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Note per Studenti Esercizio 2.10 - potenze in una rete con GTPC

Esercizio 2.10 - potenze in una rete con GTPC

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Testo (Eserciziario, es. 2.10). Rete in regime stazionario con R1=2 ΩR_1 = 2\ \Omega, R3=1 ΩR_3 = 1\ \Omega, un GIT E1=4 VE_1 = 4\ \mathrm V e un GTPC con r=6 Ωr = 6\ \Omega.

  1. Calcolare la potenza P2P_2 uscente dalla porta 2 del generatore pilotato.
  2. Calcolare la potenza assorbita da R1R_1 e da R3R_3.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento. E1E_1 a sinistra (++ in alto); R1R_1 sul filo in alto dal ++ di E1E_1 al nodo N, percorso da I1I_1 verso destra. Da N scendono R3R_3 e, più a destra, il GTPC rI1r I_1 (++ in alto).

Risultati: P2=152 WP_2 = \frac{15}{2}\ \mathrm W, PR1=12 WP_{R1} = \frac12\ \mathrm W, PR3=9 WP_{R3} = 9\ \mathrm W.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →, Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →.

1. La corrente di controllo

Il GTPC impone il potenziale di N: VN=rI1=6I1V_N = r I_1 = 6 I_1. La corrente in R1R_1 è determinata dalla differenza di potenziale ai suoi capi:

I1=E1−VNR1=4−6I12⟹2I1=4−6I1⟹I1=0,5 AI_1 = \frac{E_1 - V_N}{R_1} = \frac{4 - 6 I_1}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2 I_1 = 4 - 6 I_1 \quad\Longrightarrow\quad I_1 = 0{,}5\ \mathrm A

Quindi VN=6⋅0,5=3 VV_N = 6 \cdot 0{,}5 = 3\ \mathrm V.

Perché non si può "spegnere" o ignorare il pilotato. Se il generatore in N fosse un GIT indipendente il suo valore sarebbe noto; qui invece dipende da I1I_1, che dipende a sua volta da VNV_N. L'equazione di controllo chiude il cerchio.

2. Potenze dei resistori

PR1=R1I12=2⋅0,25=0,5 W,PR3=VN2R3=91=9 WP_{R1} = R_1 I_1^2 = 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\ \mathrm W, \qquad P_{R3} = \frac{V_N^2}{R_3} = \frac{9}{1} = 9\ \mathrm W

3. Potenza del pilotato

In R3R_3 scende I3=VN/R3=3 AI_3 = V_N / R_3 = 3\ \mathrm A. LKC in N: entra I1=0,5 AI_1 = 0{,}5\ \mathrm A da R1R_1, esce 3 A3\ \mathrm A verso R3R_3. Mancano 2,5 A2{,}5\ \mathrm A: li deve fornire il GTPC, che quindi fa uscire 2,5 A2{,}5\ \mathrm A dal suo morsetto ++. Con la convenzione del generatore:

P2=VN⋅2,5=3⋅2,5=7,5 W(erogata)\boxed{P_2 = V_N \cdot 2{,}5 = 3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5\ \mathrm W} \quad \text{(erogata)}

4. Bilancio

  • Erogata da E1E_1: E1I1=4⋅0,5=2 WE_1 I_1 = 4 \cdot 0{,}5 = 2\ \mathrm W.
  • Erogata dal GTPC: 7,5 W7{,}5\ \mathrm W.
  • Assorbita dai resistori: 0,5+9=9,5 W=2+7,50{,}5 + 9 = 9{,}5\ \mathrm W = 2 + 7{,}5 ✓.

Osservazione. Il pilotato eroga quasi 4 volte la potenza del generatore indipendente: i generatori pilotati non sono passivi. Nei circuiti elettronici questa potenza arriva dall'alimentazione del dispositivo (per esempio del transistor), che nel modello non compare.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 2.10). Rete in regime stazionario con R1=2 ΩR_1 = 2\ \Omega, R3=1 ΩR_3 = 1\ \Omega, un GIT E1=4 VE_1 = 4\ \mathrm V e un GTPC con r=6 Ωr = 6\ \Omega.

  1. Calcolare la potenza P2P_2 uscente dalla porta 2 del generatore pilotato.
  2. Calcolare la potenza assorbita da R1R_1 e da R3R_3.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento. E1E_1 a sinistra (++ in alto); R1R_1 sul filo in alto dal ++ di E1E_1 al nodo N, percorso da I1I_1 verso destra. Da N scendono R3R_3 e, più a destra, il GTPC rI1r I_1 (++ in alto).

Risultati: P2=152 WP_2 = \frac{15}{2}\ \mathrm W, PR1=12 WP_{R1} = \frac12\ \mathrm W, PR3=9 WP_{R3} = 9\ \mathrm W.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →, Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →.

  1. Corrente di controllo I1I_1. VN=rI1=6I1V_N = r I_1 = 6 I_1. Da I1=E1−VNR1=4−6I12I_1 = \frac{E_1 - V_N}{R_1} = \frac{4 - 6 I_1}{2} si ricava I1=0,5 AI_1 = 0{,}5\ \mathrm A e VN=3 VV_N = 3\ \mathrm V.

  2. Potenze resistori. PR1=R1I12=2⋅0,25=0,5 WP_{R1} = R_1 I_1^2 = 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5\ \mathrm W, PR3=VN2R3=91=9 WP_{R3} = \frac{V_N^2}{R_3} = \frac{9}{1} = 9\ \mathrm W.

  3. Potenza del pilotato (il GTPC fa uscire dal suo ++ la corrente che manca in N). I3=VNR3=3 AI_3 = \frac{V_N}{R_3} = 3\ \mathrm A. LKC in N: entrano 0,5 A0{,}5\ \mathrm A da R1R_1, escono 3 A3\ \mathrm A in R3R_3; mancano 2,5 A2{,}5\ \mathrm A forniti dal GTPC. P2=VN⋅2,5=3⋅2,5=7,5 W\boxed{P_2 = V_N \cdot 2{,}5 = 3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5\ \mathrm W}

  4. Bilancio. Erogata da E1E_1: 4⋅0,5=2 W4 \cdot 0{,}5 = 2\ \mathrm W; dal GTPC 7,5 W7{,}5\ \mathrm W; assorbita dai resistori 0,5+9=9,5 W0{,}5 + 9 = 9{,}5\ \mathrm W ✓. I generatori pilotati non sono passivi: possono erogare più potenza dei generatori indipendenti.

Errori tipici: trattare il generatore pilotato come un GIT indipendente o sbagliare il segno delle correnti alla LKC.

Teoria collegata