Formulario · Teoria dei Circuiti

I. Richiami di elettromagnetismo

Carica e corrente elettrica

Definizione (intensità di corrente $i$ : $\Delta q$ è la carica netta che attraversa $S$ nel tempo $\Delta t$ ). $i(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{dq}{dt}$

Esempio. Se attraverso una sezione di un filo passano $\Delta q = 6\ \mathrm C$ netti in $\Delta t = 2\ \mathrm s$ , la corrente è $i = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm A$ .

Formula (densità di corrente: $\rho_c^\pm$ sono le densità delle cariche positive e negative, $\mathbf v_{\rho^\pm}$ le loro velocità). $\mathbf J(P,t) = \rho_c^+ \, \mathbf v_{\rho^+} + \rho_c^- \, \mathbf v_{\rho^-} \qquad [\mathrm{A/m^2}]$

Esempio. Nel rame gli ioni sono fermi e gli elettroni hanno $\rho_c^- \approx -1{,}36 \cdot 10^{10}\ \mathrm{C/m^3}$ ; se si muovono a $10^{-4}\ \mathrm{m/s}$ si ha $|\mathbf J| = 1{,}36 \cdot 10^{10} \cdot 10^{-4} = 1{,}36 \cdot 10^{6}\ \mathrm{A/m^2}$ .

Formula (corrente come flusso di $\mathbf J$ ). Per una superficie $S$ ferma rispetto all'osservatore:

$i(t) = \int_S \mathbf J \cdot \mathbf n \, dS$

Esempio. Se $\mathbf J$ è uniforme, perpendicolare a una superficie di area $S = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$ e vale $2 \cdot 10^{6}\ \mathrm{A/m^2}$ , allora $i = J\,S = 2 \cdot 10^{6} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-6} = 3\ \mathrm A$ .

Legge di continuità. $\boxed{\,i_{usc}(t) = -\frac{d q_{int}(t)}{dt}\,}$

La corrente totale uscente da una superficie chiusa è l'opposto della derivata della carica contenuta al suo interno.

Esempio (lezione 2). All'istante $t_1$ dentro $S_c$ ci sono $q_{int}(t_1) = 10\ \mathrm C$ , all'istante $t_2$ ce ne sono $8\ \mathrm C$ . Allora $\Delta q_{int} = 8 - 10 = -2\ \mathrm C$ : nel frattempo $2\ \mathrm C$ sono usciti attraverso $S_c$ . Se questo è avvenuto in $\Delta t = 4\ \mathrm s$ a ritmo costante, la corrente uscente è stata $i_{usc} = \frac{2}{4} = 0{,}5\ \mathrm A$ , e infatti $-\frac{\Delta q_{int}}{\Delta t} = -\frac{-2}{4} = 0{,}5\ \mathrm A$ .

Proprietà (regime stazionario). In regime stazionario tutte le grandezze sono costanti nel tempo, quindi anche $q_{int}$ è costante e $\frac{dq_{int}}{dt} = 0$ . La legge di continuità diventa

$i_{usc} = \oint_{S_c} \mathbf J \cdot \mathbf n \, dS = 0$

Esempio. In un nodo di un circuito stazionario entrano $5\ \mathrm A$ e $3\ \mathrm A$ da due fili: dal terzo filo devono uscire $8\ \mathrm A$ , perché la corrente totale uscente dalla superficie chiusa che racchiude il nodo è $-5 - 3 + 8 = 0$ .

Tensione elettrica e potenziale

Legge di Coulomb (forza su una carica di prova). Una carica $q$ ferma nel punto $Q$ esercita su una piccola carica di prova $\Delta q$ posta nel punto $P$ la forza

$\Delta \mathbf F_c(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \, \frac{q \, \Delta q}{r_{QP}^2} \, \mathbf u_{QP}$

$r_{QP}$ è la distanza tra $Q$ e $P$ , $\mathbf u_{QP}$ il versore che va da $Q$ verso $P$ : se $q$ e $\Delta q$ hanno lo stesso segno la forza spinge $\Delta q$ lontano da $Q$ (repulsione), altrimenti verso $Q$ .

$\varepsilon$ è la permittività (o costante dielettrica) del mezzo, che si suppone uniforme: omogeneo (proprietà uguali in ogni punto), lineare (non dipendono dall'intensità del campo), isotropo (non dipendono dalla direzione). Nel vuoto $\varepsilon = \varepsilon_0 \approx 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$ , quindi $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ .

Esempio. Due cariche $q = 1\ \mathrm{nC}$ e $\Delta q = 1\ \mathrm{nC}$ nel vuoto a $r = 10\ \mathrm{cm}$ si respingono con $F = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{10^{-9} \cdot 10^{-9}}{0{,}1^2} = 9 \cdot 10^{-7}\ \mathrm N$ .

Definizione (campo coulombiano). $\mathbf E_c(P) = \lim_{\Delta q \to 0} \frac{\Delta \mathbf F_c(P)}{\Delta q} = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \, \frac{q}{r_{QP}^2} \, \mathbf u_{QP}$

È il campo elettrostatico (o campo coulombiano): una forza per unità di carica. Il limite $\Delta q \to 0$ serve a far sì che la carica di prova non sposti le cariche che generano il campo.

Esempio. Una carica $q = 1\ \mathrm{nC} = 10^{-9}\ \mathrm C$ nel vuoto, a distanza $r = 10\ \mathrm{cm}$ : $E_c = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-9}}{0{,}1^2} \approx 900\ \mathrm{V/m}$ .

Proprietà (il campo coulombiano è conservativo). La proprietà fondamentale di $\mathbf E_c$ è che è conservativo: la sua circuitazione lungo qualsiasi linea chiusa $\ell$ è nulla,

$\oint_\ell \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell = 0$

( $\mathbf t$ è il versore tangente alla linea, nel verso di percorrenza). Vale qualunque sia la distribuzione delle cariche e qualunque sia il mezzo, anche non uniforme.

Esempio. Su un giro chiuso $1 \to 2 \to 3 \to 1$ fuori da un componente, con $V_{12} = 5\ \mathrm V$ e $V_{23} = -2\ \mathrm V$ , deve essere $V_{31} = -(5 - 2) = -3\ \mathrm V$ .

Definizione (potenziale elettrico). Poiché l'integrale non dipende dal percorso, si può definire una funzione scalare del punto, il potenziale elettrico $U$ , tale che

$\int_A^B \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell = U(A) - U(B)$

$U$ si misura in volt.

È definito a meno di una costante: aggiungendo la stessa costante a $U$ in tutti i punti, le differenze non cambiano. Per questo nei circuiti si sceglie liberamente un punto a potenziale zero (la "massa" o nodo di riferimento).

Esempio. Se $U(A) = 10\ \mathrm V$ e $U(B) = 4\ \mathrm V$ , l'integrale di $\mathbf E_c$ da $A$ a $B$ vale $10 - 4 = 6\ \mathrm V$ per qualunque percorso.

Definizione (tensione elettrica). La tensione elettrica è l'integrale del campo elettrico (quello totale, $\mathbf E$ , non solo $\mathbf E_c$ ) lungo una linea orientata $\ell$ , aperta o chiusa:

$v(t) = \int_\ell \mathbf E(P,t) \cdot \mathbf t \, d\ell \qquad [\mathrm V]$

Esempio. Con un campo uniforme $E = 100\ \mathrm{V/m}$ parallelo a una linea rettilinea lunga $\ell = 5\ \mathrm{cm}$ , percorsa nel verso del campo, $v = E\,\ell = 100 \cdot 0{,}05 = 5\ \mathrm V$ .

Formula (tensione come lavoro elettrico per unità di carica). $v = \int_\ell \frac{d\mathbf F_e}{dq} \cdot \mathbf t \, d\ell = \frac{d}{dq} \int_\ell \mathbf F_e \cdot \mathbf t \, d\ell = \frac{d\mathcal L_e}{dq}$

La tensione è il lavoro elettrico per unità di carica fatto dalle forze elettriche lungo la linea. Da qui $1\ \mathrm V = 1\ \mathrm{J/C}$ .

Esempio. Tra due punti c'è una tensione di $12\ \mathrm V$ . Una carica di $2\ \mathrm C$ che va dal $+$ al $-$ riceve dalle forze elettriche un lavoro $\mathcal L_e = v \cdot q = 12 \cdot 2 = 24\ \mathrm J$ .

Proprietà (tensione e differenza di potenziale). Se il campo indotto è nullo, $\mathbf E = \mathbf E_c$ (per esempio in regime stazionario), allora

$V_{AB} = \int_A^B \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell = U(A) - U(B)$

e la tensione è una differenza di potenziale: dipende solo dagli estremi. In questo caso, se il percorso è chiuso ( $A = B$ ), la tensione è nulla.

Esempio. In regime stazionario, con $U(A) = 8\ \mathrm V$ e $U(B) = 3\ \mathrm V$ , la tensione è $V_{AB} = 8 - 3 = 5\ \mathrm V$ e $V_{BA} = -5\ \mathrm V$ ; su un percorso chiuso la tensione è $0$ .

II. Componenti, porte e potenza

Componenti elettrici e modello a parametri concentrati

Proprietà (regime stazionario). Tutte le grandezze sono costanti nel tempo. Allora valgono due fatti esatti:

il campo di corrente è solenoidale: la corrente totale uscente da qualunque superficie chiusa è nulla (nessun accumulo di carica, vedi la legge di continuità);

il campo elettrico è conservativo: la tensione non dipende dalla linea ma solo dagli estremi, quindi è una differenza di potenziale.

Esempio. Una pila alimenta una lampadina con corrente costante $0{,}5\ \mathrm A$ : dal morsetto $+$ entrano $0{,}5\ \mathrm A$ nella lampadina e ne escono $0{,}5\ \mathrm A$ dall'altro, e con potenziali $u_A = 6\ \mathrm V$ e $u_B = 0$ la tensione è $v_{AB} = 6\ \mathrm V$ .

Proprietà (regime quasi stazionario). Le grandezze variano nel tempo, $i(t)$ e $v(t)$ , ma le variazioni sono "sufficientemente lente". Restando fuori dai componenti si ammette ancora, con ottima approssimazione, che:

la corrente totale uscente dalla superficie limite di ogni componente è nulla;

tutte le tensioni tra coppie di morsetti sono differenze di potenziale.

Esempio. A $f = 50\ \mathrm{Hz}$ la lunghezza d'onda è $\lambda = c/f = 3 \cdot 10^{8}/50 = 6000\ \mathrm{km}$ : un impianto di pochi metri è molto più piccolo di $\lambda$ e il modello vale. A $2{,}4\ \mathrm{GHz}$ è $\lambda = 12{,}5\ \mathrm{cm}$ e un circuito di qualche cm no.

Principio (modello a parametri concentrati). Nel regime stazionario e quasi stazionario, per ogni componente con terminali $1, \dots, n$ :

$\sum_{k} i_{usc,k} = 0 \qquad\qquad v_{hk} = u_h - u_k \quad \forall h,k$

dove $i_{usc,k}$ è la corrente del terminale $k$ presa con riferimento uscente e $u_h$ è il potenziale del morsetto $h$ .

Esempio. Un tripolo con correnti uscenti $i_1 = 2\ \mathrm A$ e $i_2 = 3\ \mathrm A$ ha dal terzo terminale $i_3 = -5\ \mathrm A$ uscenti (cioè ne entrano $5\ \mathrm A$ ); con $u_1 = 10\ \mathrm V$ e $u_2 = 4\ \mathrm V$ la tensione è $v_{12} = 10 - 4 = 6\ \mathrm V$ .

Bipoli, n-poli e porte elettriche

Proprietà (le correnti uscenti di un n-polo sommano a zero). 1. Le correnti. Prese tutte con riferimento uscente:

$\sum_{k=1}^{n} i_{usc,k} = 0$

Esempio. Un tripolo con correnti uscenti $i_1 = 2\ \mathrm A$ e $i_2 = 3\ \mathrm A$ ha $i_3 = -(2 + 3) = -5\ \mathrm A$ : dal terzo terminale ne entrano $5\ \mathrm A$ .

Proprietà (le tensioni di un n-polo sono differenze di potenziale). 2. Le tensioni. Ogni tensione tra due morsetti è una differenza di potenziale, $v_{hk} = u_h - u_k$ . Quindi, girando una volta per tutti i morsetti e tornando al primo:

$v_{12} + v_{23} + \dots + v_{(n-1)n} + v_{n1} = (u_1 - u_2) + (u_2 - u_3) + \dots + (u_n - u_1) = 0$

(ogni potenziale compare una volta con il $+$ e una con il $-$ ). Lo stesso vale per un giro su un sottoinsieme qualsiasi di morsetti: per esempio $v_{13} + v_{34} + v_{41} = 0$ .

Esempio. Con $u_1 = 10\ \mathrm V$ , $u_2 = 6\ \mathrm V$ , $u_3 = 1\ \mathrm V$ si ha $v_{12} + v_{23} + v_{31} = 4 + 5 - 9 = 0\ \mathrm V$ .

Proprietà (grandezze indipendenti di un n-polo). Un n-polo ha $n$ correnti e $\binom{n}{2}$ tensioni (una per coppia di morsetti), ma non sono tutte indipendenti. Ne bastano $n-1$ correnti e $n-1$ tensioni, scelte così:

Esempio (tripolo). Con il morsetto 3 comune: $v_{13} = 30\ \mathrm V$ , $v_{23} = 20\ \mathrm V$ . Allora $v_{12} = v_{13} - v_{23} = 10\ \mathrm V$ . Se entrano $i_1 = 5\ \mathrm A$ e $i_2 = 3\ \mathrm A$ , dal terminale 3 escono $i_3 = 8\ \mathrm A$ .

Definizione (porta elettrica). Una coppia di morsetti forma una porta elettrica (o porta) se in ogni istante la corrente che entra da uno è uguale alla corrente che esce dall'altro.

Esempio. Nei morsetti $1$ e $2$ di un quadrupolo entrano $4\ \mathrm A$ in $1$ e ne escono $4\ \mathrm A$ da $2$ : la coppia è una porta, con corrente di porta $i = 4\ \mathrm A$ .

Definizione (m-bipolo). Un n-polo con $n$ pari i cui terminali, presi a coppie, formano $m = n/2$ porte si chiama m-bipolo:

Esempio. Un quadrupolo con morsetti 1, 2, 3, 4 in cui $I_1 + I_2 = 0$ e $I_3 + I_4 = 0$ è un doppio bipolo, con porte (1,2) e (3,4) e tensioni di porta $V_{12}$ e $V_{34}$ .

Proprietà (ogni n-polo è un (n−1)-bipolo). Con la scelta del morsetto comune vista sopra, $i_1 + \dots + i_{n-1} = i_n$ : la corrente del terminale comune è la somma delle correnti che entrano dagli altri. Si può allora pensare il morsetto comune come il "ritorno" condiviso di $n-1$ porte: la porta $k$ è formata dal morsetto $k$ e dal morsetto comune, con tensione $v_{kn}$ e corrente $i_k$ . Un n-polo si può sempre vedere come un $(n-1)$ -bipolo.

Esempio: il transistor npn (tripolo con base $b$ , collettore $c$ , emettitore $e$ ) si usa come doppio bipolo in due modi:

Convenzioni, potenza e lavoro elettrico

Definizione (convenzione dell'utilizzatore e del generatore).

Convenzione Definizione Con le frecce

dell'utilizzatore la corrente entra nel morsetto $+$ frecce di $v$ e $i$ contrapposte

del generatore la corrente esce dal morsetto $+$ frecce di $v$ e $i$ equiverse

Convenzione	Definizione	Con le frecce
dell'utilizzatore	la corrente entra nel morsetto $+$	frecce di $v$ e $i$ contrapposte
del generatore	la corrente esce dal morsetto $+$	frecce di $v$ e $i$ equiverse

Esempio. Con $v = 12\ \mathrm V$ e la corrente $i = 2\ \mathrm A$ che entra dal $+$ (utilizzatore) si ha $p = 24\ \mathrm W$ assorbiti; invertendo la freccia di $i$ (generatore) la corrente letta è $-2\ \mathrm A$ e $p = -24\ \mathrm W$ uscenti, cioè sempre $24\ \mathrm W$ assorbiti.

Formula (potenza elettrica di una porta). Il prodotto della tensione di porta per la corrente di porta è la potenza elettrica della porta:

$p_k = v_k \, i_k = \frac{d\mathcal L}{dq} \cdot \frac{dq}{dt} = \frac{d\mathcal L}{dt} \qquad [\mathrm{V \cdot A} = \mathrm W]$

Esempio. Con $v = 12\ \mathrm V$ e $i = 0{,}5\ \mathrm A$ la potenza è $p = 12 \cdot 0{,}5 = 6\ \mathrm W$ .

Proprietà (segno della potenza e convenzioni).

Convenzione Nome di $p = v\,i$ Se $p > 0$ Se $p < 0$

utilizzatore potenza entrante il componente assorbe $p$ il componente eroga $\lvert p \rvert$

generatore potenza uscente il componente eroga $p$ il componente assorbe $\lvert p \rvert$

Convenzione	Nome di $p = v\,i$	Se $p > 0$	Se $p < 0$
utilizzatore	potenza entrante	il componente assorbe $p$	il componente eroga $\lvert p \rvert$
generatore	potenza uscente	il componente eroga $p$	il componente assorbe $\lvert p \rvert$

Esempio 1 (utilizzatore). Su un bipolo all'istante $t_1$ : $v(t_1) = 100\ \mathrm V$ , $i(t_1) = 2\ \mathrm A$ . $p(t_1) = 100 \cdot 2 = +200\ \mathrm W$ , potenza entrante positiva: il bipolo assorbe $200\ \mathrm W$ .

Formula (potenza di un m-bipolo). Se le $m$ porte di un m-bipolo sono tutte convenzionate allo stesso modo, la potenza totale è la somma:

$p = \sum_{k=1}^{m} p_k = \sum_{k=1}^{m} v_k \, i_k$

Esempio 3 (doppio bipolo, regime stazionario). Porta 1: $V_1 = 100\ \mathrm V$ , $I_1 = 5\ \mathrm A$ , convenzione dell'utilizzatore. Porta 2: $V_2 = 50\ \mathrm V$ , $I_2 = 2\ \mathrm A$ , convenzione del generatore.

Definizione (lavoro elettrico). Il lavoro elettrico scambiato alla porta $h$ nell'intervallo $\Delta t$ è l'integrale della potenza:

$\mathcal L_h = \int_{\Delta t} p_h(t) \, dt = \int_{\Delta t} v_h(t) \, i_h(t) \, dt \qquad [\mathrm J]$

È entrante o uscente come la potenza da cui viene (dipende dalla convenzione).

Spesso, in modo improprio, si chiama "energia elettrica".

Per un m-bipolo con tutte le porte convenzionate allo stesso modo: $\mathcal L = \sum_h \mathcal L_h = \int_{\Delta t} p(t)\,dt$ .

Unità pratica: il wattora, $1\ \mathrm{Wh} = 1\ \mathrm W \cdot 3600\ \mathrm s = 3600\ \mathrm J$ , e il kilowattora: $1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6\ \mathrm{MJ}$ .

Esempio con potenza costante. Un forno assorbe $P = 2\ \mathrm{kW}$ per $1{,}5\ \mathrm h$ : $\mathcal L = 2 \cdot 1{,}5 = 3\ \mathrm{kWh} = 3 \cdot 3{,}6 = 10{,}8\ \mathrm{MJ}$ .

Grafico interattivo: p(t) = 20 − 10t: sopra l'asse il bipolo assorbe, sotto eroga; le due aree si compensano

Definizione (componente passivo). Passivi. Possono al più immagazzinare il lavoro assorbito sotto forma di energia elettrica o magnetica $w$ , che è necessariamente limitata. In qualunque intervallo non possono erogare più lavoro di quanta energia immagazzinata perdono nello stesso tempo: $\mathcal L_u(t_0, t) \le w(t_0) - w(t) \qquad \forall t_0,\ \forall t > t_0$

In regime stazionario l'energia immagazzinata è costante, $w(t) = w(t_0)$ , quindi $\mathcal L_u \le 0$ e la potenza uscente è $P_u \le 0$ : un componente passivo in regime stazionario può solo assorbire potenza (o non scambiarne). Esempio: il resistore, che trasforma in calore tutta la potenza che assorbe (Resistore e legge di Ohm).

