Circuiti del primo ordine (RC e RL)

Dispensa, capitolo 15. Si applica lo schema in tre tempi di Regime variabile, istanti critici e condizioni inizialiIn regime variabile le reti contengono condensatori, induttori e interruttori o deviatori che commutano in un istante critico (t = 0). Se all'istante critico tutte le grandezze restano limitate, valgono vC(0+) = vC(0-) e iL(0+) = iL(0-): le variabili di stato sono continue, le altre grandezze possono saltare. L'analisi si divide in t < 0 (di solito regime stazionario: C aperto, L in corto, da cui vC(0-) e iL(0-)), t = 0 (continuità) e t > 0 (equazione differenziale). Le eccezioni sono le maglie capacitive e gli insiemi di taglio induttivi, dove compaiono impulsi di Dirac.Regime variabile, istanti critici e condizioni iniziali → alle reti con un solo componente dinamico (CondensatoreIl condensatore ideale ha q = C v e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, i = C dv/dt (C in farad). È un bipolo dinamico con memoria: v(t) = v(t0) + (1/C) ∫ i dt. Con corrente limitata la tensione è continua (non può saltare). Immagazzina l'energia W_C = ½ C v², senza dissiparla: è passivo e la sua variabile di stato è la tensione. In regime stazionario è un circuito aperto. Serie: 1/C_s = Σ 1/C_k; parallelo: C_p = Σ C_k (al contrario dei resistori).Condensatore → o InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore →). Il caso con due componenti dinamici è in Circuiti del secondo ordine (RLC)Un circuito con un condensatore e un induttore (RLC serie o parallelo) è del secondo ordine: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω0² x = u(t), con ω0 = 1/√(LC) e α = R/(2L) (serie) oppure α = G/(2C) = 1/(2RC) (parallelo). Le radici s = -α ± √(α² - ω0²) danno tre casi: sovrasmorzato (α > ω0, due esponenziali reali), critico (α = ω0, e^(-αt)(A1 + A2 t)), sottosmorzato (α < ω0, oscillazioni smorzate con pulsazione ωs = √(ω0² - α²)). Servono due condizioni iniziali: x(0+) e dx/dt(0+), che si ricavano da vC(0+) e iL(0+).Circuiti del secondo ordine (RLC) →.

1. Carica del condensatore

Circuito. Un GIT costante $E$, un interruttore S, un resistore $R$ e un condensatore $C$ in serie. Per $t < 0$ S è aperto e il condensatore è scarico. In $t = 0$ S si chiude. Riferimenti: $v_R$ e $v_C$ con la convenzione dell'utilizzatore, la stessa corrente $i$ nella maglia.

$t = 0$. Scarico prima, quindi $v_C(0^-) = 0$; per la continuità $v_C(0^+) = 0$.

$t > 0$. LKT: $v_R + v_C = E$. Con $v_R = R i$ e $i = C\, \frac{dv_C}{dt}$:

$$RC\, \frac{dv_C}{dt} + v_C = E$$

È un'equazione differenziale del primo ordine, lineare a coefficienti costanti, non omogenea (il secondo membro $E$ non è zero). La soluzione è la somma di:

• la soluzione generale dell'omogenea $RC\, \dot v + v = 0$: $\ A\, e^{st}$ con $s$ radice del polinomio caratteristico $RC\, s + 1 = 0$, cioè $s = -\frac{1}{RC}$;
• una soluzione particolare: poiché il secondo membro è costante, si cerca una costante $V_p$; sostituendo, $0 + V_p = E$.

$$v_C(t) = A\, e^{-t/T} + E, \qquad T = RC$$

$T$ si chiama costante di tempo ed è davvero un tempo: $[\Omega] \cdot [\mathrm F] = \frac{\mathrm V}{\mathrm A} \cdot \frac{\mathrm{C}}{\mathrm V} = \frac{\mathrm C}{\mathrm A} = \mathrm s$.

La costante $A$ si trova dalla condizione iniziale: $v_C(0) = A + E = 0$, quindi $A = -E$.

