Esercizio 1.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni

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Testo (Eserciziario, es. 1.6). In figura è rappresentata una rete in regime stazionario costituita da otto bipoli, con $V_1 = 10\ \mathrm V$ , $V_2 = 12\ \mathrm V$ , $V_3 = 6\ \mathrm V$ , $V_4 = 8\ \mathrm V$ . Applicando la LKT agli anelli, calcolare le tensioni $V_5$ , $V_6$ , $V_7$ , $V_8$ .

Figura (descritta). Cinque nodi disposti a croce: il nodo 2 al centro, 1 a sinistra, 3 a destra, 4 in alto, 5 in basso. Il disegno è un rettangolo diviso in quattro "finestre" (in alto a sinistra, in alto a destra, in basso a sinistra, in basso a destra).

Bipolo	Tra i nodi	Morsetto $+$	Morsetto $-$
$V_1$	2 – 3 (orizzontale, a destra del centro)	3	2
$V_2$	1 – 2 (orizzontale, a sinistra del centro)	1	2
$V_3$	2 – 4 (verticale, sopra il centro)	4	2
$V_4$	2 – 5 (verticale, sotto il centro)	5	2
$V_5$	3 – 5 (lato destro, in basso)	3	5
$V_6$	1 – 5 (lato sinistro, in basso)	1	5
$V_7$	1 – 4 (lato sinistro, in alto)	1	4
$V_8$	3 – 4 (lato destro, in alto)	3	4

Risultati: $V_5 = 2\ \mathrm V$ , $V_6 = 4\ \mathrm V$ , $V_7 = 6\ \mathrm V$ , $V_8 = 4\ \mathrm V$ .

1. Quante equazioni servono

La rete ha $\ell = 8$ lati e $n = 5$ nodi. Le LKT indipendenti sono

$\ell - n + 1 = 8 - 5 + 1 = 4$

e la rete, disegnata senza incroci, ha esattamente $4$ anelli (le quattro finestre). Le incognite sono $4$ : una LKT per anello basta.

2. Come si scrive ciascuna LKT

Si percorre ogni anello in verso orario. Regola dei segni: se si attraversa un bipolo dal suo $+$ al suo $-$ la tensione si scrive con il $+$ , se lo si attraversa dal $-$ al $+$ con il $-$ .

Anello 1 (in alto a sinistra: nodi 1, 4, 2)

Orario: $1 \to 4 \to 2 \to 1$ .

Tratto	Bipolo	Si entra dal…	Segno
$1 \to 4$	$V_7$ ( $+$ su 1)	$+$	$+V_7$
$4 \to 2$	$V_3$ ( $+$ su 4)	$+$	$+V_3$
$2 \to 1$	$V_2$ ( $+$ su 1, $-$ su 2)	$-$	$-V_2$

$V_7 + V_3 - V_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_7 = V_2 - V_3 = 12 - 6 = 6\ \mathrm V$

Anello 2 (in alto a destra: nodi 4, 3, 2)

Orario: $4 \to 3 \to 2 \to 4$ .

Tratto	Bipolo	Si entra dal…	Segno
$4 \to 3$	$V_8$ ( $-$ su 4)	$-$	$-V_8$
$3 \to 2$	$V_1$ ( $+$ su 3)	$+$	$+V_1$
$2 \to 4$	$V_3$ ( $-$ su 2)	$-$	$-V_3$

$-V_8 + V_1 - V_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_8 = V_1 - V_3 = 10 - 6 = 4\ \mathrm V$

Anello 3 (in basso a sinistra: nodi 1, 2, 5)

Orario: $1 \to 2 \to 5 \to 1$ .

Tratto	Bipolo	Si entra dal…	Segno
$1 \to 2$	$V_2$ ( $+$ su 1)	$+$	$+V_2$
$2 \to 5$	$V_4$ ( $-$ su 2)	$-$	$-V_4$
$5 \to 1$	$V_6$ ( $-$ su 5)	$-$	$-V_6$

$V_2 - V_4 - V_6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_6 = V_2 - V_4 = 12 - 8 = 4\ \mathrm V$

Anello 4 (in basso a destra: nodi 2, 3, 5)

Orario: $2 \to 3 \to 5 \to 2$ .

