Teorema di Tellegen

Dalla dispensa, capitolo 7 "Reti di bipoli", ultimo paragrafo. Prima: Grafo di una rete ed equazioni indipendentiIl grafo di una rete tiene solo i collegamenti (nodi e lati). Scelto un albero (n−1 lati, connesso, senza maglie), ogni lato di coalbero dà una LKT indipendente e ogni lato d'albero una LKC indipendente: in totale ℓ − n + 1 LKT e n − 1 LKC, che con le ℓ equazioni dei bipoli fanno 2ℓ equazioni per 2ℓ incognite.Grafo di una rete ed equazioni indipendenti →. Applicazione: bilancio delle potenze in Esercizio 1.8 - rete con tre generatori e quattro resistori.

Enunciato

Teorema di Tellegen. Si prende una rete di $\ell$ bipoli e $n$ nodi e si adotta la stessa convenzione per tutti i bipoli (per fissare le idee, quella dell'utilizzatore). Siano $v_1, \dots, v_\ell$ le tensioni e $i_1, \dots, i_\ell$ le correnti dei bipoli.

Se

• le tensioni soddisfano le LKT (per esempio sono i valori a un istante $t_1$),
• le correnti soddisfano le LKC (per esempio sono i valori a un istante $t_2$, anche diverso da $t_1$),

allora

$$\boxed{\ \sum_{h=1}^{\ell} v_h\, i_h = 0\ }$$

Esempio. Tre bipoli in serie con la stessa corrente $i = 2\ \mathrm A$ e tensioni (convenzione dell'utilizzatore) $v_1 = 10\ \mathrm V$, $v_2 = 5\ \mathrm V$, $v_3 = -15\ \mathrm V$, che rispettano la LKT: $\sum v_h i_h = 2\,(10 + 5 - 15) = 0\ \mathrm W$ (assorbiti $20 + 10 = 30\ \mathrm W$, erogati $30\ \mathrm W$ dal terzo).

Il teorema usa solo le leggi di Kirchhoff: non importa di che tipo siano i bipoli (resistori, generatori, condensatori, diodi…).

Dimostrazione

Si scrive ogni tensione come differenza di potenziali di nodo, cosa permessa dalla LKT. Il bipolo $h$ collega i nodi $N_p$ e $N_q$; la sua corrente ha riferimento da $N_p$ a $N_q$ e, con la convenzione dell'utilizzatore, la tensione ha il $+$ su $N_p$:

$$v_h\, i_h = (u_{N_p} - u_{N_q})\, i_{N_p N_q} = u_{N_p}\, i_{N_p N_q} + u_{N_q}\, i_{N_q N_p}$$

(nell'ultimo passaggio si è usato $-i_{N_p N_q} = i_{N_q N_p}$: la stessa corrente vista con il riferimento opposto).

Cosa dice questa riga. Il termine $v_h i_h$ si spezza in due pezzi, uno per ciascun nodo del bipolo: potenziale del nodo × corrente del bipolo presa uscente da quel nodo.

Ora si somma su tutti i bipoli e si raggruppano i pezzi per nodo. Al nodo $N_j$ arrivano i pezzi di tutti i bipoli che lo toccano, tutti moltiplicati per lo stesso $u_{N_j}$, con le correnti prese uscenti da $N_j$:

$$\sum_{h=1}^{\ell} v_h\, i_h = \sum_{j=1}^{n} u_{N_j} \cdot i_{usc}(N_j)$$

dove $i_{usc}(N_j)$ è la corrente totale uscente dal nodo $N_j$. Per la LKC ogni $i_{usc}(N_j) = 0$, quindi la somma è zero. $\blacksquare$

In forma matriciale (con le matrici di Grafo di una rete ed equazioni indipendentiIl grafo di una rete tiene solo i collegamenti (nodi e lati). Scelto un albero (n−1 lati, connesso, senza maglie), ogni lato di coalbero dà una LKT indipendente e ogni lato d'albero una LKC indipendente: in totale ℓ − n + 1 LKT e n − 1 LKC, che con le ℓ equazioni dei bipoli fanno 2ℓ equazioni per 2ℓ incognite.Grafo di una rete ed equazioni indipendenti →): $\mathbf v = \mathbf A^T \mathbf u$ (LKT) e $\mathbf A\,\mathbf i = \mathbf 0$ (LKC), quindi

$$\sum_h v_h i_h = \mathbf v^T \mathbf i = (\mathbf A^T \mathbf u)^T \mathbf i = \mathbf u^T (\mathbf A\, \mathbf i) = \mathbf u^T \mathbf 0 = 0$$

