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Note per Studenti Esercizio 1.34 - correnti di anello con un GIC

Esercizio 1.34 - correnti di anello con un GIC

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Testo (Eserciziario, es. 1.34). Rete a regime stazionario con J=4 AJ = 4\ \mathrm A, E1=50 VE_1 = 50\ \mathrm V, E2=30 VE_2 = 30\ \mathrm V, R1=R2=10 ΩR_1 = R_2 = 10\ \Omega. Calcolare le potenze PR1P_{R1} e PR2P_{R2} entranti nei due resistori.

Figura (descritta). Filo in alto e filo in basso, collegati da tre rami verticali. Da sinistra: il GIC JJ con la freccia in su; un ramo con R1R_1 (in alto) ed E1E_1 (in basso, ++ in alto); un ramo con R2R_2 (in alto) ed E2E_2 (in basso, ++ in alto).

Risultati: PR1=10 WP_{R1} = 10\ \mathrm W, PR2=90 WP_{R2} = 90\ \mathrm W.

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →.

1. Impostazione

Rete piana con due anelli (le due "finestre"): correnti di anello IA1I_{A1} (anello di sinistra: JJ e ramo 1) e IA2I_{A2} (anello di destra: ramo 1 e ramo 2), entrambe orarie.

Il GIC non ha resistori in parallelo: metodo modificato. Si introduce la sua tensione VJV_J (con il ++ in alto) come incognita.

2. Il GIC sul bordo esterno

JJ sta su un lato che appartiene solo all'anello 1. In senso orario, nel lato sinistro l'anello 1 sale, come la freccia di JJ: quindi

IA1=J=4 AI_{A1} = J = 4\ \mathrm A

Un'incognita è già nota.

3. Le equazioni

Anello 2 (orario: sale nel ramo 1, scende nel ramo 2). Autoresistenza R1+R2R_1 + R_2, mutua resistenza con l'anello 1: R1R_1 (lato in comune). F.e.m.: salendo nel ramo 1 si attraversa E1E_1 dal −- al ++ (+E1+E_1); scendendo nel ramo 2 si attraversa E2E_2 dal ++ al −- (−E2-E_2).

(R1+R2) IA2−R1IA1=E1−E2⟹20 IA2−40=20⟹IA2=3 A(R_1 + R_2)\, I_{A2} - R_1 I_{A1} = E_1 - E_2 \quad\Longrightarrow\quad 20\, I_{A2} - 40 = 20 \quad\Longrightarrow\quad I_{A2} = 3\ \mathrm A

Anello 1 (serve solo per VJV_J): sale in JJ (dal −- al ++ di VJV_J: +VJ+V_J), scende nel ramo 1 (attraversa E1E_1 dal ++ al −-: −E1-E_1):

R1IA1−R1IA2=VJ−E1⟹10⋅4−10⋅3=VJ−50⟹VJ=60 VR_1 I_{A1} - R_1 I_{A2} = V_J - E_1 \quad\Longrightarrow\quad 10 \cdot 4 - 10 \cdot 3 = V_J - 50 \quad\Longrightarrow\quad V_J = 60\ \mathrm V

4. Correnti e potenze

  • In R1R_1 (lato in comune) passano le due correnti di anello in versi opposti: verso il basso IR1=IA1−IA2=1 AI_{R1} = I_{A1} - I_{A2} = 1\ \mathrm A.
  • In R2R_2 passa solo l'anello 2, verso il basso: IR2=IA2=3 AI_{R2} = I_{A2} = 3\ \mathrm A.

PR1=R1IR12=10 W,PR2=R2IR22=90 W\boxed{P_{R1} = R_1 I_{R1}^2 = 10\ \mathrm W, \qquad P_{R2} = R_2 I_{R2}^2 = 90\ \mathrm W}

Verifica. JJ eroga VJJ=240 WV_J J = 240\ \mathrm W. Nel ramo 1 la corrente scende (1 A1\ \mathrm A) ed entra nel ++ di E1E_1: E1E_1 assorbe 50 W50\ \mathrm W. Nel ramo 2 scendono 3 A3\ \mathrm A ed entrano nel ++ di E2E_2: assorbe 90 W90\ \mathrm W. Bilancio: 240=10+90+50+90240 = 10 + 90 + 50 + 90 ✓.

Due GIT che assorbonoUn GIT assorbe potenza quando la corrente entra dal suo morsetto +: è come una batteria sotto carica.: qui è il GIC che "ricarica" entrambi i GIT.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 1.34). Rete a regime stazionario con J=4 AJ = 4\ \mathrm A, E1=50 VE_1 = 50\ \mathrm V, E2=30 VE_2 = 30\ \mathrm V, R1=R2=10 ΩR_1 = R_2 = 10\ \Omega. Calcolare le potenze PR1P_{R1} e PR2P_{R2} entranti nei due resistori.

Figura (descritta). Filo in alto e filo in basso, collegati da tre rami verticali. Da sinistra: il GIC JJ con la freccia in su; un ramo con R1R_1 (in alto) ed E1E_1 (in basso, ++ in alto); un ramo con R2R_2 (in alto) ed E2E_2 (in basso, ++ in alto).

Risultati: PR1=10 WP_{R1} = 10\ \mathrm W, PR2=90 WP_{R2} = 90\ \mathrm W.

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →.

  1. GIC sul bordo esterno. Due anelli orari (IA1,IA2I_{A1}, I_{A2}). JJ sta solo nell'anello 1 concordemente alla salita: IA1=J=4 AI_{A1} = J = 4\ \mathrm A
  2. Equazioni. Anello 2: (R1+R2) IA2−R1IA1=E1−E2⟹20 IA2−40=20⟹IA2=3 A(R_1 + R_2)\, I_{A2} - R_1 I_{A1} = E_1 - E_2 \quad\Longrightarrow\quad 20\, I_{A2} - 40 = 20 \quad\Longrightarrow\quad I_{A2} = 3\ \mathrm A Anello 1 (per VJV_J): R1IA1−R1IA2=VJ−E1⟹40−30=VJ−50⟹VJ=60 VR_1 I_{A1} - R_1 I_{A2} = V_J - E_1 \quad\Longrightarrow\quad 40 - 30 = V_J - 50 \quad\Longrightarrow\quad V_J = 60\ \mathrm V
  3. Correnti e potenze:
    • IR1=IA1−IA2=1 AI_{R1} = I_{A1} - I_{A2} = 1\ \mathrm A
    • IR2=IA2=3 AI_{R2} = I_{A2} = 3\ \mathrm A PR1=R1IR12=10 W,PR2=R2IR22=90 W\boxed{P_{R1} = R_1 I_{R1}^2 = 10\ \mathrm W, \qquad P_{R2} = R_2 I_{R2}^2 = 90\ \mathrm W}

Errori tipici: sbagliare il verso delle correnti di anello o il segno della tensione VJV_J associata al GIC.

Teoria collegata