Esempio. Un condensatore con energia immagazzinata $w(t_0) = 5\ \mathrm J$ che scende a $w(t) = 2\ \mathrm J$ può erogare al massimo $\mathcal L_u \le 5 - 2 = 3\ \mathrm J$ .

III. Resistori e generatori

Resistore e legge di Ohm

Legge di Ohm. L'esperienza di Ohm. Un cilindro di materiale omogeneo, con sezione $S$ , è collegato a un generatore. Un amperometro misura la corrente $I$ nel cilindro e un voltmetro la tensione $V$ tra due sezioni $S_A$ e $S_B$ a distanza $\ell$ (con la convenzione dell'utilizzatore). Per molti materiali si trova che, qualunque sia $V$ :

$V = R\,I \qquad\text{oppure}\qquad I = G\,V, \quad G = \frac1R, \qquad R > 0$

Esempio. Un resistore con $V = 12\ \mathrm V$ ai capi e $I = 0{,}5\ \mathrm A$ ha $R = V/I = 24\ \Omega$ , cioè $G = 1/24 \approx 0{,}042\ \mathrm S$ .

Formula (resistenza di un cilindro). $R = \rho\,\frac{\ell}{S} \qquad\qquad G = \gamma\,\frac{S}{\ell}$

$\rho$ = resistività del materiale, in $\Omega\,\mathrm m$ ;

$\gamma = 1/\rho$ = conducibilità (o conduttività), in $\mathrm{S/m}$ .

Esempio. Filo di rame ( $\rho \approx 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m$ ), lungo $\ell = 10\ \mathrm m$ , sezione $S = 1{,}5\ \mathrm{mm^2} = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$ :

Formula (dipendenza della resistività dalla temperatura). Dipendenza dalla temperatura. Di solito

$\rho = \rho_0\,\big(1 + \alpha\,(T - T_0)\big)$

dove $\rho_0$ è la resistività misurata alla temperatura di riferimento $T_0$ e $\alpha$ è il coefficiente di temperatura del materiale. Nei metalli $\alpha > 0$ (scaldandosi conducono peggio), nei semiconduttori $\alpha < 0$ .

Esempio. Rame, $\alpha \approx 0{,}0039\ \mathrm K^{-1}$ , da $20\ ^\circ\mathrm C$ a $70\ ^\circ\mathrm C$ : $\rho = \rho_0\,(1 + 0{,}0039 \cdot 50) \approx 1{,}2\,\rho_0$ , cioè $+20\%$ . Il filamento di tungsteno di una lampadina ( $\alpha \approx 0{,}0045\ \mathrm K^{-1}$ ) passa da $20$ a circa $2500\ ^\circ\mathrm C$ : la sua resistività (quindi la sua resistenza) diventa circa $12$ volte quella a freddo.

Legge di Joule (potenza dissipata da un resistore). Con la convenzione dell'utilizzatore e la legge di Ohm, la potenza entrante nel conduttore è

$P = V\,I = R\,I^2 = \frac{V^2}{R} = G\,V^2$

Esempio. Una lampadina da $R = 5\ \Omega$ percorsa da $I = 0{,}3\ \mathrm A$ assorbe $P = 5 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}45\ \mathrm W$ .

Legge di Ohm in forma locale. La relazione $V = RI$ per un cilindro discende da una relazione che vale punto per punto nel materiale (la legge di Ohm alle grandezze specifiche):

$\mathbf E = \rho\,\mathbf J \qquad (\text{equivalentemente } \mathbf J = \gamma\,\mathbf E)$

Esempio. Nel rame ( $\rho = 1{,}7 \cdot 10^{-8}\ \Omega\,\mathrm m$ ) con $J = 10^{6}\ \mathrm{A/m^2}$ il campo è $E = \rho J = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{6} = 1{,}7 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{V/m}$ .

Definizione (resistore ideale). È il bipolo con equazione (convenzione dell'utilizzatore)

$v = R\,i \qquad\Longleftrightarrow\qquad i = G\,v, \quad G = \frac1R$

Esempio. Con $R = 5\ \Omega$ e $i = 2\ \mathrm A$ si ha $v = R\,i = 10\ \mathrm V$ ; con $v = 7{,}5\ \mathrm V$ si ha $i = G\,v = 0{,}2 \cdot 7{,}5 = 1{,}5\ \mathrm A$ .

Grafico interattivo: Caratteristica i = G·v di un resistore con R = 5 Ω (G = 0,2 S): retta per l'origine (v in ascissa, i in ordinata)

Definizione (cortocircuito e circuito aperto).

Bipolo Parametri Equazione Potenza Caratteristica

cortocircuito $R = 0$ ( $G = \infty$ ) $v = 0$ per ogni $i$ $p = 0$ l'asse delle correnti

circuito aperto $R = \infty$ ( $G = 0$ ) $i = 0$ per ogni $v$ $p = 0$ l'asse delle tensioni

Bipolo	Parametri	Equazione	Potenza	Caratteristica
cortocircuito	$R = 0$ ( $G = \infty$ )	$v = 0$ per ogni $i$	$p = 0$	l'asse delle correnti
circuito aperto	$R = \infty$ ( $G = 0$ )	$i = 0$ per ogni $v$	$p = 0$	l'asse delle tensioni

Esempio. Un filo ideale ( $R = 0$ ) percorso da $3\ \mathrm A$ ha $v = 0$ ; un interruttore aperto ( $R = \infty$ ) con $12\ \mathrm V$ ai capi ha $i = 0$ ; in entrambi i casi $p = 0$ .

Generatori elettrici, GIT e GAT

Definizione (forza elettromotrice). La forza elettromotrice (f.e.m.) è l'integrale del campo generatore lungo una linea interna al generatore, dal morsetto $B$ (quello $-$ ) al morsetto $A$ (quello $+$ ):

$e(t) = \int_{B,\ell}^{A} \mathbf E_g \cdot d\boldsymbol\ell$

Esempio. Se $E_g$ è uniforme e vale $150\ \mathrm{V/m}$ lungo un percorso interno di $1\ \mathrm{cm}$ dal $-$ al $+$ , la f.e.m. è $e = E_g\,\ell = 150 \cdot 0{,}01 = 1{,}5\ \mathrm V$ .

Proprietà (la f.e.m. è uguale alla tensione a vuoto). $\boxed{\,e(t) = v_0(t)\,}$

La f.e.m. di un generatore è la tensione che un voltmetro (ideale) misura ai suoi morsetti quando il generatore è a vuoto.

Esempio. Un voltmetro ideale collegato ai morsetti di una pila senza carico indica $1{,}5\ \mathrm V$ : è la sua f.e.m., $e = v_0 = 1{,}5\ \mathrm V$ .

Formula (generatore reale a carico). Per molti generatori (per esempio quelli elettrochimici) in regime stazionario la differenza tra vuoto e carico è proporzionale alla corrente $I$ che attraversa il generatore (convenzione del generatore: $I$ esce dal $+$ ):

$E - V = R_i\,I \qquad\Longleftrightarrow\qquad V = E - R_i\,I$

$R_i$ si chiama resistenza interna del generatore.

Esempio. Una pila con $E = 1{,}5\ \mathrm V$ e $R_i = 0{,}15\ \Omega$ che eroga $I = 0{,}2\ \mathrm A$ ha ai morsetti $V = 1{,}5 - 0{,}15 \cdot 0{,}2 = 1{,}47\ \mathrm V$ .

Formula (bilancio di potenza di un generatore reale). Moltiplicando per $I$ :

$V I = E I - R_i I^2$

Con la convenzione del generatore e $V, E, I$ concordi (per esempio tutti positivi):

$P_g = E\,I$ è la potenza generata, cioè trasferita alle cariche dalla forza generatrice;

$P_d = R_i\,I^2$ è la quota dissipata dentro il generatore (effetto Joule interno);

$P = V\,I = P_g - P_d$ è la potenza erogata al circuito esterno.

Esempio. Con $E = 1{,}5\ \mathrm V$ , $R_i = 0{,}15\ \Omega$ , $I = 0{,}2\ \mathrm A$ : $P_g = 0{,}3\ \mathrm W$ generati, $P_d = 0{,}15 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}006\ \mathrm W$ dissipati e $P = 1{,}47 \cdot 0{,}2 = 0{,}294\ \mathrm W$ erogati.

Definizione (generatore ideale di tensione, GIT). È il bipolo con equazione

$v(t) = e(t) \qquad \forall\, i(t)$

La tensione è impressa: non dipende dalla corrente, che è decisa dal resto del circuito.

La f.e.m. può essere costante ( $V = E$ ) o variabile nel tempo (per esempio sinusoidale).

Caratteristica nel piano $v$ – $i$ : una retta parallela all'asse delle correnti, all'altezza $v = e$ . Non passa per l'origine, tranne nel caso limite $e = 0$ (in cui il GIT diventa un cortocircuito).

È attivo: può erogare (e assorbire) lavoro senza limiti.

È il modello di un generatore reale quando la potenza dissipata internamente è trascurabile ( $R_i = 0$ ).

Esempio. Un GIT con $e = 12\ \mathrm V$ collegato a un resistore da $4\ \Omega$ eroga $i = 3\ \mathrm A$ , collegato a uno da $12\ \Omega$ eroga $1\ \mathrm A$ : la tensione resta $12\ \mathrm V$ .

Formula (potenza del GIT). Potenza. Con la convenzione del generatore la potenza uscente è

$p_u = v\,i = e\,i$

ed è positiva (erogata) o negativa (assorbita) a seconda che $e$ e $i$ siano concordi o discordi. Il segno lo decide il circuito, non il generatore.

Esempio. Con $e = 12\ \mathrm V$ e $i = 3\ \mathrm A$ concordi, $p_u = 36\ \mathrm W$ erogati; con $i = -2\ \mathrm A$ è $p_u = -24\ \mathrm W$ , cioè il GIT assorbe $24\ \mathrm W$ .

Definizione (generatore affine di tensione, GAT). Un generatore reale fa due cose: genera e dissipa. Per rappresentarle entrambe si usa il bipolo (convenzione del generatore)

$V = E - R_i\,I$

detto generatore affine di tensione ("affine" perché la caratteristica è una retta che non passa per l'origine). Equivale a un GIT di f.e.m. $E$ in serie a un resistore $R_i$ .

Caratteristica: retta che taglia l'asse $V$ in $E$ (a vuoto, $I = 0$ ) e scende con pendenza $R_i$ . Taglia l'asse $I$ in $I_{cc} = E / R_i$ , la corrente di cortocircuito (quella che scorre con i morsetti collegati da un filo, $V = 0$ ).

Se $R_i = 0$ il GAT si riduce a un GIT.

Esempio. Una pila con $E = 1{,}5\ \mathrm V$ e $R_i = 0{,}15\ \Omega$ ha corrente di cortocircuito $I_{cc} = E/R_i = 1{,}5/0{,}15 = 10\ \mathrm A$ .

Definizione (punto di lavoro). Il punto di lavoro è la coppia $(I, V)$ che soddisfa contemporaneamente l'equazione del generatore e quella del carico: graficamente è l'intersezione delle due caratteristiche nel piano $I$ – $V$ .

Esempio. Pila ( $E = 1{,}5\ \mathrm V$ , $R_i = 0{,}15\ \Omega$ ) su una lampadina da $R = 5\ \Omega$ : $I = E/(R_i + R) = 1{,}5/5{,}15 \approx 0{,}291\ \mathrm A$ e $V = R\,I \approx 1{,}456\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Caratteristica del GAT V = 1,5 − 0,15·I (I in ascissa): il punto di lavoro con la lampadina è a I ≈ 0,291 A, dove V ≈ 1,456 V

IV. Leggi di Kirchhoff e reti di bipoli

Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT)

Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC). In ogni istante è nulla la somma algebrica delle correnti dei terminali tagliati da $S_c$ : $\sum_k \pm\, i_k(t) = 0$

Esempio. Se dalla superficie escono $i_1 = 2\ \mathrm A$ , $i_2 = 1\ \mathrm A$ e $i_4 = 3\ \mathrm A$ ed entra $i_3$ , da $i_1 + i_2 - i_3 + i_4 = 0$ si ricava $i_3 = 6\ \mathrm A$ .

Formula (LKC a un nodo). Forma pratica: LKC a un nodo. Il caso più usato è la superficie che racchiude un solo nodo:

$\sum (\text{correnti uscenti dal nodo}) = \sum (\text{correnti entranti nel nodo})$

Esempio. In un nodo entrano $3\ \mathrm A$ e $2\ \mathrm A$ ed escono $i_x$ e $4\ \mathrm A$ . Allora $3 + 2 = i_x + 4$ , quindi $i_x = 1\ \mathrm A$ .

Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT). In ogni istante è nulla la somma algebrica delle tensioni tra nodi successivi, percorrendo la linea chiusa in un verso scelto a piacere: $\sum_k \pm\, v_k(t) = 0$

Esempio. Con $v_1 = 10\ \mathrm V$ , $v_2 = 4\ \mathrm V$ e $v_3 = 3\ \mathrm V$ , da $v_1 - v_2 - v_3 - v_4 = 0$ si ricava $v_4 = 10 - 4 - 3 = 3\ \mathrm V$ .

Formula (potenziali di nodo). La LKT equivale a dire che si può assegnare a ogni nodo $k$ un potenziale $u_k$ (definito a meno di una costante) tale che la tensione tra due nodi sia

$v_{hk} = u_h - u_k$

Esempio. Con $u_1 = 5\ \mathrm V$ e $u_2 = 2\ \mathrm V$ la tensione tra i nodi è $v_{12} = 5 - 2 = 3\ \mathrm V$ e $v_{21} = -3\ \mathrm V$ .

Proprietà (equazioni di Kirchhoff indipendenti). In una rete con $n$ nodi e $\ell$ lati (bipoli) non tutte le LKC e LKT che si possono scrivere sono indipendenti:

le LKC indipendenti sono $n - 1$ : per esempio quelle scritte su $n - 1$ nodi qualsiasi (la LKC sull'ultimo nodo è la somma delle altre cambiata di segno);

le LKT indipendenti sono $\ell - n + 1$ : per una rete disegnata nel piano senza incroci basta scriverle sugli anelli, cioè le "finestre" del disegno.

Esempio. Una rete con $n = 5$ nodi e $\ell = 8$ lati ha $4$ LKC indipendenti e $8 - 5 + 1 = 4$ LKT indipendenti (vedi Esercizio 1.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni e Esercizio 1.7 - legge di Kirchhoff delle correnti).

Grafo di una rete ed equazioni indipendenti

Formula (numero di anelli di un grafo piano). Anello. In un grafo piano, una maglia che contorna una "finestra" del disegno, cioè una zona del piano che non contiene altri lati o nodi. Per un grafo piano connesso il numero di anelli è

$m = \ell - n + 1$

Nell'esempio $m = 5 - 4 + 1 = 2$ : gli anelli sono i due triangoli $\{a_1, a_2, a_5\}$ e $\{a_3, a_4, a_5\}$ . Il bordo del quadrato è una maglia ma non un anello (contiene la diagonale). Se si ridisegna il grafo in un altro modo gli anelli possono cambiare, ma il loro numero resta $\ell - n + 1$ .

Esempio. Un grafo piano connesso con $\ell = 9$ lati e $n = 6$ nodi ha $m = 9 - 6 + 1 = 4$ anelli.

Definizione (albero di un grafo). Albero. Un insieme di lati che tocca tutti i nodi, è connesso e non contiene maglie. Ha sempre

$\ell_a = n - 1 \text{ lati}$

Esempio. Con $n = 4$ nodi un albero ha $n - 1 = 3$ lati, per esempio $\{a_1, a_4, a_5\}$ .

Definizione (coalbero). Coalbero. I lati che non stanno nell'albero scelto. Ne ha

$\ell_c = \ell - \ell_a = \ell - n + 1$

Esempio. Con $\ell = 5$ lati e $n = 4$ nodi il coalbero ha $\ell - n + 1 = 2$ lati: per l'albero $\{a_1, a_4, a_5\}$ è $\{a_2, a_3\}$ .

Teorema (numero di LKT indipendenti). Si sceglie un albero. Ogni lato di coalbero collega due nodi $R$ e $S$ ; siccome l'albero è connesso e tocca tutti i nodi, esiste un percorso fatto solo di lati d'albero tra $R$ e $S$ . Il lato di coalbero più quel percorso formano una maglia (detta maglia fondamentale). Si scrive la LKT su ciascuna.

Sono indipendenti perché ciascuna contiene una tensione che nelle altre non compare: quella del "suo" lato di coalbero (le altre maglie fondamentali sono fatte con lati d'albero e con lati di coalbero diversi). Il loro numero è il numero di lati di coalbero:

$\boxed{\ \text{LKT indipendenti: } \ell - n + 1\ }$

Esempio. Con l'albero $\{a_1, a_4, a_5\}$ :

lato di coalbero $a_2$ (nodi 2 e 3): percorso d'albero $2 \to 1 \to 3$ ( $a_1$ , poi $a_5$ ), maglia $\{a_1, a_2, a_5\}$ ;
lato di coalbero $a_3$ (nodi 3 e 4): percorso d'albero $3 \to 1 \to 4$ ( $a_5$ , poi $a_4$ ), maglia $\{a_3, a_4, a_5\}$ .

Teorema (numero di LKC indipendenti). Con lo stesso albero, si prende un lato d'albero: togliendolo, l'albero si spezza in due parti. Si prende una superficie chiusa che racchiude una delle due parti e lascia fuori l'altra: taglia quel lato d'albero, nessun altro lato d'albero, e alcuni lati di coalbero. È un taglio fondamentale; si scrive la LKC su di esso.

Ciascuna di queste LKC contiene la corrente del "suo" lato d'albero, che nelle altre non compare: sono indipendenti, e sono tante quanti i lati d'albero:

$\boxed{\ \text{LKC indipendenti: } n - 1\ }$

Esempio. Con l'albero $\{a_1, a_4, a_5\}$ :

lato $a_1$ : togliendolo, il nodo 2 resta isolato; la superficie attorno al nodo 2 taglia $\{a_1, a_2\}$ ;
lato $a_4$ : resta isolato il nodo 4; taglio $\{a_3, a_4\}$ ;
lato $a_5$ : resta isolato il nodo 3; taglio $\{a_2, a_3, a_5\}$ .

Proprietà (il sistema di equazioni di una rete: 2ℓ equazioni in 2ℓ incognite).

Equazioni Da dove Quante Che tipo

LKC topologia $n - 1$ lineari, omogenee

LKT topologia $\ell - n + 1$ lineari, omogenee

equazioni dei bipoli tipologia $\ell$ possono essere non lineari

totale $2\ell$

Equazioni	Da dove	Quante	Che tipo
LKC	topologia	$n - 1$	lineari, omogenee
LKT	topologia	$\ell - n + 1$	lineari, omogenee
equazioni dei bipoli	tipologia	$\ell$	possono essere non lineari
totale		$2\ell$

Esempio. Con $\ell = 5$ bipoli e $n = 4$ nodi: $3$ LKC, $2$ LKT e $5$ equazioni dei bipoli, in tutto $10 = 2\ell$ equazioni per $10$ incognite.

Teorema di Tellegen

Teorema di Tellegen. Si prende una rete di $\ell$ bipoli e $n$ nodi e si adotta la stessa convenzione per tutti i bipoli (per fissare le idee, quella dell'utilizzatore). Siano $v_1, \dots, v_\ell$ le tensioni e $i_1, \dots, i_\ell$ le correnti dei bipoli.

Se

le tensioni soddisfano le LKT (per esempio sono i valori a un istante $t_1$ ),

le correnti soddisfano le LKC (per esempio sono i valori a un istante $t_2$ , anche diverso da $t_1$ ),

allora

$\boxed{\ \sum_{h=1}^{\ell} v_h\, i_h = 0\ }$

Esempio. Tre bipoli in serie con la stessa corrente $i = 2\ \mathrm A$ e tensioni (convenzione dell'utilizzatore) $v_1 = 10\ \mathrm V$ , $v_2 = 5\ \mathrm V$ , $v_3 = -15\ \mathrm V$ , che rispettano la LKT: $\sum v_h i_h = 2\,(10 + 5 - 15) = 0\ \mathrm W$ (assorbiti $20 + 10 = 30\ \mathrm W$ , erogati $30\ \mathrm W$ dal terzo).