Formula (carica di un condensatore scarico attraverso un resistore, interruttore chiuso in t = 0). $$\boxed{\;v_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right), \qquad i(t) = C\frac{dv_C}{dt} = \frac{E}{R}\, e^{-t/RC}\;} \qquad (t > 0)$$

Esempio. Con $E = 10\ \mathrm V$, $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ e $C = 100\ \mu\mathrm F$ si ha $T = RC = 0{,}1\ \mathrm s$: $i(0^+) = E/R = 10\ \mathrm{mA}$ e $v_C(T) = 10\,(1 - e^{-1}) \approx 6{,}32\ \mathrm V$.

Lettura fisica.

• All'inizio il condensatore è scarico, cioè ha tensione nulla, come un cortocircuito: tutta la $E$ cade su $R$ e la corrente salta da $0$ (per $t < 0$) a $E/R$.
• Man mano che si carica, la sua tensione cresce, su $R$ resta sempre meno tensione e la corrente cala.
• Alla fine $i \to 0$ e $v_C \to E$: è la soluzione di regime stazionario della rete per $t > 0$, con il condensatore come circuito aperto.

2. Scarica del condensatore

Circuito. Condensatore carico a $V_0$ e resistore $R$, collegati in $t = 0$ da un interruttore che si chiude. Stessi riferimenti di prima, senza generatore.

$t = 0$: $v_C(0^+) = v_C(0^-) = V_0$. $t > 0$: LKT $v_R + v_C = 0$, quindi

$$RC\, \frac{dv_C}{dt} + v_C = 0$$

omogenea: la soluzione particolare è nulla, $v_C = A e^{-t/T}$, e $A = V_0$.

Formula (scarica di un condensatore attraverso un resistore). $$\boxed{\;v_C(t) = V_0\, e^{-t/RC}, \qquad i(t) = -\frac{V_0}{R}\, e^{-t/RC}\;}$$

Esempio. Con $V_0 = 10\ \mathrm V$, $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ e $C = 100\ \mu\mathrm F$: $i(0^+) = -V_0/R = -10\ \mathrm{mA}$ e dopo $2T = 0{,}2\ \mathrm s$ la tensione è $v_C = 10\,e^{-2} \approx 1{,}35\ \mathrm V$.

La corrente è negativa: con i riferimenti scelti (utilizzatore sul condensatore) vuol dire che il condensatore eroga corrente al resistore, che dissipa l'energia $\frac12 C V_0^2$ immagazzinata. Salta da $0$ a $-V_0/R$ all'istante critico, poi si annulla.

3. Carica dell'induttore

Circuito. GIT $E$, interruttore, $R$ e $L$ in serie; induttore scarico ($i_L = 0$) per $t < 0$, S si chiude in $t = 0$.

$t = 0$: $i_L(0^+) = i_L(0^-) = 0$. $t > 0$: LKT $R i_L + L \frac{di_L}{dt} = E$, cioè

$$\frac{L}{R}\,\frac{di_L}{dt} + i_L = \frac{E}{R}$$

stessa forma della carica del condensatore, con costante di tempo $T = L/R$ e valore finale $E/R$:

Formula (carica di un induttore scarico attraverso un resistore). $$\boxed{\;i_L(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-t\,R/L}\right), \qquad v_L(t) = L\frac{di_L}{dt} = E\, e^{-t\, R/L}\;}$$

Esempio. Con $E = 12\ \mathrm V$, $R = 4\ \Omega$ e $L = 20\ \mathrm{mH}$: $T = L/R = 5\ \mathrm{ms}$, $i_L(\infty) = 3\ \mathrm A$ e $i_L(T) = 3\,(1 - e^{-1}) \approx 1{,}90\ \mathrm A$.

Controllo dimensionale: $\frac{\mathrm H}{\Omega} = \frac{\mathrm{V \cdot s / A}}{\mathrm{V/A}} = \mathrm s$.

All'inizio l'induttore, con corrente nulla, si comporta come un circuito aperto: tutta la $E$ è ai suoi capi ($v_L$ salta da $0$ a $E$). Alla fine diventa un cortocircuito e la corrente vale $E/R$. Grafici: gli stessi della carica del condensatore, con $i_L$ al posto di $v_C$ e $v_L$ al posto di $i$.

