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Note per Studenti Esercizio 3.9 - partitore di corrente con impedenze

Esercizio 3.9 - partitore di corrente con impedenze

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Testo (Eserciziario, es. 3.9). Rete a regime sinusoidale con R=25 ΩR = 25\ \Omega, C=100 μFC = 100\ \mu\mathrm F e il GIC j(t)=102cos⁡(400t)j(t) = 10\sqrt2\cos(400t). Determinare iR(t)i_R(t) e iC(t)i_C(t).

Figura (descritta). Tre bipoli in parallelo tra due nodi: il GIC j(t)j(t) (freccia in su, verso il nodo superiore), RR con iRi_R verso il basso, CC con iCi_C verso il basso.

Risultati: iR(t)=10cos⁡(400t−π/4)i_R(t) = 10\cos(400t - \pi/4),  iC(t)=10cos⁡(400t+π/4)\ i_C(t) = 10\cos(400t + \pi/4).

Teoria: Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

Jˉ=10\bar J = 10 (valore efficace 1010, fase 00). Z˙R=25\dot Z_R = 25,  Z˙C=−j400⋅10−4=−j25\ \dot Z_C = -\frac{j}{400 \cdot 10^{-4}} = -j25 (ohm).

2. Partitore di corrente

Con due rami in parallelo, la corrente in un ramo è quella totale per l'impedenza dell'altro ramo, diviso la somma:

IˉR=Jˉ Z˙CZ˙R+Z˙C=10 −j2525−j25=10 −j1−j=10 −j(1+j)2=5(1−j)\bar I_R = \bar J\, \frac{\dot Z_C}{\dot Z_R + \dot Z_C} = 10\, \frac{-j25}{25 - j25} = 10\, \frac{-j}{1 - j} = 10\, \frac{-j(1 + j)}{2} = 5(1 - j)

IˉC=Jˉ Z˙RZ˙R+Z˙C=10 11−j=5(1+j)\bar I_C = \bar J\, \frac{\dot Z_R}{\dot Z_R + \dot Z_C} = 10\, \frac{1}{1 - j} = 5(1 + j)

Controllo LKC: IˉR+IˉC=10=Jˉ\bar I_R + \bar I_C = 10 = \bar J ✓.

3. Sinusoidi

5(1−j)=52 e−jπ/45(1 - j) = 5\sqrt2\, e^{-j\pi/4} e 5(1+j)=52 ejπ/45(1 + j) = 5\sqrt2\, e^{j\pi/4}:

iR(t)=10cos⁡(400t−π4),iC(t)=10cos⁡(400t+π4)\boxed{i_R(t) = 10\cos\left(400t - \tfrac{\pi}{4}\right), \qquad i_C(t) = 10\cos\left(400t + \tfrac{\pi}{4}\right)}

4. Osservazioni

  • RR e CC hanno impedenze di ugual modulo (25 Ω25\ \Omega), quindi si dividono la corrente in parti uguali in valore efficace (52≈7,07 A5\sqrt2 \approx 7{,}07\ \mathrm A ciascuno). Eppure 7,07+7,07=14,1≠107{,}07 + 7{,}07 = 14{,}1 \ne 10: le due correnti sono sfasate di π/2\pi/2 e si sommano come vettori ortogonali, 7,072+7,072=10\sqrt{7{,}07^2 + 7{,}07^2} = 10.
  • La corrente del condensatore è in quadratura in anticipo su quella del resistore, cioè sulla tensione comune (che è in fase con iRi_R): coerente con "nel condensatore la corrente anticipa la tensione".

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.9). Rete a regime sinusoidale con R=25 ΩR = 25\ \Omega, C=100 μFC = 100\ \mu\mathrm F e il GIC j(t)=102cos⁡(400t)j(t) = 10\sqrt2\cos(400t). Determinare iR(t)i_R(t) e iC(t)i_C(t).

Figura (descritta). Tre bipoli in parallelo tra due nodi: il GIC j(t)j(t) (freccia in su, verso il nodo superiore), RR con iRi_R verso il basso, CC con iCi_C verso il basso.

Risultati: iR(t)=10cos⁡(400t−π/4)i_R(t) = 10\cos(400t - \pi/4),  iC(t)=10cos⁡(400t+π/4)\ i_C(t) = 10\cos(400t + \pi/4).

Teoria: Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

Metodo: Metodo simbolico e partitore di correnteMetodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

  1. Rete simbolica: Jˉ=10\bar J = 10, Z˙R=25\dot Z_R = 25, Z˙C=−j400⋅10−4=−j25\dot Z_C = -\frac{j}{400 \cdot 10^{-4}} = -j25.
  2. Partitore di corrente: IˉR=Jˉ Z˙CZ˙R+Z˙C=10 −j2525−j25=5(1−j)\bar I_R = \bar J\, \frac{\dot Z_C}{\dot Z_R + \dot Z_C} = 10\, \frac{-j25}{25 - j25} = 5(1 - j) IˉC=Jˉ Z˙RZ˙R+Z˙C=10 2525−j25=5(1+j)\bar I_C = \bar J\, \frac{\dot Z_R}{\dot Z_R + \dot Z_C} = 10\, \frac{25}{25 - j25} = 5(1 + j)
  3. Risultati nel tempo: iR(t)=10cos⁡(400t−π4),iC(t)=10cos⁡(400t+π4)\boxed{i_R(t) = 10\cos\left(400t - \tfrac{\pi}{4}\right), \qquad i_C(t) = 10\cos\left(400t + \tfrac{\pi}{4}\right)}

Controllo LKC: IˉR+IˉC=10=Jˉ\bar I_R + \bar I_C = 10 = \bar J ✓. RR e CC hanno impedenze di ugual modulo e si dividono la corrente in parti uguali in valore efficace (525\sqrt2), ma sono sfasate di π/2\pi/2 e si sommano come vettori ortogonali.

Errori tipici: confondere le formule del partitore di corrente (usare l'impedenza dello stesso ramo invece di quella dell'altro); dimenticare di sommare i fasori tenendo conto dello sfasamento.

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