Tratto	Bipolo	Si entra dal…	Segno
$2 \to 3$	$V_1$ ( $-$ su 2)	$-$	$-V_1$
$3 \to 5$	$V_5$ ( $+$ su 3)	$+$	$+V_5$
$5 \to 2$	$V_4$ ( $+$ su 5)	$+$	$+V_4$

$-V_1 + V_5 + V_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_5 = V_1 - V_4 = 10 - 8 = 2\ \mathrm V$

3. Verifica con i potenziali

Un controllo indipendente: si sceglie il nodo 2 come riferimento, $u_2 = 0$ , e si ricavano i potenziali dalle tensioni note (ogni tensione è $u_+ - u_-$ ):

$V_1 = u_3 - u_2 \Rightarrow u_3 = 10$ ;
$V_2 = u_1 - u_2 \Rightarrow u_1 = 12$ ;
$V_3 = u_4 - u_2 \Rightarrow u_4 = 6$ ;
$V_4 = u_5 - u_2 \Rightarrow u_5 = 8$ .

Allora:

Tensione	Formula	Valore
$V_5$	$u_3 - u_5 = 10 - 8$	$2\ \mathrm V$ ✓
$V_6$	$u_1 - u_5 = 12 - 8$	$4\ \mathrm V$ ✓
$V_7$	$u_1 - u_4 = 12 - 6$	$6\ \mathrm V$ ✓
$V_8$	$u_3 - u_4 = 10 - 6$	$4\ \mathrm V$ ✓

Funziona perché la LKT equivale proprio a dire che le tensioni sono differenze di potenziali di nodo.

Osservazione: il verso di percorrenza non conta

Percorrendo un anello in verso antiorario, ogni tensione cambia segno nell'equazione: per l'anello 1 si otterrebbe $-V_7 - V_3 + V_2 = 0$ , che è la stessa equazione moltiplicata per $-1$ . Il vincolo sulle tensioni è identico.

Errori comuni

Decidere il segno guardando la posizione del bipolo nel disegno invece del suo $+$ .
Scrivere una LKT su un percorso che non è chiuso (deve tornare al nodo di partenza).

Versione ripasso

Bipolo	Tra i nodi	Morsetto $+$	Morsetto $-$
$V_1$	2 – 3 (orizzontale, a destra del centro)	3	2
$V_2$	1 – 2 (orizzontale, a sinistra del centro)	1	2
$V_3$	2 – 4 (verticale, sopra il centro)	4	2
$V_4$	2 – 5 (verticale, sotto il centro)	5	2
$V_5$	3 – 5 (lato destro, in basso)	3	5
$V_6$	1 – 5 (lato sinistro, in basso)	1	5
$V_7$	1 – 4 (lato sinistro, in alto)	1	4
$V_8$	3 – 4 (lato destro, in alto)	3	4

Risultati: $V_5 = 2\ \mathrm V$ , $V_6 = 4\ \mathrm V$ , $V_7 = 6\ \mathrm V$ , $V_8 = 4\ \mathrm V$ .

Metodo: LKT sugli anelli in verso orario. Regola dei segni: $+$ se si entra dal polo positivo, $-$ se dal negativo.

Numero equazioni: $\ell - n + 1 = 8 - 5 + 1 = 4$ anelli.
Anello 1 ( $1 \to 4 \to 2 \to 1$ ): $V_7 + V_3 - V_2 = 0 \implies V_7 = V_2 - V_3 = 12 - 6 = 6\ \mathrm V$ .
Anello 2 ( $4 \to 3 \to 2 \to 4$ ): $-V_8 + V_1 - V_3 = 0 \implies V_8 = V_1 - V_3 = 10 - 6 = 4\ \mathrm V$ .
Anello 3 ( $1 \to 2 \to 5 \to 1$ ): $V_2 - V_4 - V_6 = 0 \implies V_6 = V_2 - V_4 = 12 - 8 = 4\ \mathrm V$ .
Anello 4 ( $2 \to 3 \to 5 \to 2$ ): $-V_1 + V_5 + V_4 = 0 \implies V_5 = V_1 - V_4 = 10 - 8 = 2\ \mathrm V$ .

Verifica con i potenziali ( $u_2 = 0$ : $u_3 = 10$ , $u_1 = 12$ , $u_4 = 6$ , $u_5 = 8$ ): $V_5 = u_3 - u_5 = 2$ , $V_6 = 4$ , $V_7 = 6$ , $V_8 = 4$ ✓. Il verso di percorrenza non conta.

Errori tipici: Decidere il segno guardando la posizione del bipolo nel disegno invece del suo $+$ ; scrivere una LKT su un percorso che non è chiuso.

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