i valori 55 e 66 sono le correnti dei generatori, e la soluzione dell'Eserciziario stesso trova I5=IA1=−6 AI_5 = I_{A1} = -6\ \mathrm A.)

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →. È l'esempio con cui la dispensa introduce il metodo.

1. Impostazione e Sistema

Tre anelli, correnti orarie: IA1I_{A1} (sinistra), IA2I_{A2} (centro), IA3I_{A3} (destra).

{22 IA1−20 IA2=−32−20 IA1+34 IA2−10 IA3=0−10 IA2+16 IA3=−30\begin{cases} 22\, I_{A1} - 20\, I_{A2} = -32 \\ -20\, I_{A1} + 34\, I_{A2} - 10\, I_{A3} = 0 \\ -10\, I_{A2} + 16\, I_{A3} = -30 \end{cases}

2. Risoluzione

  1. Ricavare IA1I_{A1} e IA3I_{A3} in funzione di IA2I_{A2}: IA1=20 IA2−3222I_{A1} = \dfrac{20\, I_{A2} - 32}{22}, IA3=10 IA2−3016I_{A3} = \dfrac{10\, I_{A2} - 30}{16}.
  2. Sostituire nella seconda equazione e risolvere: 1684 IA2=−8420  ⟹  IA2=−5 A1684\, I_{A2} = -8420 \implies I_{A2} = -5\ \mathrm A.
  3. Calcolare gli altri anelli: IA1=−6 AI_{A1} = -6\ \mathrm A, IA3=−5 AI_{A3} = -5\ \mathrm A.

3. Correnti di lato

  • I5=IA1=−6 AI_5 = I_{A1} = -6\ \mathrm A
  • I3=IA2=−5 AI_3 = I_{A2} = -5\ \mathrm A
  • I2=IA3=−5 AI_2 = I_{A3} = -5\ \mathrm A
  • I4=IA1−IA2=−1 AI_4 = I_{A1} - I_{A2} = -1\ \mathrm A
  • I1=IA2−IA3=0I_1 = I_{A2} - I_{A3} = 0
  • IE1=−IA3=5 AI_{E1} = -I_{A3} = 5\ \mathrm A
  • IE2=−IA1=6 AI_{E2} = -I_{A1} = 6\ \mathrm A

I1=0I_1 = 0 perché ai capi di R1R_1 non c'è tensione: E1=30 VE_1 = 30\ \mathrm V meno la caduta su R2R_2 (6⋅5=30 V6 \cdot 5 = 30\ \mathrm V) dà zero.

4. Verifica bilancio potenze

Potenza generatori: PE1=30⋅5=150 WP_{E1} = 30 \cdot 5 = 150\ \mathrm W, PE2=32⋅6=192 WP_{E2} = 32 \cdot 6 = 192\ \mathrm W, totale 342 W342\ \mathrm W. Potenza resistori (RI2R I^2): 0+150+100+20+72=342 W0 + 150 + 100 + 20 + 72 = 342\ \mathrm W ✓.

Teoria collegata