4. Scarica dell'induttore

Circuito. Un induttore con corrente $I_0$ circola in una maglia chiusa da un interruttore S, posto in parallelo a un resistore $R$. In $t = 0$ S si apre e la corrente dell'induttore è costretta a passare in $R$.

$t = 0$: $i_L(0^+) = I_0$. $t > 0$: $L \frac{di_L}{dt} + R i_L = 0$, quindi

Formula (scarica di un induttore su un resistore). $$\boxed{\;i_L(t) = I_0\, e^{-t\,R/L}, \qquad v_L(t) = -R I_0\, e^{-t\, R/L}\;}$$

Esempio. Con $I_0 = 2\ \mathrm A$, $R = 10\ \Omega$ e $L = 20\ \mathrm{mH}$: $T = 2\ \mathrm{ms}$ e la tensione dell'induttore salta a $v_L(0^+) = -R\,I_0 = -20\ \mathrm V$.

La tensione dell'induttore salta da $0$ a $-R I_0$: più grande è $R$, più alto è il picco. Con $R \to \infty$ (aprire un circuito induttivo senza un percorso alternativo) il picco sarebbe infinito: è la scintilla descritta in InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore →.

5. Il caso generale: una rete qualsiasi con un solo C o un solo L

Si considera una rete lineare (GIT, GIC, resistori, generatori pilotati, interruttori che commutano solo in $t = 0$) con un solo componente dinamico, collegato ai morsetti A e B. Tutto il resto è una rete adinamica: per $t > 0$ si sostituisce con il suo equivalente di ThéveninUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton → ($e(t)$, $R$) e si ottiene uno dei circuiti visti sopra:

$$\frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{RC}\, v_C = \frac{e(t)}{RC} \qquad\qquad \frac{di_L}{dt} + \frac{R}{L}\, i_L = \frac{e(t)}{L}$$

Tutte hanno la forma

$$\frac{dx}{dt} + \alpha\, x = b(t), \qquad \alpha = \frac{1}{T}$$

con soluzione

$$x(t) = \big[x(0) - x_p(0)\big]\, e^{-t/T} + x_p(t)$$

La formula da usare negli esercizi (generatori costanti)

Formula (risposta di un circuito del primo ordine con generatori costanti). Con generatori costanti la soluzione particolare è costante e coincide con la soluzione di regime stazionario per $t > 0$, il valore finale $x_\infty$:

$$\boxed{\;x(t) = x_\infty + \big[x(0^+) - x_\infty\big]\, e^{-t/T}\;}$$

Servono solo tre numeri:

Numero	Come si trova
$x(0^+)$	continuità: $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ o $i_L(0^+) = i_L(0^-)$, dalla rete per $t < 0$ a regime (C aperto, L in corto)
$x_\infty$	rete per $t > 0$ a regime stazionario (C aperto, L in corto)
$T$	$T = R_{eq} C$ oppure $T = L / R_{eq}$, con $R_{eq}$ = resistenza vista dai morsetti del componente dinamico, nella rete per $t > 0$, con i generatori indipendenti spenti

Esempio. Con $x(0^+) = 2$, $x_\infty = 8$ e $T = 2\ \mathrm{ms}$: $x(t) = 8 - 6\,e^{-t/T}$, che a $t = T$ vale $8 - 6\,e^{-1} \approx 5{,}79$.

Ottenuta la variabile di stato, ogni altra grandezza si ricava dalla rete (resistiva) per $t > 0$, in cui il condensatore è un GIT di valore $v_C(t)$ o l'induttore un GIC di valore $i_L(t)$. Anche ogni altra grandezza ha la forma $y_\infty + [y(0^+) - y_\infty]\, e^{-t/T}$, con la stessa costante di tempo, ma il suo $y(0^+)$ va calcolato nella rete in $0^+$ (non vale la continuità).

Se i generatori sono sinusoidi della stessa frequenza, $x_p(t)$ è la soluzione di regime sinusoidale (vedi Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →) e la formula diventa $x(t) = x_p(t) + [x(0^+) - x_p(0^+)]\, e^{-t/T}$.