Principio (conservazione della potenza). Prendendo tensioni e correnti della stessa rete allo stesso istante $t$ , ogni prodotto $v_h(t)\,i_h(t)$ è la potenza entrante nel bipolo $h$ (convenzione dell'utilizzatore). Il teorema dice:

$\sum_{h=1}^{\ell} p_h(t) = 0$

In ogni istante la somma delle potenze entranti in tutti i bipoli di una rete è zero: la potenza erogata da alcuni bipoli è esattamente quella assorbita dagli altri.

Esempio. Un generatore da $12\ \mathrm V$ che eroga $2\ \mathrm A$ ( $24\ \mathrm W$ ) alimenta due resistori che assorbono $18\ \mathrm W$ e $6\ \mathrm W$ : $24 = 18 + 6$ .

V. Bipoli adinamici, serie e parallelo

Bipoli adinamici, GIC e diodo ideale

Definizione (bipolo adinamico). Un bipolo si dice adinamico quando questo legame coinvolge solo i valori nello stesso istante di $v$ e $i$ :

$f\big(v(t),\, i(t)\big) = 0$

Esempio. Il resistore $v = 10\,i$ è adinamico: con $i = 0{,}3\ \mathrm A$ è subito $v = 3\ \mathrm V$ , qualunque sia il passato. Il condensatore $i = C\,dv/dt$ non lo è.

Definizione (generatore ideale di corrente, GIC). È il "gemello" del GIT con i ruoli di tensione e corrente scambiati:

$i(t) = j(t) \qquad \forall\, v(t)$

$j(t)$ è la corrente impressa, in ampere; può essere qualsiasi numero reale e può variare nel tempo.

Simbolo: un cerchio con dentro una freccia. La corrente con riferimento concorde con la freccia vale $j$ ; se si sceglie il riferimento opposto vale $-j$ .

La tensione ai suoi capi non è fissata dal generatore: la decide il resto della rete. Per questo nel simbolo non serve indicare un riferimento di tensione.

Caratteristica (con $j = J$ costante): una retta parallela all'asse delle tensioni, all'altezza $i = J$ .

Esempio. Un GIC con $j = 3\ \mathrm A$ su un resistore da $2\ \Omega$ dà $v = 6\ \mathrm V$ ; su uno da $5\ \Omega$ la corrente resta $3\ \mathrm A$ e la tensione diventa $15\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Caratteristica di un GIC con J = 3 A: la corrente vale 3 A qualunque sia la tensione (v in ascissa, i in ordinata)

Definizione (interruttore ideale). È un bipolo adinamico tempo-variante: a un istante $t_0$ commuta istantaneamente da aperto a chiuso (o viceversa).

aperto: corrente nulla per ogni tensione, si comporta come un circuito aperto;

chiuso: tensione nulla per ogni corrente, si comporta come un cortocircuito.

Esempio. Un interruttore in serie a un resistore da $10\ \Omega$ alimentato a $5\ \mathrm V$ : da chiuso $v_{sw} = 0$ e $i = 0{,}5\ \mathrm A$ ; da aperto $i = 0$ e $v_{sw} = 5\ \mathrm V$ .

Definizione (diodo ideale). La caratteristica è fatta di due semirette che partono dall'origine:

$\begin{cases} i = 0 & \text{per } v \le 0 \quad \text{(diodo "interdetto": circuito aperto)} \\ v = 0 & \text{per } i \ge 0 \quad \text{(diodo "in conduzione": cortocircuito)} \end{cases}$

Esempio. Con $v = -5\ \mathrm V$ il diodo è interdetto ( $i = 0$ ); con $i = 2\ \mathrm A$ è in conduzione e $v = 0$ . In entrambi i casi $p = v\,i = 0$ .

Grafico interattivo: Caratteristica del diodo ideale nel piano v–i (v in ascissa): per v ≤ 0 la corrente è nulla (interdetto), per i ≥ 0 la tensione è nulla (in conduzione); le due semirette si incontrano nell'origine

Formula (diodo a giunzione pn, equazione di Shockley). Il diodo ideale approssima il diodo a giunzione pn, la cui caratteristica (convenzione dell'utilizzatore, $+$ sull'anodo) è

$i = I_S\left(e^{\,v/(\eta V_T)} - 1\right)$

con $I_S > 0$ molto piccola (nanoampere o meno), $V_T \approx T/11600$ (circa $25\ \mathrm{mV}$ a temperatura ambiente, con $T$ in kelvin) ed $\eta$ tra 1 e 2. Per $v < 0$ la corrente è circa $-I_S$ , praticamente zero; per $v$ positiva cresce in modo esponenziale. Si studia in Elettronica.

Esempio. Con $I_S = 10^{-12}\ \mathrm A$ , $\eta V_T = 25\ \mathrm{mV}$ e $v = 0{,}6\ \mathrm V$ : $i = 10^{-12}\,(e^{0{,}6/0{,}025} - 1) = 10^{-12}\,(e^{24} - 1) \approx 26{,}5\ \mathrm{mA}$ .

Grafico interattivo: Diodo a giunzione pn con I_S = 1e-12 A, ηV_T = 25 mV: corrente in ampere in funzione della tensione in volt

Definizione (bipolo controllato in corrente e in tensione). Data l'equazione $f(v, i) = 0$ :

il bipolo è controllato in corrente se per ogni corrente ammissibile c'è una e una sola tensione. Allora si può scrivere $v = f_v(i)$ : la corrente "comanda" la tensione;

il bipolo è controllato in tensione se per ogni tensione ammissibile c'è una e una sola corrente. Allora si può scrivere $i = f_i(v)$ ;

se valgono entrambe, le due funzioni sono una l'inversa dell'altra: $f_v = f_i^{-1}$ .

Esempio. Il GIT $v = 5\ \mathrm V$ è controllato in corrente ( $v$ è funzione di $i$ ) ma non in tensione; il resistore da $2\ \Omega$ è controllato in entrambi: $v = 2\,i$ e $i = v/2$ .

Serie e parallelo di bipoli

Definizione. Due bipoli $b_1$ e $b_2$ sono in serie se hanno un morsetto in comune (un nodo N) e a quel nodo non è collegato nient'altro. Gli altri due morsetti vanno ai nodi A e B, da cui si collega il resto della rete.

Esempio. Due resistori da $10\ \Omega$ e $40\ \Omega$ con un solo filo nel nodo in mezzo sono in serie; se dal nodo in mezzo parte un terzo filo, non lo sono.

Formula (relazioni della serie). Le relazioni. Si prendono i riferimenti di corrente tutti nello stesso verso (entra da A, attraversa $b_1$ , poi $b_2$ , esce da B) e la stessa convenzione per $b_1$ , $b_2$ e per il bipolo equivalente (per esempio quella dell'utilizzatore). Allora:

LKC al nodo N: la corrente che arriva da $b_1$ può solo proseguire in $b_2$ , quindi $i_1 = i_2 = i_s$ ;

LKT sul giro A → N → B → A: $v_1 + v_2 - v_s = 0$ , cioè $v_s = v_1 + v_2$ .

$\boxed{\;i_s = i_1 = i_2, \qquad v_s = v_1 + v_2\;}$

Esempio. Con $i_s = 2\ \mathrm A$ nei due resistori da $10\ \Omega$ e $40\ \Omega$ le tensioni sono $v_1 = 20\ \mathrm V$ e $v_2 = 80\ \mathrm V$ , quindi $v_s = 100\ \mathrm V$ .

Formula (resistori in serie). Con $\ell$ resistori in serie, convenzione dell'utilizzatore su tutti:

$v_s = \sum_{k=1}^{\ell} v_k = \sum_{k=1}^{\ell} R_k\, i_k = \Big(\sum_{k=1}^{\ell} R_k\Big)\, i_s$

Il passaggio chiave è $i_k = i_s$ per ogni $k$ (stessa corrente), che permette di raccogliere $i_s$ . Quindi la serie equivale a un resistore di resistenza

$\boxed{\;R_s = R_1 + R_2 + \dots + R_\ell\;}$

Esempio. Tre resistori da $10\ \Omega$ , $40\ \Omega$ e $22\ \Omega$ in serie danno $R_s = 72\ \Omega$ ; con $v_s = 36\ \mathrm V$ la corrente è $i_s = 0{,}5\ \mathrm A$ .

Proprietà (GIT in serie). Due GIT in serie equivalgono a un GIT con tensione impressa uguale alla somma algebrica delle due:

$e_s = \sum \pm\, e_k$

con il segno $+$ per i GIT il cui $+$ è "dalla stessa parte" del $+$ di $v_s$ percorrendo la serie, e il segno $-$ per gli altri. Esempio: percorrendo da A a B si incontra $e_1 = 12\ \mathrm V$ dal $+$ al $-$ e poi $e_2 = 5\ \mathrm V$ dal $-$ al $+$ ; allora $v_s = e_1 - e_2 = 7\ \mathrm V$ per ogni corrente.

Esempio. Due GIT da $12\ \mathrm V$ e $5\ \mathrm V$ in serie con polarità opposte danno $e_s = 12 - 5 = 7\ \mathrm V$ ; con la stessa polarità $12 + 5 = 17\ \mathrm V$ .

Formula (GIT in serie a un resistore). È il caso del generatore reale. Con la convenzione del generatore sul bipolo complessivo, $i_R = i_s$ , $v_R = R\,i_R$ e la LKT $v_s - e + v_R = 0$ danno

$v_s = e - R\, i_s$

Esempio. Con $e = 12\ \mathrm V$ e $R = 4\ \Omega$ si ha $v_s = 12 - 4\,i_s$ : per $i_s = 2\ \mathrm A$ la tensione è $v_s = 4\ \mathrm V$ .

Proprietà (GIC in serie a un altro bipolo). Un GIC impone la corrente a tutta la serie: $i_s = j$ qualunque sia la tensione. Quindi

GIC in serie a un resistore $\Rightarrow$ GIC con la stessa $j$ ;

GIC in serie a un GIT $\Rightarrow$ GIC con la stessa $j$ .

Esempio. Un GIC da $3\ \mathrm A$ in serie a un resistore da $10\ \Omega$ è, per il resto della rete, ancora un GIC da $3\ \mathrm A$ ; sul resistore però ci sono $30\ \mathrm V$ .

Definizione. Due bipoli sono in parallelo se i loro morsetti sono collegati alla stessa coppia di nodi A e B.

Esempio. Due resistori con i morsetti sugli stessi nodi A e B e $v_{AB} = 10\ \mathrm V$ hanno entrambi $10\ \mathrm V$ ai capi, anche se nel disegno sono lontani.

Formula (relazioni del parallelo). Le relazioni. Si prendono le tensioni tutte con il $+$ su A e la stessa convenzione per tutti i bipoli (per esempio dell'utilizzatore):

LKT: i bipoli stanno tutti tra A e B, quindi $v_1 = v_2 = v_p$ ;

LKC al nodo A: $i_p = i_1 + i_2$ .

$\boxed{\;v_p = v_1 = v_2, \qquad i_p = i_1 + i_2\;}$

Esempio. Con $v_p = 10\ \mathrm V$ e correnti $i_1 = 1\ \mathrm A$ , $i_2 = 0{,}25\ \mathrm A$ si ha $i_p = 1{,}25\ \mathrm A$ .

Formula (resistori in parallelo). Con $\ell$ resistori in parallelo, usando le conduttanze $G_k = 1/R_k$ :

$i_p = \sum_{k=1}^{\ell} i_k = \sum_{k=1}^{\ell} G_k\, v_k = \Big(\sum_{k=1}^{\ell} G_k\Big)\, v_p$

Qui il passaggio chiave è $v_k = v_p$ (stessa tensione). Il parallelo equivale a un resistore di conduttanza

$\boxed{\;G_p = G_1 + G_2 + \dots + G_\ell \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_\ell}\;}$

Esempio. Tre resistori da $10\ \Omega$ , $40\ \Omega$ e $8\ \Omega$ in parallelo: $G_p = 0{,}1 + 0{,}025 + 0{,}125 = 0{,}25\ \mathrm S$ , cioè $R_p = 4\ \Omega$ .

Formula (due resistori in parallelo: prodotto diviso somma). Due resistori. Il caso più frequente ha una formula comoda, "prodotto diviso somma":

$R_p = \frac{1}{G_1 + G_2} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

L'ultimo passaggio si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per $R_1 R_2$ . Esempio: $10\ \Omega \parallel 40\ \Omega = \dfrac{400}{50} = 8\ \Omega$ . Si scrive spesso $R_1 /\!/ R_2$ .

Esempio. $12\ \Omega \parallel 6\ \Omega = \frac{12 \cdot 6}{12 + 6} = 4\ \Omega$ .

Proprietà (GIC in parallelo). Due GIC in parallelo equivalgono a un GIC con corrente impressa uguale alla somma algebrica:

$j_p = \sum \pm\, j_k$

con il $+$ per i GIC la cui freccia è concorde con il riferimento di $i_p$ e il $-$ per gli altri.

Esempio. Due GIC da $3\ \mathrm A$ e $1\ \mathrm A$ in parallelo con frecce opposte equivalgono a un GIC da $j_p = 3 - 1 = 2\ \mathrm A$ .

Formula (GIC in parallelo a un resistore). Con la convenzione del generatore sul bipolo complessivo: $v_R = v_p$ , $i_R = G\,v_R$ e la LKC $i_p - j + i_R = 0$ danno

$i_p = j - G\, v_p$

Esempio. Con $j = 3\ \mathrm A$ e $G = 0{,}25\ \mathrm S$ ( $4\ \Omega$ ) si ha $i_p = 3 - 0{,}25\,v_p$ : a vuoto $v_p = 12\ \mathrm V$ , in cortocircuito $i_p = 3\ \mathrm A$ .

Proprietà (GIT in parallelo a un altro bipolo). Un GIT impone la tensione a tutto il parallelo: $v_p = e$ qualunque sia la corrente. Quindi GIT in parallelo a un resistore (o a un GIC) $\Rightarrow$ GIT con la stessa $e$ . Il resistore in parallelo è ininfluente verso l'esterno, ma non per la corrente e la potenza del GIT.

Esempio. Un GIT da $12\ \mathrm V$ in parallelo a un resistore da $6\ \Omega$ è, per il resto della rete, ancora un GIT da $12\ \mathrm V$ ; il resistore assorbe $12^2/6 = 24\ \mathrm W$ .

Partitori di tensione e di corrente

Formula (partitore di tensione). Situazione. $\ell$ resistori in serie, con tensione totale $v_s$ nota ai capi della serie. Si vuole la tensione $v_k$ sul $k$ -esimo.

Ricavo. Tutti i resistori hanno la stessa corrente $i_s$ , e la serie equivale a $R_s = \sum_h R_h$ , quindi

$i_s = \frac{v_s}{R_s} \qquad\Longrightarrow\qquad v_k = R_k\, i_s = \frac{R_k}{R_s}\, v_s$

$\boxed{\;v_k = \frac{R_k}{R_1 + R_2 + \dots + R_\ell}\; v_s\;}$

Per due resistori:

$v_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\, v_s, \qquad v_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\, v_s$

Esempio. $R_1 = 10\ \Omega$ , $R_2 = 40\ \Omega$ , $v_s = 100\ \mathrm V$ : $R_s = 50\ \Omega$ , $v_1 = \frac{10}{50} \cdot 100 = 20\ \mathrm V$ , $v_2 = \frac{40}{50} \cdot 100 = 80\ \mathrm V$ . Controllo: $20 + 80 = 100$ .

Formula (partitore di corrente). Situazione. $\ell$ resistori in parallelo, con corrente totale $i_p$ nota. Si vuole la corrente $i_k$ nel $k$ -esimo ramo.

Ricavo. Tutti i resistori hanno la stessa tensione $v_p$ , e il parallelo equivale a $G_p = \sum_h G_h$ , quindi

$v_p = \frac{i_p}{G_p} \qquad\Longrightarrow\qquad i_k = G_k\, v_p = \frac{G_k}{G_p}\, i_p$

$\boxed{\;i_k = \frac{G_k}{G_1 + G_2 + \dots + G_\ell}\; i_p\;}$

La corrente si ripartisce in proporzione alle conduttanze: il ramo con resistenza più piccola prende più corrente.

Esempio. Tre rami da $2\ \Omega$ , $4\ \Omega$ e $4\ \Omega$ con $i_p = 12\ \mathrm A$ : $G_p = 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}25 = 1\ \mathrm S$ , quindi $i_1 = 6\ \mathrm A$ , $i_2 = i_3 = 3\ \mathrm A$ (somma $12\ \mathrm A$ ).

Formula (partitore di corrente tra due resistori: al numeratore la resistenza dell'altro ramo). $\boxed{\;i_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\, i_p, \qquad i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\, i_p\;}$

Al numeratore c'è la resistenza dell'altro ramo. È il punto dove si sbaglia di più: confrontandola con il partitore di tensione, dove al numeratore c'è la resistenza dello stesso resistore, sembra un errore di stampa. Non lo è: più è grande $R_2$ , più corrente è "spinta" nel ramo 1.

Esempio. $R_1 = 10\ \Omega$ , $R_2 = 40\ \Omega$ , $i_p = 10\ \mathrm A$ : $i_1 = \frac{40}{50} \cdot 10 = 8\ \mathrm A$ (nel ramo con resistenza minore), $i_2 = \frac{10}{50} \cdot 10 = 2\ \mathrm A$ . Controllo: $8 + 2 = 10$ (è la LKC).

Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente

Formula (da generatore reale di tensione a generatore reale di corrente). Confrontando termine a termine con $i = j - G_p\, v$ :

$\boxed{\;j = \frac{e}{R_s}, \qquad G_p = \frac{1}{R_s}\;}$

Esempio. Un GIT con $e = 12\ \mathrm V$ in serie a $R_s = 4\ \Omega$ equivale a un GIC con $j = 12/4 = 3\ \mathrm A$ in parallelo a $G_p = 1/4 = 0{,}25\ \mathrm S$ .

Formula (da generatore reale di corrente a generatore reale di tensione). Nel verso opposto (da parallelo a serie, se $G_p \ne 0$ ) si esplicita $v$ nella (b): $v = \dfrac{j}{G_p} - \dfrac{1}{G_p}\, i$ , e confrontando con la (a):

$\boxed{\;e = \frac{j}{G_p} = j\, R, \qquad R_s = \frac{1}{G_p}\;}$

Esempio. Un GIC con $j = 3\ \mathrm A$ in parallelo a $G_p = 0{,}25\ \mathrm S$ equivale a un GIT con $e = j/G_p = 12\ \mathrm V$ in serie a $R_s = 1/G_p = 4\ \Omega$ .

Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo

Definizione (resistenza equivalente). Si prende una rete fatta solo di resistori passivi, accessibile da due morsetti A e B. Vista da A e B è un bipolo, e si dimostra che questo bipolo è un resistore passivo: con la convenzione dell'utilizzatore

$v = R_{eq}\, i \qquad\Longleftrightarrow\qquad i = G_{eq}\, v, \quad G_{eq} = \frac{1}{R_{eq}}$

$R_{eq}$ è la resistenza equivalente (o resistenza vista) ai morsetti A–B. Il significato pratico: se si applica una tensione $v$ tra A e B, entra in A la corrente $v / R_{eq}$ .

Esempio. Se applicando $v = 20\ \mathrm V$ tra A e B entra in A la corrente $i = 0{,}5\ \mathrm A$ , la resistenza equivalente è $R_{eq} = 20/0{,}5 = 40\ \Omega$ .

Formula (trasformazione triangolo-stella). Triangolo → stella:

$R_A = \frac{R_{AB}\, R_{CA}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}, \qquad R_B = \frac{R_{AB}\, R_{BC}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}, \qquad R_C = \frac{R_{BC}\, R_{CA}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}$

Come ricordarla: il resistore della stella attaccato al nodo A ha al numeratore i due lati del triangolo che toccano A ( $R_{AB}$ e $R_{CA}$ ), al denominatore la somma dei tre lati.