Conseguenza: conservazione della potenza

Principio (conservazione della potenza). Prendendo tensioni e correnti della stessa rete allo stesso istante $t$, ogni prodotto $v_h(t)\,i_h(t)$ è la potenza entrante nel bipolo $h$ (convenzione dell'utilizzatore). Il teorema dice:

$$\sum_{h=1}^{\ell} p_h(t) = 0$$

In ogni istante la somma delle potenze entranti in tutti i bipoli di una rete è zero: la potenza erogata da alcuni bipoli è esattamente quella assorbita dagli altri.

Esempio. Un generatore da $12\ \mathrm V$ che eroga $2\ \mathrm A$ ($24\ \mathrm W$) alimenta due resistori che assorbono $18\ \mathrm W$ e $6\ \mathrm W$: $24 = 18 + 6$.

Nella pratica si usa nella forma "potenza erogata dai generatori = potenza assorbita dagli altri bipoli", con la convenzione del generatore sui generatori (che cambia il segno dei loro termini e li porta dall'altra parte dell'uguale). È il controllo finale più usato negli esercizi: se il bilancio non torna, c'è un errore.

Esempio numerico (la rete dell'Esercizio 1.8 - rete con tre generatori e quattro resistori: tre rami GIT + resistore e un resistore $R_4$ in parallelo, con $u_C = 35\ \mathrm V$):

Erogata in totale: $-30 + 20 + 360 = 350\ \mathrm W$ = assorbita ✓.

La versione "strana": istanti diversi, reti diverse

Siccome la dimostrazione usa solo LKT per le tensioni e LKC per le correnti, il teorema vale anche:

1. con le tensioni prese a un istante $t_1$ e le correnti a un istante $t_2 \neq t_1$;
2. con le tensioni di una rete e le correnti di un'altra rete con la stessa topologia (stesso grafo, stessi riferimenti), in cui uno o più bipoli sono stati sostituiti con bipoli di tipo diverso.

In questi casi i prodotti $v_h i_h$ non sono potenze (tensione e corrente non appartengono allo stesso bipolo nello stesso momento), ma la somma è comunque zero.

Esempio. Nella rete dell'esercizio 1.8 si sostituisce $R_4$ con un circuito aperto. La nuova rete ha la stessa topologia; il potenziale di C diventa $u'_C = \frac{2 + 4 + 8}{0{,}3} \approx 46{,}67\ \mathrm V$ e le correnti dei rami con i generatori (verso l'alto) diventano $I'_k = (E_k - u'_C)/10$, cioè $-2{,}67$, $-0{,}67$, $3{,}33\ \mathrm A$, con $I'_4 = 0$.

Si combinano le tensioni della rete originale ($u_C = 35\ \mathrm V$, $u_D = 0$, nodo intermedio di ogni ramo a potenziale $E_k$) con le correnti della rete modificata, tutto con la convenzione dell'utilizzatore:

• GIT $E_k$: tensione $E_k$, corrente entrante nel $+$ pari a $-I'_k$: termine $-E_k I'_k$;
• resistore $R_k$: tensione $E_k - 35$ (il $+$ in basso), corrente $I'_k$: termine $(E_k - 35)\,I'_k$;
• $R_4$ (ora circuito aperto): tensione $35$, corrente $I'_4 = 0$: termine $0$.

Sommando, per ogni ramo $-E_k I'_k + (E_k - 35) I'_k = -35\, I'_k$, quindi

$$\sum_h v_h i_h = -35\,(I'_1 + I'_2 + I'_3) + 35\, I'_4 = -35\,(-2{,}67 - 0{,}67 + 3{,}33) + 0 = 0 \ ✓$$

(la parentesi è zero per la LKC nel nodo C della rete modificata). È proprio il meccanismo della dimostrazione: si arriva a "potenziale × corrente uscente dal nodo".

Errori comuni

• Mescolare convenzioni: il teorema richiede la stessa convenzione su tutti i bipoli. Se si usa la convenzione del generatore su alcuni, i loro termini vanno cambiati di segno.
• Chiamare "potenze" i prodotti della versione a istanti o reti diversi: lo sono solo se tensione e corrente sono dello stesso bipolo nello stesso istante.
• Pensare che serva la linearità: il teorema vale anche con diodi e altri bipoli non lineari.