Partitori di tensione e di corrente

Conseguenza diretta di Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli → (dispensa, paragrafi 9.1.3 e 9.2.3). Sono le due formule più usate negli esercizi: permettono di trovare la tensione su un resistore o la corrente in un ramo senza scrivere il sistema completo.

Partitore di tensione

Formula (partitore di tensione). Situazione. $\ell$ resistori in serie, con tensione totale $v_s$ nota ai capi della serie. Si vuole la tensione $v_k$ sul $k$-esimo.

Ricavo. Tutti i resistori hanno la stessa corrente $i_s$, e la serie equivale a $R_s = \sum_h R_h$, quindi

$$i_s = \frac{v_s}{R_s} \qquad\Longrightarrow\qquad v_k = R_k\, i_s = \frac{R_k}{R_s}\, v_s$$

$$\boxed{\;v_k = \frac{R_k}{R_1 + R_2 + \dots + R_\ell}\; v_s\;}$$

Per due resistori:

$$v_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\, v_s, \qquad v_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\, v_s$$

Come leggerla. La tensione si ripartisce in proporzione alle resistenze: la resistenza più grande prende la fetta più grande. Le frazioni $R_k/R_s$ sono numeri tra 0 e 1 che sommano a 1, quindi le tensioni parziali sommano a $v_s$ (è la LKT).

Esempio. $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $v_s = 100\ \mathrm V$: $R_s = 50\ \Omega$, $v_1 = \frac{10}{50} \cdot 100 = 20\ \mathrm V$, $v_2 = \frac{40}{50} \cdot 100 = 80\ \mathrm V$. Controllo: $20 + 80 = 100$.

Riferimenti. La formula vale con le tensioni $v_k$ e $v_s$ prese concordi (il $+$ di ogni $v_k$ dalla parte del $+$ di $v_s$, percorrendo la serie). Se la tensione richiesta ha il riferimento opposto, si mette un segno meno. In Esercizio 1.11 - partitore di tensione e voltmetro il voltmetro ha il $+$ in basso mentre il partitore dà la tensione con il $+$ in alto: il risultato è $-20\ \mathrm V$, non $+20\ \mathrm V$.

Quando si può usare. Serve che i resistori siano davvero in serie, cioè percorsi dalla stessa corrente: nessun ramo deve partire dai nodi intermedi. Se da un nodo intermedio esce un carico, prima lo si combina (serie/parallelo) con il resistore a cui è collegato e poi si applica il partitore.

Partitore di corrente

Formula (partitore di corrente). Situazione. $\ell$ resistori in parallelo, con corrente totale $i_p$ nota. Si vuole la corrente $i_k$ nel $k$-esimo ramo.

Ricavo. Tutti i resistori hanno la stessa tensione $v_p$, e il parallelo equivale a $G_p = \sum_h G_h$, quindi

$$v_p = \frac{i_p}{G_p} \qquad\Longrightarrow\qquad i_k = G_k\, v_p = \frac{G_k}{G_p}\, i_p$$

$$\boxed{\;i_k = \frac{G_k}{G_1 + G_2 + \dots + G_\ell}\; i_p\;}$$

La corrente si ripartisce in proporzione alle conduttanze: il ramo con resistenza più piccola prende più corrente.

Esempio. Tre rami da $2\ \Omega$, $4\ \Omega$ e $4\ \Omega$ con $i_p = 12\ \mathrm A$: $G_p = 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}25 = 1\ \mathrm S$, quindi $i_1 = 6\ \mathrm A$, $i_2 = i_3 = 3\ \mathrm A$ (somma $12\ \mathrm A$).

Due resistori: la formula con le resistenze. Partendo da $i_1 = \dfrac{G_1}{G_1 + G_2}\, i_p$ e sostituendo $G = 1/R$:

$$i_1 = \frac{\frac{1}{R_1}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}\; i_p = \frac{\frac{1}{R_1}}{\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}}\; i_p = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\; i_p$$

Formula (partitore di corrente tra due resistori: al numeratore la resistenza dell'altro ramo). $$\boxed{\;i_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\, i_p, \qquad i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\, i_p\;}$$

Al numeratore c'è la resistenza dell'altro ramo. È il punto dove si sbaglia di più: confrontandola con il partitore di tensione, dove al numeratore c'è la resistenza dello stesso resistore, sembra un errore di stampa. Non lo è: più è grande $R_2$, più corrente è "spinta" nel ramo 1.

Esempio. $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $i_p = 10\ \mathrm A$: $i_1 = \frac{40}{50} \cdot 10 = 8\ \mathrm A$ (nel ramo con resistenza minore), $i_2 = \frac{10}{50} \cdot 10 = 2\ \mathrm A$. Controllo: $8 + 2 = 10$ (è la LKC).

Riferimenti. La formula vale con $i_k$ e $i_p$ concordi: se $i_p$ entra nel nodo superiore del parallelo, le $i_k$ vanno prese dal nodo superiore verso quello inferiore. Se il riferimento richiesto è opposto, si cambia segno (vedi Esercizio 1.15 - partitore di corrente e amperometro e la $I_4$ di Esercizio 1.16 - parallelo di più resistori).

Con più di due rami la formula "resistenza dell'altro ramo" non si generalizza in modo semplice: conviene usare le conduttanze, oppure raggruppare prima tutti gli altri rami in un'unica resistenza equivalente e poi usare la formula per due.

Tabella di confronto

Errori comuni

• Partitore di corrente con la resistenza sbagliata al numeratore. Controllo veloce: la corrente maggiore deve stare nel ramo con resistenza minore.
• Applicare il partitore di tensione a resistori non in serie (con un carico collegato al nodo intermedio).
• Ignorare il verso del riferimento richiesto: strumenti di misura e correnti indicate nel testo hanno un verso, e il risultato del partitore va confrontato con quello.