Esempio. Triangolo $R_{12} = 20\ \Omega$ , $R_{23} = 80\ \Omega$ , $R_{31} = 100\ \Omega$ (somma $200\ \Omega$ ): $R_1 = \frac{20 \cdot 100}{200} = 10\ \Omega$ , $R_2 = \frac{20 \cdot 80}{200} = 8\ \Omega$ , $R_3 = \frac{80 \cdot 100}{200} = 40\ \Omega$ .

Formula (trasformazione stella-triangolo). Stella → triangolo:

$R_{AB} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_C}, \qquad R_{BC} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_A}, \qquad R_{CA} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B}$

Come ricordarla: numeratore sempre uguale (somma dei prodotti a due a due); al denominatore il resistore della stella opposto al lato cercato (per $R_{AB}$ quello attaccato a C, che non tocca né A né B).

Esempio. Stella $R_1 = 10\ \Omega$ , $R_2 = 20\ \Omega$ , $R_3 = 40\ \Omega$ (somma dei prodotti $1400$ ): $R_{12} = 1400/40 = 35\ \Omega$ , $R_{23} = 1400/10 = 140\ \Omega$ , $R_{31} = 1400/20 = 70\ \Omega$ .

Proprietà (stella e triangolo simmetrici). Caso simmetrico. Se i tre resistori sono uguali:

$R_\Delta = 3\, R_Y \qquad\Longleftrightarrow\qquad R_Y = \frac{R_\Delta}{3}$

Esempio. Un triangolo di tre resistori da $30\ \Omega$ equivale a una stella di tre resistori da $30/3 = 10\ \Omega$ .

VI. Metodi di analisi delle reti

Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)

Formula (analisi nodale per ispezione). Guardando il sistema dell'esempio si vede una struttura fissa. Per il nodo $h$ :

$\boxed{\;G_{hh}\, u_h - \sum_{k \ne h} G_{hk}\, u_k = j_h\;}$

autoconduttanza $G_{hh}$ : somma delle conduttanze di tutti i resistori collegati al nodo $h$ ;

mutua conduttanza $G_{hk}$ : somma delle conduttanze dei resistori collegati direttamente tra $h$ e $k$ (zero se non ce ne sono);

corrente impressa di nodo $j_h$ : somma algebrica delle correnti dei GIC collegati al nodo $h$ , con il $+$ se la freccia entra nel nodo e il $-$ se esce.

Esempio. Nodo $1$ con un resistore da $10\ \Omega$ verso massa e uno da $5\ \Omega$ verso il nodo $2$ , GIC entrante da $2\ \mathrm A$ : $(0{,}1 + 0{,}2)\,u_1 - 0{,}2\,u_2 = 2$ ; con $u_2 = 0$ si ha $u_1 = 2/0{,}3 \approx 6{,}67\ \mathrm V$ .

Proprietà (analisi nodale modificata, MNA). Un GIT senza resistore in serie è un problema: la sua corrente non si può scrivere come $G \cdot v$ . L'analisi nodale modificata (in inglese MNA, modified nodal analysis) lo risolve così:

per ogni GIT si introduce come incognita in più la sua corrente $i_e$ (verso scelto a piacere, di solito uscente dal $+$ );

nelle LKC si tratta il GIT come se fosse un GIC di corrente $i_e$ : compare nel termine noto del nodo con il $+$ se $i_e$ entra nel nodo, con il $-$ se esce;

per ogni GIT si aggiunge la sua equazione, scritta con i potenziali: $u_+ - u_- = e$ .

Esempio. Nodo $1$ : resistore da $10\ \Omega$ verso massa; nodo $2$ : resistore da $20\ \Omega$ verso massa e GIC entrante da $1\ \mathrm A$ ; tra $1$ ( $-$ ) e $2$ ( $+$ ) un GIT da $5\ \mathrm V$ con corrente $i_e$ uscente dal $+$ . Il sistema $0{,}1\,u_1 = -i_e$ , $0{,}05\,u_2 = 1 + i_e$ , $u_2 - u_1 = 5$ dà $i_e = -0{,}5\ \mathrm A$ , $u_1 = 5\ \mathrm V$ , $u_2 = 10\ \mathrm V$ .

Formula (Millman). Caso particolare frequentissimo: due soli nodi, collegati da tanti rami in parallelo, ciascuno fatto da un GIT $E_k$ in serie a un resistore $R_k$ (oppure solo da un resistore, $E_k = 0$ , o da un GIC $J_k$ ). Con un nodo di riferimento resta un'unica equazione nodale, e la tensione tra i due nodi è

$\boxed{\;V = \frac{\displaystyle\sum_k \frac{E_k}{R_k} + \sum J_k}{\displaystyle\sum_k \frac{1}{R_k}}\;}$

(i rami con solo GIC non contano al denominatore). Da dove viene: ogni ramo $E_k$ – $R_k$ diventa un GIC $E_k/R_k$ in parallelo a $G_k$ ; i GIC si sommano e le conduttanze si sommano; la tensione è "corrente totale diviso conduttanza totale". I segni: $E_k$ con il $+$ se il suo $+$ è verso il nodo di cui si cerca il potenziale, $J_k$ con il $+$ se la freccia entra in quel nodo.

Esempio. Due rami tra A e B, con il $+$ verso A: $E_1 = 20\ \mathrm V$ con $R_1 = 10\ \Omega$ e $E_2 = 40\ \mathrm V$ con $R_2 = 20\ \Omega$ . Allora $V = \frac{20/10 + 40/20}{1/10 + 1/20} = \frac{4}{0{,}15} \approx 26{,}7\ \mathrm V$ .

Metodo delle correnti di anello

Proprietà (correnti di lato e correnti di anello). La corrente vera di ogni lato si ottiene sommando le correnti di anello che lo attraversano:

lato di un solo anello (sul bordo esterno): $i_h = \pm\, i_{Ar}$ ;

lato in comune tra due anelli adiacenti: $i_h = \pm\,(i_{Ar} - i_{As})$ . Con tutte le correnti nello stesso verso, due anelli vicini percorrono il lato comune in versi opposti: per questo compare una differenza.

Il segno è $+$ se il riferimento di $i_h$ è concorde con $i_{Ar}$ , $-$ altrimenti.

Esempio. Con $i_{A1} = 3\ \mathrm A$ e $i_{A2} = 1\ \mathrm A$ nello stesso verso, il lato in comune ha corrente $3 - 1 = 2\ \mathrm A$ e un lato esterno del primo anello ha $3\ \mathrm A$ .

Formula (correnti di anello per ispezione). Per l'anello $h$ , con tutte le correnti di anello nello stesso verso:

$\boxed{\;R_{hh}\, i_{Ah} - \sum_{k \ne h} R_{hk}\, i_{Ak} = e_h\;}$

autoresistenza $R_{hh}$ : somma di tutte le resistenze dell'anello $h$ ;

mutua resistenza $R_{hk}$ : resistenza del lato (o dei lati) in comune tra gli anelli $h$ e $k$ ;

tensione impressa di anello $e_h$ : somma algebrica delle f.e.m. dei GIT dell'anello, con il $+$ se, percorrendo l'anello nel verso di $i_{Ah}$ , si attraversa il GIT dal $-$ al $+$ (il GIT "spinge" nel verso della corrente di anello), con il $-$ altrimenti.

Esempio. Anello $1$ : $10\ \Omega$ esterno, $10\ \Omega$ in comune e un GIT da $12\ \mathrm V$ nel verso di $i_{A1}$ ; anello $2$ : $20\ \Omega$ esterno e lo stesso lato da $10\ \Omega$ . Il sistema $20\,i_{A1} - 10\,i_{A2} = 12$ , $-10\,i_{A1} + 30\,i_{A2} = 0$ dà $i_{A1} = 0{,}72\ \mathrm A$ e $i_{A2} = 0{,}24\ \mathrm A$ ; nel lato in comune passano $0{,}48\ \mathrm A$ .

VII. Teoremi delle reti

Principio di sovrapposizione degli effetti

Proprietà (linearità delle reti resistive). Ogni incognita è quindi una combinazione lineare delle impresse, con coefficienti che dipendono solo dai resistori e dai collegamenti. Con $r$ GIT e $s$ GIC, per una generica tensione $v_h$ :

$v_h = \alpha_{h1} e_1 + \dots + \alpha_{hr} e_r + \rho_{h1} j_1 + \dots + \rho_{hs} j_s$

Esempio. Se $v_h = 0{,}5\,e_1 + 2\,j_1$ (coefficienti $0{,}5$ e $2\ \Omega$ ) con $e_1 = 10\ \mathrm V$ e $j_1 = 3\ \mathrm A$ , allora $v_h = 5 + 6 = 11\ \mathrm V$ .

Principio di sovrapposizione degli effetti.

Si fa agire un solo generatore, spegnendo tutti gli altri, e si calcola la grandezza cercata (tensione o corrente) con i riferimenti fissati all'inizio.

Si ripete per ogni generatore: ognuno agisce una e una sola volta.

Si sommano i contributi, ciascuno con il suo segno.

Esempio. In una maglia con due GIT da $10\ \mathrm V$ e $6\ \mathrm V$ nello stesso verso e un resistore da $4\ \Omega$ : con il solo primo $i' = 10/4 = 2{,}5\ \mathrm A$ , con il solo secondo $i'' = 6/4 = 1{,}5\ \mathrm A$ , e $i = i' + i'' = 4\ \mathrm A$ , come $16/4$ .

Proprietà (le potenze non si sovrappongono). La potenza è un prodotto ( $p = v\,i$ o $R\,i^2$ ), non una funzione lineare delle impresse. Con due contributi $i'$ e $i''$ :

$R\,(i' + i'')^2 = R\,i'^2 + R\,i''^2 + 2R\,i' i'' \ne R\,i'^2 + R\,i''^2$

Esempio. In un resistore da $1\ \Omega$ un generatore da solo farebbe passare $2\ \mathrm A$ e l'altro da solo $3\ \mathrm A$ nello stesso verso. La corrente vera è $5\ \mathrm A$ e la potenza $25\ \mathrm W$ , non $4 + 9 = 13\ \mathrm W$ .

Teorema di sostituzione

Teorema di sostituzione. Si considera una rete (resistori, GIT, GIC, ma vale anche con bipoli adinamici non lineari) che ha soluzione unica, e un suo bipolo $b_h$ con tensione $v_h$ e corrente $i_h$ nella soluzione. Allora $b_h$ si può sostituire:

con un GIC di corrente impressa $j_h = i_h$ (con lo stesso riferimento di $i_h$ ), oppure

con un GIT di tensione impressa $e_h = v_h$ (con lo stesso riferimento di $v_h$ ),

e tutte le altre tensioni e correnti della rete restano le stesse, a condizione che anche la rete modificata abbia soluzione unica.

Esempio. Un GIT da $12\ \mathrm V$ su un resistore da $4\ \Omega$ dà $i = 3\ \mathrm A$ e $v = 12\ \mathrm V$ : sostituendo il resistore con un GIC da $j = 3\ \mathrm A$ la tensione ai suoi capi resta $12\ \mathrm V$ .

Teoremi di Thévenin e di Norton

Teorema di Thévenin. Ipotesi. Una rete resistiva lineare (resistori, GIT, GIC) accessibile solo dai morsetti 1 e 1', per la quale sia possibile il funzionamento a vuoto (morsetti aperti).

Tesi. Vista dalla porta 1–1', la rete equivale alla serie di un GIT e di un resistore, con

f.e.m. $e_{eq} = v_0$ : la tensione a vuoto ai morsetti, con il $+$ del GIT dalla parte del $+$ di $v_0$ ;

resistenza $R_{eq}$ : la resistenza interna, cioè la resistenza vista dai morsetti dopo aver spento tutti i generatori indipendenti della rete (GIT $\to$ cortocircuiti, GIC $\to$ circuiti aperti).

Con la convenzione del generatore alla porta (corrente $i$ uscente dal morsetto con il $+$ di $v$ ):

$\boxed{\;v = v_0 - R_{eq}\, i\;}$

Esempio. Un GIT da $12\ \mathrm V$ in serie a $R_1 = 6\ \Omega$ , con $R_2 = 6\ \Omega$ ai morsetti: $v_0 = 12 \cdot \frac{6}{12} = 6\ \mathrm V$ e $R_{eq} = 6 \parallel 6 = 3\ \Omega$ . Un carico da $3\ \Omega$ assorbe $i = \frac{6}{3 + 3} = 1\ \mathrm A$ .

Formula (resistenza equivalente di Thévenin: tre modi di calcolarla).

Generatori spenti, serie e parallelo. Il modo più usato: si spengono i generatori indipendenti e si calcola la resistenza equivalente vista dai morsetti, come in Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo.

Rapporto $v_0 / i_cc$ . Se è possibile anche il cortocircuito: con $v = 0$ la formula dà $0 = v_0 - R_{eq}\, i_{cc}$ , cioè $R_{eq} = \frac{v_0}{i_{cc}}$ dove $i_{cc}$ è la corrente di cortocircuito, uscente dal morsetto $+$ .

Generatore di prova. Generatori interni spenti, si applica ai morsetti un GIT (o un GIC) di prova e si calcola il rapporto tensione/corrente. Indispensabile quando nella rete ci sono generatori pilotati (doppi bipoli).

Esempio. Se $v_0 = 6\ \mathrm V$ e in cortocircuito scorre $i_{cc} = 2\ \mathrm A$ , allora $R_{eq} = v_0/i_{cc} = 6/2 = 3\ \Omega$ .

Teorema di Norton. Ipotesi. Come sopra, ma deve essere possibile il funzionamento in cortocircuito.

Tesi. Vista dalla porta 1–1', la rete equivale al parallelo di un GIC e di un resistore, con

corrente impressa $j_{eq} = i_{cc}$ : la corrente di cortocircuito, con la freccia del GIC orientata come $i_{cc}$ ;

conduttanza $G_{eq} = 1/R_{eq}$ : la stessa resistenza interna di Thévenin.

$\boxed{\;i = i_{cc} - G_{eq}\, v\;}$

Esempio. Con la stessa rete in cortocircuito $i_{cc} = 12/6 = 2\ \mathrm A$ e $G_{eq} = 1/3\ \mathrm S$ : un carico da $3\ \Omega$ ha $i = 2 - \frac{v}{3}$ e $i = \frac{v}{3}$ , cioè $v = 3\ \mathrm V$ e $i = 1\ \mathrm A$ .

Teorema del massimo trasferimento di potenza

Formula (potenza ceduta a un carico resistivo). Corrente nella maglia e potenza sul carico:

$i = \frac{e_{eq}}{R_i + R_u}, \qquad P(R_u) = R_u\, i^2 = \frac{R_u\, e_{eq}^2}{(R_i + R_u)^2}$

Esempio. Con $e_{eq} = 12\ \mathrm V$ , $R_i = 3\ \Omega$ e $R_u = 1\ \Omega$ : $i = 12/4 = 3\ \mathrm A$ e $P = 1 \cdot 3^2 = 9\ \mathrm W$ .

Teorema del massimo trasferimento di potenza (adattamento del carico). Quindi il massimo è in

$\boxed{\;R_u = R_i\;} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;P_{max} = \frac{R_i\, e_{eq}^2}{(2R_i)^2} = \frac{e_{eq}^2}{4R_i}\;}$

Esempio. $e_{eq} = 12\ \mathrm V$ , $R_i = 3\ \Omega$ : il carico adattato è $R_u = 3\ \Omega$ , con $i = 2\ \mathrm A$ e $P_{max} = 12^2 / 12 = 12\ \mathrm W$ . Con $R_u = 1\ \Omega$ si avrebbe $i = 3\ \mathrm A$ e $P = 9\ \mathrm W$ ; con $R_u = 9\ \Omega$ , $i = 1\ \mathrm A$ e $P = 9\ \mathrm W$ . Entrambi meno di $12\ \mathrm W$ .

Grafico interattivo: Potenza sul carico (W) in funzione di R_u (Ω), con e_eq = 12 V e R_i = 3 Ω: massimo 12 W per R_u = 3 Ω

VIII. Doppi bipoli e generatori pilotati

Doppi bipoli e loro rappresentazioni

Definizione (doppio bipolo ideale inerte). Un doppio bipolo adinamico si dice ideale inerte (o lineare tempo-invariante) se entrambe le equazioni sono lineari, omogenee e a coefficienti costanti. "Omogenee" vuol dire senza termine noto: se tutte le grandezze di una porta e dell'altra sono nulle, le equazioni sono soddisfatte. In pratica: dentro non ci sono generatori indipendenti (che darebbero un termine noto), ma solo resistori e generatori pilotati.

Esempio. Due resistori in una rete a L danno equazioni come $v_1 = 30\,i_1 + 10\,i_2$ , lineari e omogenee: la rete è ideale inerte. Un GIT interno aggiungerebbe un termine noto e non lo sarebbe più.

Definizione (le sei rappresentazioni di un doppio bipolo).

Rappresentazione Indipendenti Dipendenti Matrice Equazioni

controllata in corrente $i_1, i_2$ $v_1, v_2$ $[R]$ , resistenza $v_1 = R_{11} i_1 + R_{12} i_2$ , $\ v_2 = R_{21} i_1 + R_{22} i_2$

controllata in tensione $v_1, v_2$ $i_1, i_2$ $[G]$ , conduttanza $i_1 = G_{11} v_1 + G_{12} v_2$ , $\ i_2 = G_{21} v_1 + G_{22} v_2$

ibrida 1 $i_1, v_2$ $v_1, i_2$ $[h]$ $v_1 = h_{11} i_1 + h_{12} v_2$ , $\ i_2 = h_{21} i_1 + h_{22} v_2$

ibrida 2 $v_1, i_2$ $i_1, v_2$ $[g]$ $i_1 = g_{11} v_1 + g_{12} i_2$ , $\ v_2 = g_{21} v_1 + g_{22} i_2$

trasmissione 1 $v_2, -i_2$ $v_1, i_1$ $[T]$ $v_1 = A v_2 - B i_2$ , $\ i_1 = C v_2 - D i_2$

trasmissione 2 $v_1, i_1$ $v_2, -i_2$ $[T']$ $v_2 = A' v_1 + B' i_1$ , $\ -i_2 = C' v_1 + D' i_1$

Rappresentazione	Indipendenti	Dipendenti	Matrice	Equazioni
controllata in corrente	$i_1, i_2$	$v_1, v_2$	$[R]$ , resistenza	$v_1 = R_{11} i_1 + R_{12} i_2$ , $\ v_2 = R_{21} i_1 + R_{22} i_2$
controllata in tensione	$v_1, v_2$	$i_1, i_2$	$[G]$ , conduttanza	$i_1 = G_{11} v_1 + G_{12} v_2$ , $\ i_2 = G_{21} v_1 + G_{22} v_2$
ibrida 1	$i_1, v_2$	$v_1, i_2$	$[h]$	$v_1 = h_{11} i_1 + h_{12} v_2$ , $\ i_2 = h_{21} i_1 + h_{22} v_2$
ibrida 2	$v_1, i_2$	$i_1, v_2$	$[g]$	$i_1 = g_{11} v_1 + g_{12} i_2$ , $\ v_2 = g_{21} v_1 + g_{22} i_2$
trasmissione 1	$v_2, -i_2$	$v_1, i_1$	$[T]$	$v_1 = A v_2 - B i_2$ , $\ i_1 = C v_2 - D i_2$
trasmissione 2	$v_1, i_1$	$v_2, -i_2$	$[T']$	$v_2 = A' v_1 + B' i_1$ , $\ -i_2 = C' v_1 + D' i_1$

Esempio. Per la rete a L con $R_a = 20\ \Omega$ e $R_c = 10\ \Omega$ : $v_1 = 30\,i_1 + 10\,i_2$ e $v_2 = 10\,i_1 + 10\,i_2$ ; con $i_1 = 1\ \mathrm A$ e $i_2 = 0$ si ha $v_1 = 30\ \mathrm V$ e $v_2 = 10\ \mathrm V$ .