Transitorio e regime permanente

$$x(t) = \underbrace{\big[x(0) - x_p(0)\big]\, e^{-t/T}}_{\text{termine transitorio}} + \underbrace{x_p(t)}_{\text{regime permanente}}$$

Il segno di $\alpha$ dipende solo dai componenti, non dai generatori:

• $\alpha > 0$ ($T > 0$): l'esponenziale si spegne, il primo termine è un vero transitorio e resta il regime permanente $x_p$. È sempre così con resistori passivi.
• $\alpha = 0$: il termine resta costante.
• $\alpha < 0$: l'esponenziale diverge; può succedere con generatori pilotati, che possono rendere $R_{eq}$ negativa (circuito instabile).

Evoluzione libera e risposta forzata

Raggruppando diversamente:

$$x(t) = \underbrace{x(0)\, e^{-t/T}}_{\text{evoluzione libera}} + \underbrace{x_p(t) - x_p(0)\, e^{-t/T}}_{\text{risposta forzata}}$$

• Evoluzione libera (risposta naturale, "da ingresso nullo"): dipende solo dalla condizione iniziale; è ciò che succederebbe con tutti i generatori spenti. Esempi: le scariche.
• Risposta forzata ("da stato zero"): dipende solo dai generatori; è ciò che succederebbe partendo con $v_C(0) = 0$ o $i_L(0) = 0$. Esempi: le cariche.

6. Quanto dura un transitorio: la costante di tempo

In teoria il transitorio non finisce mai; in pratica dopo $4$–$5$ costanti di tempo la differenza dal valore finale è sotto il $2\%$ e lo si considera esaurito.

La tangente nell'origine. La retta tangente a $y(0)\, e^{-t/T}$ in $t = 0$ è $y(0)\left(1 - \frac{t}{T}\right)$ e tocca lo zero esattamente in $t = T$. Se l'esponenziale continuasse a scendere con la pendenza iniziale, finirebbe in un tempo $T$. Serve anche per misurare $T$ all'oscilloscopio: si traccia la tangente iniziale e si legge dove incrocia il valore finale.

Formula (tempo per raggiungere un valore assegnato). Tempo per raggiungere un valore. Da $x(t_1) = x_\infty + [x(0) - x_\infty]\, e^{-t_1/T}$:

$$t_1 = T \ln \frac{x(0) - x_\infty}{x(t_1) - x_\infty}$$

Esempio. Carica con $x(0) = 0$, $x_\infty = 10\ \mathrm V$ e $T = 0{,}1\ \mathrm s$: per arrivare a $9\ \mathrm V$ servono $t_1 = 0{,}1\,\ln\frac{0 - 10}{9 - 10} = 0{,}1\ln 10 \approx 0{,}23\ \mathrm s$.

Esempio applicativo: Esercizio - flash fotografico, carica e scarica di un condensatore.

Procedura per gli esercizi

1. $t < 0$: rete a regime stazionario prima della manovra (C aperto, L in corto); calcolare $v_C(0^-)$ o $i_L(0^-)$.
2. $t = 0$: continuità della variabile di stato.
3. $t > 0$: valore finale $x_\infty$ (rete dopo la manovra, a regime) e costante di tempo (resistenza vista dal componente, generatori spenti).
4. Scrivere $x(t) = x_\infty + [x(0^+) - x_\infty]\, e^{-t/T}$ e, se servono, ricavare le altre grandezze.
5. Controlli: in $t = 0^+$ si deve ritrovare $x(0^+)$; per $t \to \infty$ il valore finale; $T > 0$.

Errori comuni

• Usare $T = L R$ o $T = C/R$: le formule giuste sono $RC$ e $L/R$ (verificare le dimensioni).
• Prendere la $R$ sbagliata per $T$: è la resistenza vista dai morsetti del componente dinamico nella rete dopo la manovra, a generatori spenti, non una resistenza qualsiasi del circuito.
• Imporre la continuità alla grandezza sbagliata (corrente del condensatore, tensione dell'induttore).
• Dimenticare il segno della corrente nella scarica.

Domande d'esame svolte: Domanda d'esame - transitorio di carica di un circuito RC, Domanda d'esame - transitorio di scarica di un circuito RC, Domanda d'esame - transitorio di carica di un circuito RL, Domanda d'esame - transitorio di scarica di un circuito RL.