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Note per Studenti Esercizio 1.42 - sostituzione e amperometro

Esercizio 1.42 - sostituzione e amperometro

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Testo (Eserciziario, es. 1.42). Rete a regime stazionario con J=4 AJ = 4\ \mathrm A, E=60 VE = 60\ \mathrm V, R1=20 ΩR_1 = 20\ \Omega, R2=40 ΩR_2 = 40\ \Omega, R3=20 ΩR_3 = 20\ \Omega (il testo dà anche R4=40 ΩR_4 = 40\ \Omega, che però non compare nella figura). Calcolare il valore IAI_A misurato dall'amperometro ideale.

Figura (descritta). Filo in alto (nodo T) e filo in basso (nodo B). Rami verticali tra T e B, da sinistra: R1R_1 in serie al GIC JJ (freccia in su, verso T); R2R_2; l'amperometro, con il morsetto −- in alto e il ++ in basso. Poi, dal nodo T, R3R_3 va verso destra fino all'angolo in alto a destra, da cui scende il GIT EE (++ in alto) fino a B.

Risultato: IA=−7 AI_A = -7\ \mathrm A.

Teoria: Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione →.

1. L'amperometro

Un amperometro ideale è un cortocircuito: T e B diventano lo stesso nodo. Misura la corrente che lo attraversa dal suo ++ al suo −-, cioè dal basso verso l'alto.

2. Due sostituzioni

Il ramo JJ–R1R_1. La serie di JJ e R1R_1 è un bipolo di cui si conosce la corrente: è JJ, imposta dal GIC. Per il teorema di sostituzione si può sostituire l'intero ramo con un GIC J1=J=4 AJ_1 = J = 4\ \mathrm A (stesso verso, verso T). In questo caso è anche l'equivalenza della serie (GIC in serie a qualsiasi bipoloIl GIC impone la corrente a tutta la serie: verso l'esterno l'insieme si comporta come lo stesso GIC.Serie e parallelo di bipoli →).

Il resistore R2R_2. Con T e B cortocircuitati, R2R_2 ha tensione nulla e quindi corrente nulla. Un bipolo con corrente nulla si può sostituire con un GIC di corrente zero, cioè con un circuito aperto: si toglie.

3. La rete che resta

Restano il GIC J1J_1, l'amperometro (un filo) e il ramo R3R_3–EE, tutti tra T e B.

  • Ramo R3R_3–EE: la tensione tra l'angolo in alto a destra e B è EE; siccome T coincide con B, su R3R_3 c'è tutta la tensione EE, con il ++ dalla parte del GIT. La corrente in R3R_3 va dall'angolo verso T: I3=ER3=6020=3 A(entra in T)I_3 = \frac{E}{R_3} = \frac{60}{20} = 3\ \mathrm A \quad \text{(entra in T)}
  • LKC al nodo T: entrano J1=4 AJ_1 = 4\ \mathrm A (dal ramo di sinistra) e I3=3 AI_3 = 3\ \mathrm A (da R3R_3); l'unica via d'uscita è l'amperometro, verso il basso. Quindi nell'amperometro passano 7 A7\ \mathrm A dall'alto al basso.

Il riferimento dell'amperometro è dal basso verso l'alto: opposto.

IA=−7 A\boxed{I_A = -7\ \mathrm A}

Perché non serviva R1R_1 né R2R_2. R1R_1 è in serie al GIC (non cambia la corrente del ramo) e R2R_2 è cortocircuitato. Il risultato dipende solo da JJ, EE e R3R_3.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 1.42). Rete a regime stazionario con J=4 AJ = 4\ \mathrm A, E=60 VE = 60\ \mathrm V, R1=20 ΩR_1 = 20\ \Omega, R2=40 ΩR_2 = 40\ \Omega, R3=20 ΩR_3 = 20\ \Omega (il testo dà anche R4=40 ΩR_4 = 40\ \Omega, che però non compare nella figura). Calcolare il valore IAI_A misurato dall'amperometro ideale.

Figura (descritta). Filo in alto (nodo T) e filo in basso (nodo B). Rami verticali tra T e B, da sinistra: R1R_1 in serie al GIC JJ (freccia in su, verso T); R2R_2; l'amperometro, con il morsetto −- in alto e il ++ in basso. Poi, dal nodo T, R3R_3 va verso destra fino all'angolo in alto a destra, da cui scende il GIT EE (++ in alto) fino a B.

Risultato: IA=−7 AI_A = -7\ \mathrm A.

Teoria: Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione →.

Metodo: Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione → e semplificazione della rete con cortocircuito dell'amperometro.

  1. Amperometro e cortocircuito: L'amperometro ideale è un cortocircuito: i nodi T e B coincidono. Misura la corrente dal ++ al −- (dal basso verso l'alto).
  2. Sostituzioni:
    • Il ramo JJ–R1R_1 si sostituisce con un GIC J1=J=4 AJ_1 = J = 4\ \mathrm A verso T.
    • Il resistore R2R_2 ha tensione nulla per via del cortocircuito, quindi corrente nulla e si sostituisce con un circuito aperto (si toglie).
  3. Calcolo correnti e LKC:
    • Sul ramo R3R_3–EE: la corrente che va verso T è I3=ER3=6020=3 AI_3 = \frac{E}{R_3} = \frac{60}{20} = 3\ \mathrm A
    • Al nodo T: entrano J1=4 AJ_1 = 4\ \mathrm A e I3=3 AI_3 = 3\ \mathrm A, che escono attraverso l'amperometro verso il basso (7 A7\ \mathrm A dall'alto al basso).

R1R_1 è in serie al GIC (non cambia la corrente del ramo) e R2R_2 è cortocircuitato: il risultato dipende solo da JJ, EE e R3R_3.

Errori tipici: confondere il verso di riferimento dell'amperometro (dal basso verso l'alto) con quello della corrente effettiva.

Teoria collegata