Formula (legami tra le rappresentazioni). Legami tra le rappresentazioni. Quando le matrici sono invertibili:

$[G] = [R]^{-1}, \qquad [g] = [h]^{-1}, \qquad [T'] = [T]^{-1}$

Esempio. $[R] = \begin{bmatrix} 30 & 10 \\ 10 & 10 \end{bmatrix}\ \Omega$ ha determinante $300 - 100 = 200$ , quindi $[G] = [R]^{-1} = \frac{1}{200}\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 30 \end{bmatrix}\ \mathrm S$ .

Formula (parametri della matrice R). Matrice $[R]$ (si annullano le correnti, cioè porte a vuoto):

$R_{11} = \left.\frac{v_1}{i_1}\right|_{i_2 = 0}, \quad R_{21} = \left.\frac{v_2}{i_1}\right|_{i_2 = 0}, \quad R_{12} = \left.\frac{v_1}{i_2}\right|_{i_1 = 0}, \quad R_{22} = \left.\frac{v_2}{i_2}\right|_{i_1 = 0}$

Esempio. Con la porta 2 aperta ( $i_2 = 0$ ) e $i_1 = 2\ \mathrm A$ si misurano $v_1 = 60\ \mathrm V$ e $v_2 = 20\ \mathrm V$ : $R_{11} = 60/2 = 30\ \Omega$ e $R_{21} = 20/2 = 10\ \Omega$ .

Formula (parametri della matrice G). Matrice $[G]$ (si annullano le tensioni, cioè porte in cortocircuito):

$G_{11} = \left.\frac{i_1}{v_1}\right|_{v_2 = 0}, \quad G_{21} = \left.\frac{i_2}{v_1}\right|_{v_2 = 0}, \quad G_{12} = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{v_1 = 0}, \quad G_{22} = \left.\frac{i_2}{v_2}\right|_{v_1 = 0}$

Esempio. Con la porta 2 in cortocircuito e $v_1 = 20\ \mathrm V$ si misurano $i_1 = 1\ \mathrm A$ e $i_2 = -1\ \mathrm A$ : $G_{11} = 0{,}05\ \mathrm S$ e $G_{21} = -0{,}05\ \mathrm S$ .

Formula (parametri della matrice di trasmissione T). Matrice $[T]$ (si agisce sempre sulla porta 2, una volta a vuoto e una volta in cortocircuito):

$A = \left.\frac{v_1}{v_2}\right|_{i_2 = 0}, \quad C = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{i_2 = 0}, \quad B = \left.\frac{v_1}{-i_2}\right|_{v_2 = 0}, \quad D = \left.\frac{i_1}{-i_2}\right|_{v_2 = 0}$

Esempio. A porta 2 aperta con $i_1 = 1\ \mathrm A$ si misurano $v_1 = 30\ \mathrm V$ e $v_2 = 10\ \mathrm V$ : $A = 30/10 = 3$ e $C = 1/10 = 0{,}1\ \mathrm S$ .

Definizione (doppio bipolo reciproco). Un doppio bipolo è reciproco se

$R_{12} = R_{21}$

Esempio. La rete a L ha $R_{12} = R_{21} = 10\ \Omega$ : con $i_1 = 1\ \mathrm A$ a porta 2 aperta compaiono $10\ \mathrm V$ sulla porta 2, con $i_2 = 1\ \mathrm A$ a porta 1 aperta compaiono $10\ \mathrm V$ sulla porta 1.

Proprietà (reciprocità e simmetria nelle varie rappresentazioni).

Matrice Reciproco Simmetrico (in più)

$[R]$ $R_{12} = R_{21}$ $R_{11} = R_{22}$

$[G]$ $G_{12} = G_{21}$ $G_{11} = G_{22}$

$[h]$ $h_{12} = -h_{21}$ $h_{11} h_{22} - h_{12} h_{21} = 1$

$[g]$ $g_{12} = -g_{21}$ $g_{11} g_{22} - g_{12} g_{21} = 1$

$[T]$ $AD - BC = 1$ $A = D$

$[T']$ $A'D' - B'C' = 1$ $A' = D'$

Matrice	Reciproco	Simmetrico (in più)
$[R]$	$R_{12} = R_{21}$	$R_{11} = R_{22}$
$[G]$	$G_{12} = G_{21}$	$G_{11} = G_{22}$
$[h]$	$h_{12} = -h_{21}$	$h_{11} h_{22} - h_{12} h_{21} = 1$
$[g]$	$g_{12} = -g_{21}$	$g_{11} g_{22} - g_{12} g_{21} = 1$
$[T]$	$AD - BC = 1$	$A = D$
$[T']$	$A'D' - B'C' = 1$	$A' = D'$

Esempio. Per $[T]$ della rete a L: $AD - BC = 3 \cdot 1 - 20 \cdot 0{,}1 = 1$ , quindi è reciproca; $A = 3 \ne D = 1$ , quindi non è simmetrica.

Definizione (doppio bipolo simmetrico). Un doppio bipolo è simmetrico se si possono scambiare le due porte senza che nulla cambi. Con $[R]$ : $R_{11} = R_{22}$ e $R_{12} = R_{21}$ . Un doppio bipolo simmetrico è quindi anche reciproco; non vale il contrario (la rete a L è reciproca ma non simmetrica: $R_{11} = 30 \ne R_{22} = 10$ ).

Esempio. Con $R_{11} = R_{22} = 25\ \Omega$ e $R_{12} = R_{21} = 5\ \Omega$ il doppio bipolo è simmetrico; la rete a L, con $R_{11} = 30\ \Omega \ne R_{22} = 10\ \Omega$ , no.

Definizione (doppio bipolo passivo e condizioni sulla matrice R). Il doppio bipolo è passivo se la potenza totale entrante non è mai negativa:

$p = v_1 i_1 + v_2 i_2 \ge 0 \quad \text{per ogni } i_1, i_2$

Sostituendo $v_1$ e $v_2$ dalla rappresentazione $[R]$ :

$p = R_{11} i_1^2 + (R_{12} + R_{21})\, i_1 i_2 + R_{22} i_2^2$

è una forma quadratica in $i_1, i_2$ . Deve essere $\ge 0$ per ogni coppia: si dice semidefinita positiva. Per una forma in due variabili questo succede se e solo se

$R_{11} \ge 0, \qquad R_{22} \ge 0, \qquad R_{11} R_{22} \ge \left( \frac{R_{12} + R_{21}}{2} \right)^2$

Esempio. Per la rete a L: $R_{11} = 30 \ge 0$ , $R_{22} = 10 \ge 0$ e $30 \cdot 10 = 300 \ge \left(\frac{10 + 10}{2}\right)^2 = 100$ , quindi è passiva.

Proprietà (serie, parallelo e cascata di doppi bipoli).

Collegamento Cosa hanno in comune i due doppi bipoli Matrice equivalente

serie le correnti delle porte omologhe (1A con 1B, 2A con 2B) $[R_s] = [R_A] + [R_B]$

parallelo le tensioni delle porte omologhe $[G_p] = [G_A] + [G_B]$

cascata la porta 2 di A è collegata alla porta 1 di B $[T_c] = [T_A]\,[T_B]$

Collegamento	Cosa hanno in comune i due doppi bipoli	Matrice equivalente
serie	le correnti delle porte omologhe (1A con 1B, 2A con 2B)	$[R_s] = [R_A] + [R_B]$
parallelo	le tensioni delle porte omologhe	$[G_p] = [G_A] + [G_B]$
cascata	la porta 2 di A è collegata alla porta 1 di B	$[T_c] = [T_A]\,[T_B]$

Esempio. Due doppi bipoli con $[R_A] = \begin{bmatrix} 30 & 10 \\ 10 & 10 \end{bmatrix}\ \Omega$ e $[R_B] = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\ \Omega$ collegati in serie hanno $[R_s] = \begin{bmatrix} 35 & 10 \\ 10 & 15 \end{bmatrix}\ \Omega$ .

Formula (cascata di doppi bipoli: prodotto delle matrici T). Cascata. La porta 2 di A alimenta la porta 1 di B: $v_{A2} = v_{B1}$ e la corrente che esce da A ( $-i_{A2}$ ) è quella che entra in B ( $i_{B1}$ ). Quindi il vettore $(v_{A2}, -i_{A2})$ di A coincide con il vettore $(v_{B1}, i_{B1})$ di B, e

$\begin{bmatrix} v_{A1} \\ i_{A1} \end{bmatrix} = [T_A] \begin{bmatrix} v_{A2} \\ -i_{A2} \end{bmatrix} = [T_A] \begin{bmatrix} v_{B1} \\ i_{B1} \end{bmatrix} = [T_A][T_B] \begin{bmatrix} v_{B2} \\ -i_{B2} \end{bmatrix}$

Esempio. La rete a L è la cascata di un resistore in serie $R_a$ ( $[T_a] = \begin{bmatrix} 1 & R_a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ) e di un resistore in parallelo $R_c$ ( $[T_c] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/R_c & 1 \end{bmatrix}$ ):

Formula (sintesi a stella o a T). Tre resistori: $R_a$ sul ramo della porta 1, $R_b$ sul ramo della porta 2, $R_c$ sul ramo comune verso i morsetti 1' e 2'. In $R_c$ passa $i_1 + i_2$ , quindi

$v_1 = (R_a + R_c)\, i_1 + R_c\, i_2, \qquad v_2 = R_c\, i_1 + (R_b + R_c)\, i_2$

Confrontando con $[R]$ :

$\boxed{R_a = R_{11} - R_{12}, \qquad R_b = R_{22} - R_{21}, \qquad R_c = R_{12} = R_{21}}$

Esempio. Con $R_{11} = R_{22} = 25\ \Omega$ e $R_{12} = R_{21} = 5\ \Omega$ : $R_a = R_b = 25 - 5 = 20\ \Omega$ e $R_c = 5\ \Omega$ .

Formula (sintesi a triangolo o a Π). Tre conduttanze: $G_a$ in parallelo alla porta 1, $G_b$ in parallelo alla porta 2, $G_c$ tra i due morsetti superiori. Con $v_c = v_1 - v_2$ :

$i_1 = (G_a + G_c)\, v_1 - G_c\, v_2, \qquad i_2 = -G_c\, v_1 + (G_b + G_c)\, v_2$

$\boxed{G_a = G_{11} + G_{12}, \qquad G_b = G_{22} + G_{21}, \qquad G_c = -G_{12} = -G_{21}}$

Esempio. Con $G_{11} = G_{22} = 0{,}25\ \mathrm S$ e $G_{12} = G_{21} = -0{,}05\ \mathrm S$ : $G_a = G_b = 0{,}25 - 0{,}05 = 0{,}2\ \mathrm S$ e $G_c = 0{,}05\ \mathrm S$ .

Generatori pilotati e trasformatore ideale

Definizione (i quattro generatori pilotati).

Nome Porta 1 Porta 2 Coefficiente Rappresentazione

GTPT: tensione pilotata in tensione aperta: $i_1 = 0$ $v_2 = \alpha\, v_1$ $\alpha$ adimensionale (guadagno di tensione) ibrida 2: $[g] = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$

GTPC: tensione pilotata in corrente corto: $v_1 = 0$ $v_2 = r\, i_1$ $r$ in ohm (transresistenza) $[R] = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ r & 0 \end{bmatrix}$

GCPT: corrente pilotata in tensione aperta: $i_1 = 0$ $i_2 = g\, v_1$ $g$ in siemens (transconduttanza) $[G] = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ g & 0 \end{bmatrix}$

GCPC: corrente pilotata in corrente corto: $v_1 = 0$ $i_2 = \beta\, i_1$ $\beta$ adimensionale (guadagno di corrente) ibrida 1: $[h] = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \beta & 0 \end{bmatrix}$

Nome	Porta 1	Porta 2	Coefficiente	Rappresentazione
GTPT: tensione pilotata in tensione	aperta: $i_1 = 0$	$v_2 = \alpha\, v_1$	$\alpha$ adimensionale (guadagno di tensione)	ibrida 2: $[g] = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$
GTPC: tensione pilotata in corrente	corto: $v_1 = 0$	$v_2 = r\, i_1$	$r$ in ohm (transresistenza)	$[R] = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ r & 0 \end{bmatrix}$
GCPT: corrente pilotata in tensione	aperta: $i_1 = 0$	$i_2 = g\, v_1$	$g$ in siemens (transconduttanza)	$[G] = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ g & 0 \end{bmatrix}$
GCPC: corrente pilotata in corrente	corto: $v_1 = 0$	$i_2 = \beta\, i_1$	$\beta$ adimensionale (guadagno di corrente)	ibrida 1: $[h] = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \beta & 0 \end{bmatrix}$

Esempio. Un GTPT con $\alpha = 3$ pilotato dalla tensione $v_1 = 2\ \mathrm V$ di un resistore impone $v_2 = 3 \cdot 2 = 6\ \mathrm V$ ; un GCPC con $\beta = 100$ e $i_1 = 20\ \mu\mathrm A$ impone $i_2 = 2\ \mathrm{mA}$ .

Definizione (trasformatore ideale). Il trasformatore ideale ha simbolo con due bobine e l'indicazione $n:1$ . Con la convenzione dell'utilizzatore a entrambe le porte e i $+$ sui morsetti contrassegnati:

$\boxed{\;v_1 = n\, v_2, \qquad i_1 = -\frac{1}{n}\, i_2\;}$

$n$ è il rapporto di trasformazione (reale, adimensionale, preso positivo con i $+$ disegnati sui morsetti giusti). Le relazioni valgono istante per istante, anche con grandezze costanti. Un trasformatore reale, basato sull'induzione, funziona solo con grandezze variabili (in particolare sinusoidali); per le grandezze costanti esistono i convertitori elettronici dc/dc, che si comportano in modo simile.

Esempio. Con $n = 10$ , $v_2 = 12\ \mathrm V$ e $i_2 = -5\ \mathrm A$ (uscente dalla porta 2) si ha $v_1 = 10 \cdot 12 = 120\ \mathrm V$ e $i_1 = -\frac{-5}{10} = 0{,}5\ \mathrm A$ .

Proprietà (il trasformatore ideale non assorbe potenza). Potenza nulla in ogni istante:

$p = v_1 i_1 + v_2 i_2 = (n v_2)\left(-\frac{i_2}{n}\right) + v_2 i_2 = -v_2 i_2 + v_2 i_2 = 0$

La potenza che entra da una porta esce tutta dall'altra, senza perdite: il trasformatore ideale è "trasparente" alla potenza. Essendo $p = 0 \ge 0$ , è passivo.

Esempio. Con $n = 10$ , $v_2 = 12\ \mathrm V$ e $i_2 = -5\ \mathrm A$ : $v_1 i_1 + v_2 i_2 = 120 \cdot 0{,}5 + 12 \cdot (-5) = 60 - 60 = 0\ \mathrm W$ .

Formula (resistenza vista dalla porta 1 di un trasformatore ideale). Trasferimento di resistenza. Un resistore $R_2$ collegato alla porta 2 con la sua convenzione dell'utilizzatore ha corrente $i_2' = -i_2$ e tensione $v_2 = R_2 i_2' = -R_2 i_2$ . Dalla porta 1:

$v_1 = n v_2 = -n R_2 i_2 = -n R_2 (-n\, i_1) = n^2 R_2\, i_1$

(perché $i_2 = -n\, i_1$ ). Visto dalla porta 1 il trasformatore chiuso su $R_2$ è un resistore

$\boxed{R_{1eq} = n^2 R_2}$

Esempio. Con $n = 10$ e un carico $R_2 = 8\ \Omega$ alla porta 2, il generatore alla porta 1 vede $R_{1eq} = n^2 R_2 = 100 \cdot 8 = 800\ \Omega$ .

Reti con generatori pilotati

Proprietà (sovrapposizione e teoremi di Thévenin e Norton con i pilotati).

Vale la sovrapposizione, facendo agire uno alla volta i generatori indipendenti. I generatori pilotati non compaiono nel vettore dei termini noti, quindi restano sempre accesi, insieme ai resistori.

Valgono Thévenin e Norton, ma la resistenza equivalente va calcolata in un altro modo (sotto).

Esempio. Un GIT e un GIC alimentano una rete con un pilotato: l'effetto del solo GIT (GIC aperto) è $i' = 1\ \mathrm A$ , quello del solo GIC (GIT in cortocircuito) è $i'' = 0{,}5\ \mathrm A$ , con il pilotato sempre acceso; in totale $i = 1{,}5\ \mathrm A$ .

Proprietà (la porta 1 del pilotato non si scrive). La porta 1 di un pilotato è un cortocircuito o un circuito aperto che coincide con un lato già presente (il filo in cui scorre la corrente di controllo, o i due nodi tra cui si misura la tensione di controllo). Non serve aggiungerla: basta usare la sua grandezza, che è già una grandezza della rete.

Esempio. Con $e = 6\ \mathrm V$ , $R_1 = 3\ \Omega$ e un GTPC con $r = 2\ \Omega$ : $i_2 = 6/3 = 2\ \mathrm A$ e $v_4 = r\,i_2 = 4\ \mathrm V$ , senza scrivere la porta 1.

Principio (metodo generale per le reti con generatori pilotati).

Trattare il pilotato come un generatore indipendente del suo tipo (GIT se impone una tensione, GIC se impone una corrente) e scrivere le equazioni con il metodo scelto (nodi, anelli, Kirchhoff).

Aggiungere l'equazione di controllo: esprimere la grandezza di controllo ( $V_{R2}$ , $I_x$ , …) con le incognite del metodo (potenziali di nodo o correnti di anello).

Sostituire e risolvere.

Esempio. Un nodo con un resistore da $10\ \Omega$ verso massa, un GIC entrante da $2\ \mathrm A$ e un GCPT con $g = 0{,}05\ \mathrm S$ pilotato dalla tensione $u_1$ dello stesso nodo che immette la corrente $g\,u_1$ : la LKC dà $0{,}1\,u_1 = 2 + 0{,}05\,u_1$ , cioè $u_1 = 40\ \mathrm V$ .

Formula (resistenza equivalente con il generatore di prova). 1. Generatore di prova. Si spengono i generatori indipendenti (GIT $\to$ cortocircuito, GIC $\to$ aperto), i pilotati restano. Si collega alla porta un generatore di prova:

un GIT $E^* = V^*$ , e si calcola la corrente $I^*$ che entra nella rete;

oppure un GIC $J^* = I^*$ , e si calcola la tensione $V^*$ .

Con $V^*$ e $I^*$ in convenzione dell'utilizzatore per la rete (la corrente entra dal $+$ ):

$R_{eq} = \frac{V^*}{I^*}$

Esempio. Un resistore da $10\ \Omega$ in parallelo a un GCPT che, con $g = 0{,}05\ \mathrm S$ , porta alla porta la corrente $g\,V^*$ in verso opposto a $I^*$ : $I^* = V^*/10 - 0{,}05\,V^* = 0{,}05\,V^*$ , quindi $R_{eq} = V^*/I^* = 20\ \Omega$ , maggiore di $10\ \Omega$ .

Formula (resistenza equivalente dal rapporto tra tensione a vuoto e corrente di cortocircuito). 2. Tensione a vuoto e corrente di cortocircuito. Se la rete funziona sia a vuoto sia in cortocircuito, con i generatori indipendenti accesi:

$R_{eq} = \frac{v_0}{i_{cc}}$

con $v_0$ e $i_{cc}$ nella convenzione del generatore (la corrente di cortocircuito esce dal morsetto con il $+$ di $v_0$ ). È comodo quando $v_0$ serve comunque per Thévenin. Non funziona se la rete non ha generatori indipendenti (verrebbe $0/0$ ): lì resta solo il generatore di prova.

Esempio. Con $v_0 = 8\ \mathrm V$ e $i_{cc} = 2\ \mathrm A$ si ha $R_{eq} = 8/2 = 4\ \Omega$ .

IX. Componenti dinamici

Condensatore

Definizione (condensatore ideale: capacità e legge costitutiva). Se la geometria non cambia e il dielettrico è lineare, la carica sull'armatura A è proporzionale alla tensione:

$q(t) = C\, v(t)$

La costante positiva $C$ è la capacità. Si misura in farad ( $1\ \mathrm F = 1\ \mathrm C / \mathrm V$ ). Un farad è enorme: in pratica si usano $\mathrm{mF}$ , $\mu\mathrm F = 10^{-6}\ \mathrm F$ , $\mathrm{nF} = 10^{-9}\ \mathrm F$ , $\mathrm{pF} = 10^{-12}\ \mathrm F$ .

La corrente che entra dal terminale A è la rapidità con cui cresce la carica su A: $i = \frac{dq}{dt}$ . Sostituendo $q = Cv$ , con la convenzione dell'utilizzatore:

$\boxed{\;i(t) = C\,\frac{dv(t)}{dt}\;}$

Esempio. Su $C = 1\ \mu\mathrm F$ una tensione che cresce di $1\ \mathrm V$ ogni millisecondo ( $dv/dt = 10^{3}\ \mathrm{V/s}$ ) dà $i = 10^{-6} \cdot 10^{3} = 1\ \mathrm{mA}$ ; a tensione costante $i = 0$ .

Formula (memoria del condensatore). Integrando l'equazione si esprime la tensione in funzione della corrente:

$v(t) = v(t_0) + \frac{1}{C} \int_{t_0}^{t} i(\tau)\, d\tau$

Esempio. Con $C = 2\ \mu\mathrm F$ , $v(0) = 1\ \mathrm V$ e una corrente costante $i = 4\ \mu\mathrm A$ per $1\ \mathrm s$ : $v = 1 + \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 1}{2 \cdot 10^{-6}} = 3\ \mathrm V$ .

Proprietà (continuità della tensione del condensatore). Se la corrente è limitata, la tensione è continua. Infatti tra un istante appena prima ( $t_0^-$ ) e uno appena dopo ( $t_0^+$ ):

$v(t_0^+) = v(t_0^-) + \frac{1}{C} \int_{t_0^-}^{t_0^+} i(\tau)\, d\tau \;\longrightarrow\; v(t_0^-)$

perché l'integrale di una funzione limitata su un intervallo che tende a zero tende a zero. In parole: per far saltare di colpo la tensione bisognerebbe portare una quantità finita di carica in un tempo nullo, cioè una corrente infinita.

Esempio. Una corrente a onda quadra ( $+i_1$ e $-i_1$ alternati, ogni volta per lo stesso tempo) su un condensatore inizialmente scarico. Dove $i > 0$ la tensione cresce linearmente (pendenza $i_1/C$ ), dove $i < 0$ decresce: la tensione è un'onda triangolare, continua anche negli istanti in cui la corrente salta.

Grafico interattivo: Tensione (normalizzata) su un condensatore alimentato da un'onda quadra di corrente

Formula (energia immagazzinata nel condensatore). Il risultato dipende solo dalla tensione finale, non da come ci si è arrivati. Se poi il condensatore torna scarico ( $v_3 = 0$ ), il lavoro totale da $t_1$ a $t_3$ è $\frac12 C \cdot 0 - 0 = 0$ : tutto il lavoro entrato è stato restituito, senza perdite. Non è stato dissipato ma immagazzinato, come energia del campo elettrico:

$\boxed{\;W_C(t) = \frac12\, C\, v^2(t)\;} \quad [\mathrm J]$

Esempio numerico. $C = 100\ \mu\mathrm F$ caricato a $v = 20\ \mathrm V$ : $W_C = \frac12 \cdot 10^{-4} \cdot 400 = 0{,}02\ \mathrm J$ , e la carica è $q = C v = 2\ \mathrm{mC}$ .

Formula (condensatori in parallelo). Parallelo (stessa tensione): le correnti si sommano, $i = C_1 \frac{dv}{dt} + C_2 \frac{dv}{dt}$ , quindi

$C_p = C_1 + C_2 + \dots + C_N$

Esempio. $C_1 = 10\ \mu\mathrm F$ e $C_2 = 22\ \mu\mathrm F$ in parallelo danno $C_p = 32\ \mu\mathrm F$ .

Formula (condensatori in serie). Serie (stessa corrente): le tensioni si sommano, $v = v_1(t_0) + v_2(t_0) + \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right) \int i\, d\tau$ , quindi

$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_N}, \qquad C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \ \text{(due condensatori)}$

Esempio. Due condensatori da $10\ \mu\mathrm F$ in serie danno $C_s = \frac{10 \cdot 10}{10 + 10} = 5\ \mu\mathrm F$ .

Formula (capacità di un condensatore piano). Capacità di un condensatore piano. Armature di area $S$ a distanza $d$ , dielettrico lineare omogeneo con permittività $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$ ( $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm F/\mathrm m$ ):

$C = \frac{\varepsilon S}{d}$

Esempio. Armature di area $S = 100\ \mathrm{cm^2} = 10^{-2}\ \mathrm{m^2}$ a $d = 1\ \mathrm{mm}$ nel vuoto: $C = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{10^{-2}}{10^{-3}} = 8{,}85 \cdot 10^{-11}\ \mathrm F \approx 88{,}5\ \mathrm{pF}$ .

Induttore

Definizione (induttore ideale: induttanza e legge costitutiva). Se la geometria non cambia e il nucleo è lineare, il flusso concatenato con l'avvolgimento è proporzionale alla corrente:

$\varphi(t) = L\, i(t)$

La costante positiva $L$ è l'induttanza, in henry ( $1\ \mathrm H = 1\ \mathrm{Wb}/\mathrm A = 1\ \mathrm{V \cdot s / A}$ ). Valori tipici: da $\mu\mathrm H$ (radiofrequenza) a qualche henry (con nucleo di ferro).

Se la corrente varia, varia il flusso e per la legge di Faraday-Neumann nasce una f.e.m. indotta. La tensione ai morsetti, con la convenzione dell'utilizzatore, è l'opposto della f.e.m. indotta, $v = d\varphi/dt$ :

$\boxed{\;v(t) = L\,\frac{di(t)}{dt}\;}$

Esempio. Con $L = 10\ \mathrm{mH}$ e una corrente che cresce di $1\ \mathrm A$ in $1\ \mathrm{ms}$ ( $di/dt = 10^{3}\ \mathrm{A/s}$ ): $v = 10^{-2} \cdot 10^{3} = 10\ \mathrm V$ .

Formula (memoria dell'induttore). $i(t) = i(t_0) + \frac{1}{L} \int_{t_0}^{t} v(\tau)\, d\tau$

La corrente dipende da tutta la storia della tensione, riassunta nella condizione iniziale $i(t_0)$ .

Esempio. Con $L = 2\ \mathrm H$ , $i(0) = 1\ \mathrm A$ e una tensione costante $v = 4\ \mathrm V$ per $1\ \mathrm s$ : $i = 1 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 3\ \mathrm A$ .

Proprietà (continuità della corrente dell'induttore). Se la tensione è limitata, la corrente è continua: $i(t_0^+) = i(t_0^-)$ , perché l'integrale di una funzione limitata su un intervallo nullo è zero.

Nei transitori: la corrente dell'induttore subito dopo la manovra è uguale a quella subito prima, $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ . La tensione invece può saltare.

Esempio. In un induttore percorso da $2\ \mathrm A$ scatta un interruttore: subito dopo la manovra $i_L(0^+) = 2\ \mathrm A$ , mentre la tensione ai suoi capi può saltare.

Formula (energia immagazzinata nell'induttore). Il lavoro dipende solo dalla corrente finale e viene restituito per intero quando la corrente torna a zero: è energia del campo magnetico immagazzinata,

$\boxed{\;W_L(t) = \frac12\, L\, i^2(t)\;} \quad [\mathrm J]$

L'induttore è passivo, la potenza entrante è $p = \frac{d W_L}{dt}$ e la variabile di stato è la corrente.

Esempio numerico. $L = 50\ \mathrm{mH}$ con $i = 4\ \mathrm A$ : $W_L = \frac12 \cdot 0{,}05 \cdot 16 = 0{,}4\ \mathrm J$ .

Formula (induttori in serie). Serie (stessa corrente, tensioni che si sommano): $v = L_1 \frac{di}{dt} + L_2 \frac{di}{dt}$ , quindi

$L_s = L_1 + L_2 + \dots + L_N$

Esempio. $L_1 = 10\ \mathrm{mH}$ e $L_2 = 15\ \mathrm{mH}$ in serie danno $L_s = 25\ \mathrm{mH}$ .

Formula (induttori in parallelo). Parallelo (stessa tensione, correnti che si sommano): $i = i_1(t_0) + i_2(t_0) + \left( \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \right) \int v\, d\tau$ , quindi

$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L_1} + \dots + \frac{1}{L_N}, \qquad L_p = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}\ \text{(due induttori)}$

Esempio. Due induttori da $10\ \mathrm{mH}$ in parallelo danno $L_p = \frac{10 \cdot 10}{20} = 5\ \mathrm{mH}$ .

Formule per geometrie semplici ( $\mu = \mu_r \mu_0$ , $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ , $S = \pi a^2$ area di una spira):

toroide di raggio medio $R$ (sottile, $a \ll R$ ): $\ L = \dfrac{\mu N^2 S}{2\pi R}$ ;

solenoide di lunghezza $h$ ( $a \ll h$ ): $\ L \approx \dfrac{\mu N^2 S}{h}$ .

Esempio. Solenoide in aria con $N = 500$ , $S = 1\ \mathrm{cm^2}$ e $h = 10\ \mathrm{cm}$ : $L = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 500^2 \cdot 10^{-4}}{0{,}1} \approx 0{,}31\ \mathrm{mH}$ .

X. Transitori del primo ordine

Regime variabile, istanti critici e condizioni iniziali

Proprietà (continuità delle variabili di stato). Nelle reti che si studiano normalmente, all'istante critico tutte le tensioni e correnti restano limitate (possono saltare di una quantità finita, ma non diventare infinite). Allora, per le proprietà viste:

$\boxed{\;v_C(0^+) = v_C(0^-), \qquad i_L(0^+) = i_L(0^-)\;}$

la tensione di ogni condensatore e la corrente di ogni induttore (le variabili di stato) sono continue;

tutte le altre grandezze possono saltare: la corrente del condensatore, la tensione dell'induttore, le tensioni e correnti dei resistori, dei generatori, degli interruttori.

Esempio. Con $v_C(0^-) = 6\ \mathrm V$ e $i_L(0^-) = 2\ \mathrm A$ prima della manovra, subito dopo si ha $v_C(0^+) = 6\ \mathrm V$ e $i_L(0^+) = 2\ \mathrm A$ , mentre la tensione sul resistore in serie può saltare.

Grafico interattivo: Carica di un condensatore con E = 10 V, interruttore chiuso in t = 0 (t in unità di T = RC): la tensione v_C, variabile di stato, è continua; la tensione v_R sul resistore salta da 0 a 10 V

Proprietà (condensatori collegati a tensioni diverse: si conserva la carica). Esempi di maglia capacitiva.

Un condensatore carico a $V_0$ viene collegato da un interruttore a un GIT $E \ne V_0$ : subito dopo la LKT impone $v_C = E$ , quindi la tensione salta.

Due condensatori carichi a $V_1 \ne V_2$ vengono collegati in parallelo. Le tensioni devono diventare uguali. Poiché la corrente che esce da uno entra nell'altro, la carica totale si conserva: $C_1 V_1 + C_2 V_2 = (C_1 + C_2) V_f$ , cioè

$v_{C1}(0^+) = v_{C2}(0^+) = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$

Dualmente, due induttori con correnti $I_1 \ne I_2$ messi in serie aprendo un interruttore si portano a $\frac{L_1 I_1 + L_2 I_2}{L_1 + L_2}$ (si conserva il "flusso totale").

Esempio. $C_1 = 10\ \mu\mathrm F$ carico a $V_1 = 12\ \mathrm V$ collegato in parallelo a $C_2 = 5\ \mu\mathrm F$ scarico: $v_{C1}(0^+) = v_{C2}(0^+) = \frac{10 \cdot 12 + 5 \cdot 0}{10 + 5} = 8\ \mathrm V$ .

Definizione (gradino unitario). Il gradino unitario (funzione di Heaviside) vale

$u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t > 0 \end{cases}$

ed è non definito in $t = 0$ . $u(t - t_0)$ è lo stesso gradino spostato in $t_0$ . Con il gradino si descrive un generatore che si accende in $t = 0$ : $e(t) = E\, u(t)$ .

Esempio. Un generatore da $5\ \mathrm V$ che si accende in $t = 0$ è $e(t) = 5\,u(t)$ : vale $0$ per $t < 0$ e $5\ \mathrm V$ per $t > 0$ .

Definizione (impulso unitario). L'impulso unitario (delta di Dirac) $\delta(t)$ è nullo per $t \ne 0$ , "infinito" in $t = 0$ , con area unitaria: $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\, dt = 1$ . È la derivata del gradino: $\delta(t) = \frac{d u(t)}{dt}$ .

Esempio. Un GIT $E\,u(t)$ con $E = 5\ \mathrm V$ su un condensatore scarico da $2\ \mu\mathrm F$ dà $i_C = C E\,\delta(t)$ , un impulso di area $CE = 10\ \mu\mathrm C$ .

Circuiti del primo ordine (RC e RL)

Formula (carica di un condensatore scarico attraverso un resistore, interruttore chiuso in t = 0). $\boxed{\;v_C(t) = E\left(1 - e^{-t/RC}\right), \qquad i(t) = C\frac{dv_C}{dt} = \frac{E}{R}\, e^{-t/RC}\;} \qquad (t > 0)$

Esempio. Con $E = 10\ \mathrm V$ , $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ e $C = 100\ \mu\mathrm F$ si ha $T = RC = 0{,}1\ \mathrm s$ : $i(0^+) = E/R = 10\ \mathrm{mA}$ e $v_C(T) = 10\,(1 - e^{-1}) \approx 6{,}32\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Carica: v_C / E in funzione di t / T

Formula (scarica di un condensatore attraverso un resistore). $\boxed{\;v_C(t) = V_0\, e^{-t/RC}, \qquad i(t) = -\frac{V_0}{R}\, e^{-t/RC}\;}$

Esempio. Con $V_0 = 10\ \mathrm V$ , $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ e $C = 100\ \mu\mathrm F$ : $i(0^+) = -V_0/R = -10\ \mathrm{mA}$ e dopo $2T = 0{,}2\ \mathrm s$ la tensione è $v_C = 10\,e^{-2} \approx 1{,}35\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Scarica: v_C / V0 in funzione di t / T

Formula (carica di un induttore scarico attraverso un resistore). $\boxed{\;i_L(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-t\,R/L}\right), \qquad v_L(t) = L\frac{di_L}{dt} = E\, e^{-t\, R/L}\;}$

Esempio. Con $E = 12\ \mathrm V$ , $R = 4\ \Omega$ e $L = 20\ \mathrm{mH}$ : $T = L/R = 5\ \mathrm{ms}$ , $i_L(\infty) = 3\ \mathrm A$ e $i_L(T) = 3\,(1 - e^{-1}) \approx 1{,}90\ \mathrm A$ .

Formula (scarica di un induttore su un resistore). $\boxed{\;i_L(t) = I_0\, e^{-t\,R/L}, \qquad v_L(t) = -R I_0\, e^{-t\, R/L}\;}$

Esempio. Con $I_0 = 2\ \mathrm A$ , $R = 10\ \Omega$ e $L = 20\ \mathrm{mH}$ : $T = 2\ \mathrm{ms}$ e la tensione dell'induttore salta a $v_L(0^+) = -R\,I_0 = -20\ \mathrm V$ .

Formula (risposta di un circuito del primo ordine con generatori costanti). Con generatori costanti la soluzione particolare è costante e coincide con la soluzione di regime stazionario per $t > 0$ , il valore finale $x_\infty$ :

$\boxed{\;x(t) = x_\infty + \big[x(0^+) - x_\infty\big]\, e^{-t/T}\;}$

Servono solo tre numeri:

Numero Come si trova

$x(0^+)$ continuità: $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ o $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ , dalla rete per $t < 0$ a regime (C aperto, L in corto)

$x_\infty$ rete per $t > 0$ a regime stazionario (C aperto, L in corto)

$T$ $T = R_{eq} C$ oppure $T = L / R_{eq}$ , con $R_{eq}$ = resistenza vista dai morsetti del componente dinamico, nella rete per $t > 0$ , con i generatori indipendenti spenti

Numero	Come si trova
$x(0^+)$	continuità: $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ o $i_L(0^+) = i_L(0^-)$ , dalla rete per $t < 0$ a regime (C aperto, L in corto)
$x_\infty$	rete per $t > 0$ a regime stazionario (C aperto, L in corto)
$T$	$T = R_{eq} C$ oppure $T = L / R_{eq}$ , con $R_{eq}$ = resistenza vista dai morsetti del componente dinamico, nella rete per $t > 0$ , con i generatori indipendenti spenti

Esempio. Con $x(0^+) = 2$ , $x_\infty = 8$ e $T = 2\ \mathrm{ms}$ : $x(t) = 8 - 6\,e^{-t/T}$ , che a $t = T$ vale $8 - 6\,e^{-1} \approx 5{,}79$ .

Grafico interattivo: x(t) = x∞ + [x(0⁺) − x∞] e^(−t/T) con x(0⁺) = 2, x∞ = 8 e T = 2 ms: parte da 2, a t = T ha percorso il 63,2% del salto (vale ≈ 5,79) e la tangente in 0 incontra il valore finale proprio in t = T

Formula (tempo per raggiungere un valore assegnato). Tempo per raggiungere un valore. Da $x(t_1) = x_\infty + [x(0) - x_\infty]\, e^{-t_1/T}$ :

$t_1 = T \ln \frac{x(0) - x_\infty}{x(t_1) - x_\infty}$

Esempio. Carica con $x(0) = 0$ , $x_\infty = 10\ \mathrm V$ e $T = 0{,}1\ \mathrm s$ : per arrivare a $9\ \mathrm V$ servono $t_1 = 0{,}1\,\ln\frac{0 - 10}{9 - 10} = 0{,}1\ln 10 \approx 0{,}23\ \mathrm s$ .

XI. Transitori del secondo ordine e oltre

Circuiti del secondo ordine (RLC)

Formula (equazione del circuito RLC serie). Dividendo per $LC$ :

$\boxed{\;\frac{d^2 v_C}{dt^2} + 2\alpha\, \frac{dv_C}{dt} + \omega_0^2\, v_C = \omega_0^2\, E, \qquad \alpha = \frac{R}{2L}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\;}$

$\alpha$ è la costante di smorzamento (in $\mathrm s^{-1}$ ): misura quanto il resistore "frena" il circuito.

$\omega_0$ è la pulsazione di risonanza (in $\mathrm{rad/s}$ ): la pulsazione con cui il circuito oscillerebbe senza resistore. Tornerà nella risonanza.

Esempio. Con $L = 25\ \mathrm{mH}$ , $C = 10\ \mu\mathrm F$ e $R = 200\ \Omega$ : $\alpha = R/2L = 4000\ \mathrm s^{-1}$ e $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 2000\ \mathrm{rad/s}$ .

Formula (equazione del circuito RLC parallelo). Duale: un GIC costante $J$ alimenta in $t = 0$ il parallelo di $R$ (conduttanza $G$ ), $L$ e $C$ . Stessa tensione $v$ su tutti; LKC: $G v + i_L + C \frac{dv}{dt} = J$ con $v = L \frac{di_L}{dt}$ :

$\frac{d^2 i_L}{dt^2} + 2\alpha\, \frac{di_L}{dt} + \omega_0^2\, i_L = \omega_0^2\, J, \qquad \alpha = \frac{G}{2C} = \frac{1}{2RC}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Esempio. Con $R = 100\ \Omega$ , $C = 10\ \mu\mathrm F$ e $L = 25\ \mathrm{mH}$ : $\alpha = \frac{1}{2RC} = 500\ \mathrm s^{-1}$ e $\omega_0 = 2000\ \mathrm{rad/s}$ (circuito sottosmorzato).

Proprietà (radici e tre casi di smorzamento del circuito RLC). Omogenea. Si cerca $e^{st}$ : sostituendo si trova il polinomio caratteristico

$s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$

Il segno del discriminante $\Delta = \alpha^2 - \omega_0^2$ dà tre casi.

Caso Condizione Radici Soluzione dell'omogenea

sovrasmorzato $\alpha > \omega_0$ reali, negative, distinte $A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$

criticamente smorzato $\alpha = \omega_0$ reale doppia $-\alpha$ $e^{-\alpha t}(A_1 + A_2 t)$

sottosmorzato $0 < \alpha < \omega_0$ complesse $-\alpha \pm j\omega_s$ $e^{-\alpha t}\,[A_1 \cos \omega_s t + A_2 \sin \omega_s t]$

Caso	Condizione	Radici	Soluzione dell'omogenea
sovrasmorzato	$\alpha > \omega_0$	reali, negative, distinte	$A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}$
criticamente smorzato	$\alpha = \omega_0$	reale doppia $-\alpha$	$e^{-\alpha t}(A_1 + A_2 t)$
sottosmorzato	$0 < \alpha < \omega_0$	complesse $-\alpha \pm j\omega_s$	$e^{-\alpha t}\,[A_1 \cos \omega_s t + A_2 \sin \omega_s t]$

Esempio. Con $\alpha = 500\ \mathrm s^{-1} < \omega_0 = 2000\ \mathrm{rad/s}$ (sottosmorzato) le radici sono $s_{1,2} = -500 \pm j\,\omega_s$ con $\omega_s = \sqrt{2000^2 - 500^2} \approx 1936{,}5\ \mathrm{rad/s}$ .

Formula (condizioni iniziali per il secondo ordine). Un'equazione del secondo ordine ha due costanti, quindi servono due condizioni in $0^+$ : il valore dell'incognita e quello della sua derivata. La derivata non è data direttamente, ma si ottiene dall'altra variabile di stato. Nel serie, con incognita $v_C$ :

$v_C(0^+) = v_C(0^-), \qquad \left.\frac{dv_C}{dt}\right|_{0^+} = \frac{i_C(0^+)}{C} = \frac{i_L(0^+)}{C}$

(nel serie la corrente del condensatore è quella dell'induttore, che è continua). Nel parallelo, con incognita $i_L$ : $\dot i_L(0^+) = v_L(0^+)/L = v_C(0^+)/L$ .

Esempio. Nel serie con $C = 10\ \mu\mathrm F$ e $i_L(0^+) = 0$ si ha $\dot v_C(0^+) = 0$ ; con $i_L(0^+) = 0{,}5\ \mathrm A$ sarebbe $\dot v_C(0^+) = 0{,}5/10^{-5} = 5 \cdot 10^{4}\ \mathrm{V/s}$ .

Formula (RLC serie sovrasmorzato: E = 10 V, L = 25 mH, C = 10 µF, R = 200 Ω). $v_C(t) = 10 - 10{,}77\, e^{-535{,}9\, t} + 0{,}77\, e^{-7464{,}1\, t}\ \mathrm V, \qquad i_L(t) = C\frac{dv_C}{dt} = 0{,}0577\,\left(e^{-535{,}9\, t} - e^{-7464{,}1\, t}\right)\ \mathrm A$

Esempio. Dopo $t = 1\ \mathrm{ms}$ la tensione è $v_C = 10 - 10{,}77\,e^{-0{,}536} + 0{,}77\,e^{-7{,}464} \approx 3{,}7\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Sovrasmorzato: v_C [V] in funzione di t [ms]

Formula (RLC serie criticamente smorzato: R = 100 Ω). $v_C(t) = 10 - 10\, e^{-2000 t} - 20\,000\, t\, e^{-2000 t}\ \mathrm V, \qquad i_L(t) = 400\, t\, e^{-2000 t}\ \mathrm A$

Esempio. Dopo $t = 1\ \mathrm{ms}$ la tensione è $v_C = 10 - 10\,e^{-2} - 20\,e^{-2} \approx 5{,}94\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Critico: v_C [V] in funzione di t [ms]

Formula (RLC serie sottosmorzato: R = 25 Ω). $v_C(t) = 10 + e^{-500 t}\,[-10 \cos(1936{,}5\, t) - 2{,}582 \sin(1936{,}5\, t)]\ \mathrm V, \qquad i_L(t) = 0{,}2066\, e^{-500 t} \sin(1936{,}5\, t)\ \mathrm A$

Esempio. Il primo massimo è a $t = \pi/\omega_s = 1{,}62\ \mathrm{ms}$ e vale $v_C = 10 + 10\,e^{-\alpha\pi/\omega_s} = 10 + 10\,e^{-0{,}811} \approx 14{,}4\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Sottosmorzato: v_C [V] in funzione di t [ms]

Formula (equazioni di stato dell'RLC serie). Invece di un'equazione del secondo ordine in una sola incognita, si possono scrivere due equazioni del primo ordine in entrambe le variabili di stato. Per l'RLC serie con un ingresso $e(t)$ qualsiasi, isolando le derivate:

$\begin{cases} \dfrac{dv_C}{dt} = \dfrac{1}{C}\, i_L \\[2mm] \dfrac{di_L}{dt} = -\dfrac{1}{L}\, v_C - \dfrac{R}{L}\, i_L + \dfrac{1}{L}\, e(t) \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \dot{\mathbf x} = [A]\,\mathbf x + [B]\, u$

con $\mathbf x = \begin{bmatrix} v_C \\ i_L \end{bmatrix}$ , $[A] = \begin{bmatrix} 0 & 1/C \\ -1/L & -R/L \end{bmatrix}$ , $[B] = \begin{bmatrix} 0 \\ 1/L \end{bmatrix}$ , $u = e(t)$ .

Esempio. Con $R = 25\ \Omega$ , $L = 25\ \mathrm{mH}$ e $C = 10\ \mu\mathrm F$ : $[A] = \begin{bmatrix} 0 & 10^{5} \\ -40 & -1000 \end{bmatrix}$ , il cui polinomio caratteristico è $s^2 + 1000\,s + 4 \cdot 10^{6}$ , con radici $-500 \pm j\,1936\ \mathrm s^{-1}$ .

Equazioni di stato e circuiti di ordine superiore

Definizione (equazioni di stato). Il sistema completo della rete (LKC, LKT ed equazioni dei bipoli) è fatto di equazioni algebriche e di $n$ equazioni differenziali del primo ordine (una per ogni componente dinamico). Per l'RLC lo si riduce a una sola equazione di ordine 2 in una sola incognita; per ordini più alti questa strada è impraticabile. Conviene invece ridurlo a $n$ equazioni del primo ordine nelle sole variabili di stato:

$\dot{\mathbf x} = [A]\, \mathbf x + [B]\, \mathbf u, \qquad \mathbf x = \begin{bmatrix} v_{C1} \\ \vdots \\ i_{L1} \\ \vdots \end{bmatrix}, \quad \mathbf u = \begin{bmatrix} e_1 \\ \vdots \\ j_1 \\ \vdots \end{bmatrix}$

$[A]$ è la matrice di stato ( $n \times n$ ), $[B]$ la matrice degli ingressi.

Esempio. Un circuito con $2$ condensatori e $1$ induttore indipendenti ha ordine $n = 3$ : $\mathbf x = [v_{C1},\ v_{C2},\ i_{L3}]^T$ e $[A]$ è una matrice $3 \times 3$ .

Teorema (modi naturali e autovalori). In evoluzione libera ( $\mathbf u = 0$ ) si cercano soluzioni della forma $\mathbf x = \mathbf U\, e^{st}$ . Sostituendo: $s\, \mathbf U = [A]\, \mathbf U$ , cioè $s$ è un autovalore di $[A]$ e $\mathbf U$ un suo autovettore (vedi Algebra Lineare). Gli autovalori sono le radici di

$\det\big([A] - s\,[I]\big) = 0$

che coincide con il polinomio caratteristico dell'equazione di ordine $n$ della rete. La soluzione libera è una combinazione di modi naturali:

$\mathbf x(t) = \sum_{i=1}^{n} K_i\, \mathbf U_i\, e^{s_i t}$

Esempio. Nel circuito del terzo ordine dell'esempio gli autovalori sono $s_1 = -1910{,}5\ \mathrm s^{-1}$ e $s_{2,3} = -124{,}7 \pm j\,712{,}6\ \mathrm s^{-1}$ : un modo che si spegne in circa $0{,}5\ \mathrm{ms}$ e un'oscillazione smorzata a $712{,}6\ \mathrm{rad/s}$ .

Grafico interattivo: v_C1 [V] in funzione di t [ms] (circuito del terzo ordine)

Definizione (stabilità e stabilità assoluta).

Definizione Condizione sugli autovalori Significato

stabile tutte le parti reali $\le 0$ l'evoluzione libera resta limitata

assolutamente stabile (dissipativo) tutte le parti reali $< 0$ ogni modo si spegne; l'energia immagazzinata tende a zero

instabile almeno una parte reale $> 0$ almeno un modo cresce senza limite

Definizione	Condizione sugli autovalori	Significato
stabile	tutte le parti reali $\le 0$	l'evoluzione libera resta limitata
assolutamente stabile (dissipativo)	tutte le parti reali $< 0$	ogni modo si spegne; l'energia immagazzinata tende a zero
instabile	almeno una parte reale $> 0$	almeno un modo cresce senza limite

Esempio. Un RLC serie con $R = 25\ \Omega$ ha autovalori $-500 \pm j\,1936\ \mathrm s^{-1}$ (parte reale negativa): assolutamente stabile. Con $R = 0$ sono $\pm j\,2000\ \mathrm s^{-1}$ : solo stabile.

Formula (metodo di Eulero esplicito). Con ingressi qualsiasi, o per circuiti grandi, le equazioni di stato si integrano numericamente. Il metodo più semplice è Eulero esplicito: si approssima la derivata con un rapporto incrementale su un passo $\Delta t$ piccolo rispetto alle costanti di tempo,

$\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k + \Delta t\,\big([A]\, \mathbf x_k + [B]\, \mathbf u_k\big)$

Esempio. Per $\dot x = -x/T$ con $T = 1\ \mathrm{ms}$ , $x_0 = 1$ e $\Delta t = 0{,}1\ \mathrm{ms}$ : $x_1 = 1 + 10^{-4} \cdot (-10^{3}) = 0{,}9$ , contro il valore esatto $e^{-0{,}1} \approx 0{,}905$ .

XII. Regime sinusoidale e fasori

Sinusoidi e fasori

Definizione (sinusoide: ampiezza, pulsazione e fase). $a(t) = A_M \cos(\omega t + \varphi_a)$

$A_M \ge 0$ è l'ampiezza (valore massimo);

$\omega > 0$ è la pulsazione in $\mathrm{rad/s}$ ; il periodo è $T = 2\pi/\omega$ e la frequenza $f = 1/T = \omega / 2\pi$ in hertz ( $\mathrm{Hz} = \mathrm s^{-1}$ );

$\varphi_a$ è la fase in radianti, presa nell'intervallo $(-\pi, \pi]$ .

Esempio. La rete elettrica a $f = 50\ \mathrm{Hz}$ ha $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314\ \mathrm{rad/s}$ e $T = 20\ \mathrm{ms}$ .

Definizione (valore efficace). Il valore efficace (in inglese rms, root mean square) è la radice della media del quadrato su un periodo:

$A = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T a^2(t)\, dt}$

Per una sinusoide, usando $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (la media del secondo termine su un periodo è zero):

$A = \sqrt{\frac{A_M^2}{2}} = \frac{A_M}{\sqrt 2} \approx 0{,}707\, A_M$

Esempio. I $230\ \mathrm V$ della rete domestica sono un valore efficace: l'ampiezza è $A_M = 230\sqrt2 \approx 325\ \mathrm V$ .

Definizione (sfasamento). Due sinusoidi della stessa frequenza $a(t) = \sqrt2 A\cos(\omega t + \varphi_a)$ e $b(t) = \sqrt2 B\cos(\omega t + \varphi_b)$ differiscono per l'ampiezza e per una traslazione nel tempo. Lo sfasamento (o anticipo di fase) di $a$ rispetto a $b$ è

$\varphi_a - \varphi_b \quad \text{(riportato nell'intervallo } (-\pi, \pi] \text{ sommando o togliendo } 2\pi\text{)}$

e corrisponde a uno spostamento nel tempo $\Delta t = (\varphi_a - \varphi_b)/\omega$ .

Sfasamento $\varphi_a - \varphi_b$ Si dice che

$> 0$ $a$ è in anticipo su $b$ (raggiunge prima il massimo)

$< 0$ $a$ è in ritardo su $b$

$0$ sono in fase

$\pi$ sono in opposizione di fase

$\pi/2$ $a$ è in quadratura in anticipo su $b$

$-\pi/2$ $a$ è in quadratura in ritardo su $b$

Sfasamento $\varphi_a - \varphi_b$	Si dice che
$> 0$	$a$ è in anticipo su $b$ (raggiunge prima il massimo)
$< 0$	$a$ è in ritardo su $b$
$0$	sono in fase
$\pi$	sono in opposizione di fase
$\pi/2$	$a$ è in quadratura in anticipo su $b$
$-\pi/2$	$a$ è in quadratura in ritardo su $b$

Esempio. Se $\varphi_a - \varphi_b$ risulta $-5\pi/4$ , si somma $2\pi$ e lo sfasamento è $3\pi/4$ .

Grafico interattivo: Sfasamento: a(t) = cos(ωt + π/3) è in anticipo di π/3 su b(t) = cos(ωt): raggiunge il massimo un istante prima (Δt = (π/3)/ω). In ascissa ωt, in radianti

Definizione (fasore). Con la frequenza fissata, una sinusoide è individuata da due numeri: valore efficace $A$ e fase $\varphi_a$ . Anche un numero complesso è individuato da due numeri (modulo e argomento). Si associa allora a ogni sinusoide il fasore

$\boxed{\;a(t) = \sqrt2\, A \cos(\omega t + \varphi_a) \quad\longleftrightarrow\quad \bar A = A\, e^{j\varphi_a}\;}$

con modulo uguale al valore efficace e argomento uguale alla fase. La corrispondenza è biunivoca; per tornare alla sinusoide:

$a(t) = \mathrm{Re}\left[\sqrt2\, \bar A\, e^{j\omega t}\right]$

Esempio. Per $a(t) = 5\sqrt2 \cos(\omega t + \pi/4)$ il valore efficace è $5$ e la fase $\pi/4$ : $\bar A = 5\,e^{j\pi/4} \approx 3{,}54 + 3{,}54j$ .

Proprietà (operazioni sui fasori: somma, prodotto per una costante, derivata).

Nel tempo Sui fasori

$c(t) = a(t) \pm b(t)$ $\bar C = \bar A \pm \bar B$

$c(t) = k\, a(t)$ , $k$ reale $\bar C = k\, \bar A$

$c(t) = \dfrac{da}{dt}$ $\bar C = j\omega\, \bar A$

Nel tempo	Sui fasori
$c(t) = a(t) \pm b(t)$	$\bar C = \bar A \pm \bar B$
$c(t) = k\, a(t)$ , $k$ reale	$\bar C = k\, \bar A$
$c(t) = \dfrac{da}{dt}$	$\bar C = j\omega\, \bar A$

Esempio. Con $\bar A = 3$ e $\bar B = 2j$ : $\bar A + \bar B = 3 + 2j$ , di modulo $\sqrt{13} \approx 3{,}61 < 3 + 2$ . La derivata di $\bar A$ a $\omega = 314\ \mathrm{rad/s}$ è $j\omega \bar A = j\,942$ .

Grafico interattivo: Somma di fasori nel piano complesso: Ā = 3 e B̄ = 2j danno Ā + B̄ = 3 + 2j, di modulo √13 ≈ 3,61, che è minore di 3 + 2 = 5: i valori efficaci non si sommano

Formula (linearizzazione ai piccoli segnali). Il metodo funziona solo con componenti le cui equazioni sono compatibili con il regime sinusoidale (somme, prodotti per costanti, derivate). Un diodo, con $i = I_S\left(e^{v/\eta V_T} - 1\right)$ , non lo è: una tensione sinusoidale produce una corrente non sinusoidale. Se però la tensione varia poco attorno a un punto di lavoro $(v_0, i_0)$ , si approssima con la tangente (Taylor al primo ordine):

$i - i_0 \approx g_d\,(v - v_0), \qquad g_d = \left.\frac{di}{dv}\right|_{v_0}$

Per le piccole variazioni il diodo si comporta come un resistore di conduttanza $g_d$ (la conduttanza differenziale), e il regime sinusoidale torna applicabile.

Esempio. Un diodo con $I_S = 10^{-12}\ \mathrm A$ e $\eta V_T = 25\ \mathrm{mV}$ in $v_0 = 0{,}5\ \mathrm V$ ha $i_0 \approx 0{,}485\ \mathrm{mA}$ e $g_d = i_0/(\eta V_T) \approx 19{,}4\ \mathrm{mS}$ (circa $52\ \Omega$ ).

Impedenza e ammettenza

Formula (resistore in regime sinusoidale). $v = R i$ diventa, sui fasori,

$\bar V = R\, \bar I \qquad (\bar I = G\, \bar V)$

Esempio. Con $R = 10\ \Omega$ e $\bar I = 3\ \mathrm A$ si ha $\bar V = 30\ \mathrm V$ , in fase con la corrente.

Formula (induttore in regime sinusoidale). $v = L\, \frac{di}{dt}$ e la derivata diventa $j\omega$ :

$\bar V = j\omega L\, \bar I$

Esempio. Con $L = 20\ \mathrm{mH}$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$ è $X_L = \omega L = 20\ \Omega$ ; con $\bar I = 2\ \mathrm A$ la tensione è $\bar V = j\,20 \cdot 2 = j\,40\ \mathrm V$ , in anticipo di $\pi/2$ .

Formula (condensatore in regime sinusoidale). $i = C\, \frac{dv}{dt}$ :

$\bar I = j\omega C\, \bar V \qquad\Longleftrightarrow\qquad \bar V = \frac{1}{j\omega C}\, \bar I = -\frac{j}{\omega C}\, \bar I$

Esempio. Con $C = 25\ \mu\mathrm F$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$ è $X_C = -40\ \Omega$ ; con $\bar V = 100\ \mathrm V$ la corrente è $\bar I = j\omega C\,\bar V = j\,2{,}5\ \mathrm A$ , in anticipo di $\pi/2$ .

Grafico interattivo: CIVIL con i = cos ωt come riferimento: la tensione sull'induttore (L) anticipa la corrente di π/2, quella sul condensatore (C) è in ritardo di π/2. In ascissa ωt, in radianti

Definizione (impedenza). Per resistore, induttore e condensatore (e per ogni rete passiva fatta con essi, vista da due morsetti) vale una proporzionalità tra fasori:

$\boxed{\;\bar V = \dot Z\, \bar I\;}$

$\dot Z$ è l'impedenza (in ohm). È un numero complesso, ma non un fasore (non rappresenta una sinusoide), per questo ha il punto. In forma polare e cartesiana:

$\dot Z = \frac{\bar V}{\bar I} = \frac{V}{I}\, e^{j(\varphi_v - \varphi_i)} = Z\, e^{j\varphi} = R + jX$

il modulo $Z = V/I$ è il rapporto tra i valori efficaci;

l'argomento $\varphi$ è lo sfasamento della tensione rispetto alla corrente;

la parte reale $R = Z\cos\varphi$ è la resistenza, la parte immaginaria $X = Z\sin\varphi$ la reattanza.

Esempio. Un resistore da $3\ \Omega$ in serie a un induttore con $X_L = 4\ \Omega$ ha $\dot Z = 3 + 4j = 5\,e^{j53{,}1^\circ}\ \Omega$ ; con $\bar I = 2\ \mathrm A$ si ha $\bar V = 10\,e^{j53{,}1^\circ}\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Piano delle impedenze: 3 + 4j Ω è ohmico-induttiva (X > 0, φ ≈ +53°, Z = 5 Ω), 3 − 4j Ω è ohmico-capacitiva (X < 0, φ ≈ −53°); la parte reale R = 3 Ω è la stessa

Definizione (ammettenza). $\dot Y = \frac{1}{\dot Z} = \frac{\bar I}{\bar V} = Y e^{-j\varphi} = G + jB \qquad [\mathrm S]$

con conduttanza $G$ e suscettanza $B$ .

Esempio. L'impedenza $\dot Z = 5\,e^{j53{,}1^\circ}\ \Omega$ ha ammettenza $\dot Y = 0{,}2\,e^{-j53{,}1^\circ}\ \mathrm S$ .

Formula (conduttanza e suscettanza di un'impedenza complessa). Attenzione: $G \ne 1/R$ e $B \ne 1/X$ quando $\dot Z$ ha sia parte reale che immaginaria. Si razionalizza:

$\dot Y = \frac{1}{R + jX} = \frac{R - jX}{R^2 + X^2} \quad\Longrightarrow\quad G = \frac{R}{R^2 + X^2}, \quad B = \frac{-X}{R^2 + X^2}$

Esempio. $\dot Z = 10(1 - j)$ dà $\dot Y = \frac{1}{10(1-j)} = \frac{1 + j}{20}$ , quindi $G = B = 0{,}05\ \mathrm S$ , mentre $1/R = 0{,}1$ .

Proprietà (impedenza di un bipolo passivo). Un bipolo passivo non può erogare energia indefinitamente: su molti periodi l'energia entrante è $P \cdot nT$ , che con $P < 0$ crescerebbe in modulo senza limite superando qualunque energia immagazzinata. Quindi per un bipolo passivo la potenza attiva entrante è $P \ge 0$ . Per un'impedenza:

$\mathrm{Re}(\dot Z) \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$

Esempio. $\dot Z = 3 + 4j\ \Omega$ ha $\mathrm{Re}(\dot Z) = 3 > 0$ ed è passiva; $\dot Z = -3 + 4j\ \Omega$ (resistore attivo) non lo è.

Legge di Kirchhoff sui fasori (LKC e LKT). Una LKC $\sum \pm i_k(t) = 0$ è una somma di sinusoidi della stessa frequenza, quindi vale sui fasori:

$\sum \pm \bar I_k = 0 \quad \text{(per ogni nodo o taglio)}, \qquad \sum \pm \bar V_k = 0 \quad \text{(per ogni maglia)}$

Esempio. In una maglia R–L serie con $V_R = 30\ \mathrm V$ e $V_L = 40\ \mathrm V$ sfasate di $\pi/2$ , la tensione totale è $|30 + 40j| = 50\ \mathrm V$ , non $70\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Diagramma fasoriale della maglia R–L serie (corrente come riferimento): V̄_R = 30 V in fase con Ī, V̄_L = 40j V in quadratura in anticipo; V̄ = 30 + 40j ha modulo 50 V, non 70 V

XIII. Potenze in regime sinusoidale

Potenza in regime sinusoidale

Formula (potenza istantanea in regime sinusoidale). $p(t) = v(t)\, i(t) = 2VI \cos(\omega t + \varphi_v)\cos(\omega t + \varphi_i) = VI\cos\varphi + VI\cos(2\omega t + \varphi_v + \varphi_i)$

Una costante più una sinusoide di pulsazione doppia. Riscrivendo il secondo termine:

$p(t) = \underbrace{P\,[1 + \cos(2\omega t + 2\varphi_i)]}_{\ge 0 \text{ se } P \ge 0} \; - \; \underbrace{Q \sin(2\omega t + 2\varphi_i)}_{\text{media nulla}}$

Esempio. Con $V = 230\ \mathrm V$ , $I = 2\ \mathrm A$ e $\varphi = 60^\circ$ : $VI = 460\ \mathrm{VA}$ e $p(t) = 460 \cos 60^\circ + 460\cos(2\omega t + \varphi_v + \varphi_i) = 230 + 460\cos(2\omega t + \varphi_v + \varphi_i)\ \mathrm W$ .

Grafico interattivo: p(t) / VI per i tre bipoli elementari (ωt in ascissa): il resistore assorbe sempre (media 1), induttore e condensatore hanno media nulla e andamenti opposti

Definizione (potenza attiva). $\boxed{\;P = \frac{1}{T}\int_0^T p(t)\, dt = VI\cos\varphi\;} \qquad [\mathrm W]$

Significato. In un intervallo lungo rispetto al periodo ( $\Delta t \gg T$ ) l'energia entrante è $W \approx P\, \Delta t$ . Per questo la bolletta si paga in $\mathrm{kWh}$ di energia attiva.

Esempio. Con $V = 230\ \mathrm V$ , $I = 2\ \mathrm A$ e $\varphi = 60^\circ$ : $P = 230 \cdot 2 \cdot 0{,}5 = 230\ \mathrm W$ , cioè $0{,}23\ \mathrm{kWh}$ in un'ora.

Definizione (potenza complessa). $\boxed{\;\dot S = \bar V\, \bar I^{*} = VI\, e^{j\varphi} = P + jQ\;}$

dove $\bar I^*$ è il complesso coniugato di $\bar I$ . Il coniugato serve a ottenere la differenza delle fasi: $V e^{j\varphi_v} \cdot I e^{-j\varphi_i} = VI e^{j(\varphi_v - \varphi_i)}$ . La potenza complessa non è un fasore (non rappresenta una sinusoide), per questo si scrive con il punto.

Esempio. Con $\bar V = 230\ \mathrm V$ e $\bar I = 2\,e^{-j60^\circ}\ \mathrm A$ : $\dot S = \bar V\,\bar I^* = 460\,e^{j60^\circ} \approx 230 + j\,398\ \mathrm{VA}$ .

Definizione (potenza reattiva e potenza apparente). $Q = \mathrm{Im}(\dot S) = VI\sin\varphi \qquad [\mathrm{VAR}, \text{ volt-ampere reattivi}]$

$S = |\dot S| = VI = \sqrt{P^2 + Q^2} \qquad [\mathrm{VA}, \text{ volt-ampere}]$

$P$ , $Q$ e $S$ formano il triangolo delle potenze (cateti $P$ e $Q$ , ipotenusa $S$ , angolo $\varphi$ ). Le unità diverse ( $\mathrm W$ , $\mathrm{VAR}$ , $\mathrm{VA}$ ) sono dimensionalmente uguali, ma ricordano di che potenza si tratta.

Esempio. Con $\dot S = 230 + j\,398\ \mathrm{VA}$ : $P = 230\ \mathrm W$ , $Q = 398\ \mathrm{VAR}$ e $S = \sqrt{230^2 + 398^2} = 460\ \mathrm{VA}$ .

Definizione (fattore di potenza). $\cos\varphi = \frac{P}{S}$

adimensionale, tra 0 e 1 per un bipolo passivo. A parità di $P$ e di $V$ , la corrente è $I = \frac{P}{V\cos\varphi}$ : un fattore di potenza basso fa circolare più corrente per trasportare la stessa potenza attiva. È il motivo del rifasamento.

Esempio. Per portare $P = 2\ \mathrm{kW}$ a $230\ \mathrm V$ con $\cos\varphi = 0{,}8$ serve $I = \frac{2000}{230 \cdot 0{,}8} \approx 10{,}9\ \mathrm A$ , contro $8{,}7\ \mathrm A$ con $\cos\varphi = 1$ .

Formula (potenze di un'impedenza e dei bipoli elementari). Per un'impedenza $\dot Z = R + jX$ : $\dot S = \bar V \bar I^* = \dot Z \bar I \bar I^* = \dot Z I^2$ , quindi

$P = R\, I^2, \qquad Q = X\, I^2, \qquad S = Z\, I^2$

e, in termini di tensione, $\dot S = \bar V (\dot Y \bar V)^* = \dot Y^* V^2$ , cioè $P = G V^2$ , $Q = -B V^2$ .

Bipolo $P$ $Q$ Commento

resistore $R I^2 = V^2 / R$ $0$ assorbe solo potenza attiva

induttore $0$ $\omega L\, I^2 = \dfrac{V^2}{\omega L} > 0$ "assorbe" potenza reattiva

condensatore $0$ $-\omega C\, V^2 = -\dfrac{I^2}{\omega C} < 0$ "eroga" potenza reattiva

Bipolo	$P$	$Q$	Commento
resistore	$R I^2 = V^2 / R$	$0$	assorbe solo potenza attiva
induttore	$0$	$\omega L\, I^2 = \dfrac{V^2}{\omega L} > 0$	"assorbe" potenza reattiva
condensatore	$0$	$-\omega C\, V^2 = -\dfrac{I^2}{\omega C} < 0$	"eroga" potenza reattiva

Esempio. $\dot Z = 15 - j25\ \Omega$ percorsa da $I = 2\ \mathrm A$ : $P = 15 \cdot 4 = 60\ \mathrm W$ , $Q = -25 \cdot 4 = -100\ \mathrm{VAR}$ (capacitiva), $S = \sqrt{60^2 + 100^2} \approx 116{,}6\ \mathrm{VA}$ , $\cos\varphi = 60/116{,}6 \approx 0{,}51$ .

Grafico interattivo: Triangolo delle potenze dell'esempio: P = 60 W sull'asse reale, Q = −100 VAR verso il basso (carico capacitivo), S = 116,6 VA con φ ≈ −59° e cos φ ≈ 0,51

Teorema di Boucherot. In una rete in regime sinusoidale, prendendo la stessa convenzione per tutti i bipoli:

$\sum_{k=1}^{\ell} \dot S_k = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_k P_k = 0, \qquad \sum_k Q_k = 0$

Si conservano la potenza complessa, quella attiva e quella reattiva (separatamente). Si dimostra con il Teorema di Tellegen applicato ai fasori delle tensioni e ai coniugati dei fasori delle correnti (che soddisfano anch'essi le LKC). In pratica: la potenza attiva erogata dai generatori è uguale a quella assorbita dai resistori, e la potenza reattiva erogata è uguale alla somma delle reattive assorbite da induttori (positive) e condensatori (negative).

Esempio. Un carico $15 - j25\ \Omega$ con $I = 2\ \mathrm A$ assorbe $\dot S = 60 - j100\ \mathrm{VA}$ : il generatore che lo alimenta eroga esattamente $60\ \mathrm W$ e $-100\ \mathrm{VAR}$ .

XIV. Reti in regime sinusoidale

Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)

Formula (impedenze in serie e in parallelo). $\text{serie: } \dot Z_s = \sum_k \dot Z_k, \qquad \text{parallelo: } \dot Y_p = \sum_k \dot Y_k, \qquad \dot Z_1 \parallel \dot Z_2 = \frac{\dot Z_1 \dot Z_2}{\dot Z_1 + \dot Z_2}$

Esempio. Con $\dot Z_1 = 3 + 4j\ \Omega$ e $\dot Z_2 = 1 - 2j\ \Omega$ : in serie $\dot Z_s = 4 + 2j\ \Omega$ ; in parallelo $\dot Z_1 \parallel \dot Z_2 = \frac{(3 + 4j)(1 - 2j)}{4 + 2j} = \frac{11 - 2j}{4 + 2j} = 2 - 1{,}5j\ \Omega$ .

Formula (partitori di tensione e di corrente con le impedenze). Partitori (Partitori di tensione e di corrente):

$\bar V_k = \bar V\, \frac{\dot Z_k}{\sum \dot Z}, \qquad \bar I_k = \bar I\, \frac{\dot Y_k}{\sum \dot Y} \quad \left(\text{due rami: } \bar I_1 = \bar I \frac{\dot Z_2}{\dot Z_1 + \dot Z_2}\right)$

Esempio. Con $\bar V = 100\ \mathrm V$ su $\dot Z_1 = 3\ \Omega$ in serie a $\dot Z_2 = 4j\ \Omega$ : $\bar V_1 = 100\,\frac{3}{3 + 4j} = 36 - 48j\ \mathrm V$ (modulo $60\ \mathrm V$ ) e $\bar V_2 = 100\,\frac{4j}{3 + 4j} = 64 + 48j\ \mathrm V$ (modulo $80\ \mathrm V$ ).

Proprietà (sintesi serie e sintesi parallelo di un'impedenza). Ogni impedenza $\dot Z = R + jX$ a una pulsazione $\omega$ fissata si può realizzare con due soli bipoli:

sintesi serie: un resistore $R_s = R$ in serie a un induttore $L_s = X/\omega$ (se $X > 0$ ) o a un condensatore $C_s = -\frac{1}{\omega X}$ (se $X < 0$ );

sintesi parallelo: con $\dot Y = 1/\dot Z = G + jB$ , un resistore $R_p = 1/G$ in parallelo a un condensatore $C_p = B/\omega$ (se $B > 0$ ) o a un induttore $L_p = -\frac{1}{\omega B}$ (se $B < 0$ ).

Esempio. $\dot Z = 15 - j25\ \Omega$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$ . Serie: $R_s = 15\ \Omega$ e $C_s = \frac{1}{1000 \cdot 25} = 40\ \mu\mathrm F$ . Parallelo: $\dot Y = \frac{15 + j25}{15^2 + 25^2} = \frac{15 + j25}{850}$ , quindi $R_p = 850/15 = 56{,}7\ \Omega$ e $C_p = \frac{25/850}{1000} = 29{,}4\ \mu\mathrm F$ .

Teorema di Boucherot (conservazione delle potenze). Per il teorema di Boucherot (vedi Potenza in regime sinusoidale) la somma delle potenze complesse entranti in tutti i bipoli è nulla. È il controllo finale più utile negli esercizi:

$\sum P_{\text{generatori, erogate}} = \sum R_k I_k^2, \qquad \sum Q_{\text{generatori, erogate}} = \sum X_k I_k^2$

Esempio. Un generatore che alimenta $R = 15\ \Omega$ e $X_L = 20\ \Omega$ in serie con $I = 2\ \mathrm A$ eroga $P = 15 \cdot 4 = 60\ \mathrm W$ e $Q = 20 \cdot 4 = 80\ \mathrm{VAR}$ , quanto assorbono resistore e induttore.

Risonanza serie e parallelo

Formula (pulsazione di risonanza dell'RLC serie). $\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\;}, \qquad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$

Esempio. Con $L = 10\ \mathrm{mH}$ e $C = 100\ \mu\mathrm F$ : $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000\ \mathrm{rad/s}$ , cioè $f_0 \approx 159\ \mathrm{Hz}$ .

Grafico interattivo: RLC serie: modulo dell'impedenza Z/R in funzione di ω/ω0 (scala logaritmica). Ha il minimo Z = R in ω0, tanto più stretto quanto più alto è Q

Definizione (fattore di qualità dell'RLC serie). Fattore di qualità.

$Q = 2\pi\, \frac{\text{energia immagazzinata}}{\text{energia dissipata in un periodo}} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 R C}$

e coincide con il rapporto tra la tensione su $L$ (o su $C$ ) e quella applicata:

$\frac{V_L}{V} = \frac{V_C}{V} = \frac{\omega_0 L\, I}{R\, I} = Q$

Esempio. $R = 1\ \Omega$ , $L = 10\ \mathrm{mH}$ , $C = 100\ \mu\mathrm F$ : $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000\ \mathrm{rad/s}$ ( $f_0 \approx 159\ \mathrm{Hz}$ ), $Q = \frac{1000 \cdot 0{,}01}{1} = 10$ . Alimentato con $1\ \mathrm V$ a $\omega_0$ : corrente $1\ \mathrm A$ e $10\ \mathrm V$ su induttore e condensatore.

Definizione (funzione di trasferimento del filtro passa banda serie). Si prende come uscita la tensione sul resistore. La funzione di trasferimento (rapporto tra fasore dell'uscita e fasore dell'ingresso) è

$\dot H(\omega) = \frac{\bar V_R}{\bar E} = \frac{R}{\dot Z} = \frac{1}{1 + jQ\left(\dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega}\right)}$

Esempio. Con $Q = 10$ a $\omega = 1{,}1\,\omega_0$ : $|\dot H| = \frac{1}{\sqrt{1 + 100\,(1{,}1 - 1/1{,}1)^2}} \approx 0{,}46$ .

Grafico interattivo: |H| in funzione di ω/ω0 con Q = 10 (filtro stretto)

Formula (pulsazioni di taglio e larghezza di banda). Pulsazioni di taglio $\omega_1 < \omega_0 < \omega_2$ : quelle in cui $|\dot H| = 1/\sqrt2$ (la potenza in uscita si dimezza). Imponendo $Q\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right) = \pm 1$ e prendendo le soluzioni positive:

$\omega_{1,2} = \omega_0\left(\mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}\right), \qquad \boxed{B = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q}}$

Esempio. Con $\omega_0 = 1000\ \mathrm{rad/s}$ e $Q = 10$ : $B = \omega_0/Q = 100\ \mathrm{rad/s}$ , con $\omega_1 \approx 951\ \mathrm{rad/s}$ e $\omega_2 \approx 1051\ \mathrm{rad/s}$ .

Formula (fattore di qualità dell'RLC parallelo). Alla risonanza $\bar I_L + \bar I_C = 0$ : una corrente circola tra induttore e condensatore senza uscire dal parallelo. Il fattore di qualità è

$Q = \frac{\omega_0 C}{G} = \omega_0 R C = \frac{R}{\omega_0 L}, \qquad \frac{I_L}{I} = \frac{I_C}{I} = Q$

Esempio. Con $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ , $C = 10\ \mu\mathrm F$ e $L = 0{,}1\ \mathrm H$ : $\omega_0 = 1000\ \mathrm{rad/s}$ e $Q = \omega_0 R C = 10$ ; con un GIC da $1\ \mathrm{mA}$ a $\omega_0$ le correnti in $L$ e $C$ sono $10\ \mathrm{mA}$ .

Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attiva

Formula (potenza reattiva e corrente di un carico ohmico-induttivo). $\dot S = P + jQ, \qquad Q = P\tan\varphi > 0, \qquad I = \frac{P}{V\cos\varphi}$

Esempio. Con $P = 10\ \mathrm{kW}$ e $\cos\varphi = 0{,}6$ ( $\tan\varphi = 1{,}333$ ): $Q = P\tan\varphi = 13{,}3\ \mathrm{kVAR}$ e, a $230\ \mathrm V$ , $I = \frac{10\,000}{230 \cdot 0{,}6} \approx 72{,}5\ \mathrm A$ .

Formula (capacità di rifasamento). Si vuole passare dal fattore di potenza $\cos\varphi$ a $\cos\varphi'$ (con $0 \le \varphi' < \varphi$ ):

$P\tan\varphi' = Q' = Q + Q_C = P\tan\varphi - \omega C V^2$

$\boxed{\;C = \frac{P\,(\tan\varphi - \tan\varphi')}{\omega V^2}\;}$

Esempio. Con $P = 10\ \mathrm{kW}$ , $V = 230\ \mathrm V$ , $\omega = 314{,}2\ \mathrm{rad/s}$ , $\tan\varphi = 1{,}333$ ( $\cos\varphi = 0{,}6$ ) e $\tan\varphi' = 0{,}329$ ( $\cos\varphi' = 0{,}95$ ): $C = \frac{10^4\,(1{,}333 - 0{,}329)}{314{,}2 \cdot 230^2} \approx 605\ \mu\mathrm F$ .

Formula (corrente di linea dopo il rifasamento). Corrente di linea dopo il rifasamento. $P$ è costante, quindi $V I \cos\varphi = V I' \cos\varphi'$ :

$I' = I\, \frac{\cos\varphi}{\cos\varphi'}$

Esempio. Con $I = 72{,}5\ \mathrm A$ , $\cos\varphi = 0{,}6$ e $\cos\varphi' = 0{,}95$ : $I' = 72{,}5 \cdot \frac{0{,}6}{0{,}95} \approx 45{,}8\ \mathrm A$ .

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva (adattamento coniugato). $\boxed{\;\dot Z = R_{eq} - jX_{eq} = \dot Z_{eq}^*\;} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;P_{max} = \frac{E_{eq}^2}{4 R_{eq}}\;}$

Il carico deve avere l'impedenza coniugata di quella interna: si parla di adattamento coniugato. Come in continua, il rendimento è del $50\%$ : metà della potenza attiva viene dissipata in $R_{eq}$ .

Esempio. Un equivalente con $\bar E_{eq} = j100\ \mathrm V$ e $\dot Z_{eq} = 15 + j25\ \Omega$ (quello dell'Esercizio 3.20 - Thévenin e voltmetro in regime sinusoidale): il carico adattato è $15 - j25\ \Omega$ (resistore da $15\ \Omega$ in serie a un condensatore con $X_C = -25\ \Omega$ , cioè $C = 40\ \mu\mathrm F$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$ ) e riceve $P_{max} = \frac{100^2}{4 \cdot 15} \approx 167\ \mathrm W$ . Con il solo $R_1 = 10\ \Omega$ dell'esercizio si hanno invece $10 \cdot \frac{100^2}{25^2 + 25^2} = 80\ \mathrm W$ .

FormularioTeoria dei Circuiti: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo