Condensatore

Dispensa, capitolo 12. Primo componente dinamico del corso: a differenza del resistorePer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm →, la sua equazione contiene una derivata. Il duale è l'InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore →. Si usa per studiare i Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →.

Dal dispositivo fisico al bipolo

Un condensatore reale è fatto di due conduttori, le armature A e B, separati da un dielettrico (un isolante). Ogni armatura è collegata a un terminale. Sulle armature si accumulano cariche opposte: $q_A(t) = -q_B(t)$.

Perché si possa trattare come un bipolo servono le due proprietà viste in Bipoli, n-poli e porte elettricheUn n-polo ha n terminali: le sue correnti uscenti sommano a zero e le sue tensioni sono differenze di potenziale, quindi bastano n−1 correnti e n−1 tensioni per descriverlo. Una porta è una coppia di morsetti in cui la corrente che entra da uno esce dall'altro; un m-bipolo ha m porte e ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipolo.Bipoli, n-poli e porte elettriche →:

• la corrente che entra da un terminale esce dall'altro. La carica totale dentro la superficie limite è $q_A + q_B = 0$ in ogni istante, quindi per la legge di continuitàLa corrente è la carica netta che attraversa una superficie orientata nell'unità di tempo (ampere = coulomb al secondo); la densità di corrente J è la sua versione locale, e la legge di continuità dice che in regime stazionario la corrente totale uscente da una superficie chiusa è nulla.Carica e corrente elettrica → la corrente netta uscente è nulla: $i_A = i_B$. (Nel dielettrico non passano cariche: la continuità è garantita dalla corrente di spostamento, che si studia in fisica.)
• la tensione tra i terminali è una differenza di potenziale. Vicino al condensatore si possono trascurare gli effetti magnetici (modello quasi-stazionario elettrico): il campo elettrico è conservativo e $v_{AB} = u_A - u_B$.

Capacità ed equazione costitutiva

Definizione (condensatore ideale: capacità e legge costitutiva). Se la geometria non cambia e il dielettrico è lineare, la carica sull'armatura A è proporzionale alla tensione:

$$q(t) = C\, v(t)$$

La costante positiva $C$ è la capacità. Si misura in farad ($1\ \mathrm F = 1\ \mathrm C / \mathrm V$). Un farad è enorme: in pratica si usano $\mathrm{mF}$, $\mu\mathrm F = 10^{-6}\ \mathrm F$, $\mathrm{nF} = 10^{-9}\ \mathrm F$, $\mathrm{pF} = 10^{-12}\ \mathrm F$.

La corrente che entra dal terminale A è la rapidità con cui cresce la carica su A: $i = \frac{dq}{dt}$. Sostituendo $q = Cv$, con la convenzione dell'utilizzatore:

$$\boxed{\;i(t) = C\,\frac{dv(t)}{dt}\;}$$

Esempio. Su $C = 1\ \mu\mathrm F$ una tensione che cresce di $1\ \mathrm V$ ogni millisecondo ($dv/dt = 10^{3}\ \mathrm{V/s}$) dà $i = 10^{-6} \cdot 10^{3} = 1\ \mathrm{mA}$; a tensione costante $i = 0$.

Come leggerla. La corrente non dipende dal valore della tensione, ma da quanto velocemente cambia. Tensione costante (anche altissima) $\Rightarrow$ corrente nulla. Tensione che cresce di $1\ \mathrm V$ ogni millisecondo su $C = 1\ \mu\mathrm F$ $\Rightarrow$ $i = 10^{-6} \cdot 10^3 = 1\ \mathrm{mA}$.

Con la convenzione del generatore la formula cambia segno: $i = -C\, dv/dt$.

Simbolo: due trattini paralleli (le armature).

Proprietà

1. Memoria

Formula (memoria del condensatore). Integrando l'equazione si esprime la tensione in funzione della corrente:

$$v(t) = v(t_0) + \frac{1}{C} \int_{t_0}^{t} i(\tau)\, d\tau$$

Esempio. Con $C = 2\ \mu\mathrm F$, $v(0) = 1\ \mathrm V$ e una corrente costante $i = 4\ \mu\mathrm A$ per $1\ \mathrm s$: $v = 1 + \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 1}{2 \cdot 10^{-6}} = 3\ \mathrm V$.

La tensione in un istante dipende da tutta la storia della corrente, riassunta nel valore iniziale $v(t_0)$ (la condizione iniziale). Il resistore invece "dimentica": la sua tensione dipende solo dalla corrente nello stesso istante. Per questo il condensatore si dice bipolo con memoria, o dinamico.

Il valore $v(t_0)$ dice quanta carica c'era sulle armature in $t_0$: $q(t_0) = C\, v(t_0)$. Un condensatore scarico ha $v = 0$.

2. Continuità della tensione

Proprietà (continuità della tensione del condensatore). Se la corrente è limitata, la tensione è continua. Infatti tra un istante appena prima ($t_0^-$) e uno appena dopo ($t_0^+$):

$$v(t_0^+) = v(t_0^-) + \frac{1}{C} \int_{t_0^-}^{t_0^+} i(\tau)\, d\tau \;\longrightarrow\; v(t_0^-)$$

perché l'integrale di una funzione limitata su un intervallo che tende a zero tende a zero. In parole: per far saltare di colpo la tensione bisognerebbe portare una quantità finita di carica in un tempo nullo, cioè una corrente infinita.

È la proprietà che si usa nei transitori: quando un interruttore scatta, la tensione del condensatore subito dopo è uguale a quella subito prima, $v_C(0^+) = v_C(0^-)$. La corrente, invece, può saltare.

Esempio. Una corrente a onda quadra ($+i_1$ e $-i_1$ alternati, ogni volta per lo stesso tempo) su un condensatore inizialmente scarico. Dove $i > 0$ la tensione cresce linearmente (pendenza $i_1/C$), dove $i < 0$ decresce: la tensione è un'onda triangolare, continua anche negli istanti in cui la corrente salta.

3. Energia immagazzinata

Il lavoro elettrico entrante tra $t_1$ (condensatore scarico, $v_1 = 0$) e $t_2$ si calcola integrando la potenza $p = v\, i$. Con il cambio di variabile $i\, dt = C\, dv$ (dall'equazione costitutiva) l'integrale nel tempo diventa un integrale nella tensione:

$$L_{[t_1, t_2]} = \int_{t_1}^{t_2} v\, i\, dt = \int_{0}^{v_2} C\, v\, dv = \frac12 C v_2^2 \ \ge 0$$

Formula (energia immagazzinata nel condensatore). Il risultato dipende solo dalla tensione finale, non da come ci si è arrivati. Se poi il condensatore torna scarico ($v_3 = 0$), il lavoro totale da $t_1$ a $t_3$ è $\frac12 C \cdot 0 - 0 = 0$: tutto il lavoro entrato è stato restituito, senza perdite. Non è stato dissipato ma immagazzinato, come energia del campo elettrico:

$$\boxed{\;W_C(t) = \frac12\, C\, v^2(t)\;} \quad [\mathrm J]$$

• $W_C \ge 0$, quindi il condensatore è passivo (non può erogare più di quanto ha ricevuto).
• La potenza entrante è la derivata dell'energia: $p = v\, C \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \frac12 C v^2 \right)$. Quando $p > 0$ il condensatore si carica, quando $p < 0$ restituisce energia al circuito.
• L'energia dipende solo da $v$: la tensione è la variabile di stato del condensatore. Anche per questo deve essere continua: un salto di $v$ sarebbe un salto di energia in un tempo nullo, cioè potenza infinita.

Esempio numerico. $C = 100\ \mu\mathrm F$ caricato a $v = 20\ \mathrm V$: $W_C = \frac12 \cdot 10^{-4} \cdot 400 = 0{,}02\ \mathrm J$, e la carica è $q = C v = 2\ \mathrm{mC}$.

In regime stazionario: circuito aperto

Se tutte le grandezze sono costanti, $dv/dt = 0$ e quindi $i = 0$ qualunque sia la tensione. In regime stazionario il condensatore si comporta come un circuito aperto: per calcolare tensioni e correnti della rete si può togliere. La sua tensione si trova poi dalla rete, come la tensione tra due morsetti aperti.

Questo serve per trovare le condizioni iniziali e finali dei transitori: prima della manovra (se la rete era a regime da molto tempo) e dopo un tempo molto lungo.

Serie e parallelo

Le regole sono al contrario di quelle dei resistori.

Formula (condensatori in parallelo). Parallelo (stessa tensione): le correnti si sommano, $i = C_1 \frac{dv}{dt} + C_2 \frac{dv}{dt}$, quindi

$$C_p = C_1 + C_2 + \dots + C_N$$

Esempio. $C_1 = 10\ \mu\mathrm F$ e $C_2 = 22\ \mu\mathrm F$ in parallelo danno $C_p = 32\ \mu\mathrm F$.

Intuizione: due condensatori in parallelo sono come uno solo con l'area delle armature somma delle due.

Formula (condensatori in serie). Serie (stessa corrente): le tensioni si sommano, $v = v_1(t_0) + v_2(t_0) + \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right) \int i\, d\tau$, quindi

$$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_N}, \qquad C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \ \text{(due condensatori)}$$

Esempio. Due condensatori da $10\ \mu\mathrm F$ in serie danno $C_s = \frac{10 \cdot 10}{10 + 10} = 5\ \mu\mathrm F$.

e la tensione iniziale della serie è la somma delle tensioni iniziali.

Attenzione al parallelo di condensatori carichi a tensioni diverse. Se in $t_0$ si collegano in parallelo due condensatori con $v_1(t_0^-) \ne v_2(t_0^-)$, la rete impone $v_1(t_0^+) = v_2(t_0^+)$: almeno una tensione deve saltare, il che richiede una corrente impulsiva (illimitata). È uno dei casi particolari in cui la continuità della tensione non vale; nei circuiti reali la corrente resta finita ma grandissima, e parte dell'energia si dissipa nelle resistenze dei collegamenti.

Condensatori reali

Formula (capacità di un condensatore piano). Capacità di un condensatore piano. Armature di area $S$ a distanza $d$, dielettrico lineare omogeneo con permittività $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$ ($\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm F/\mathrm m$):

$$C = \frac{\varepsilon S}{d}$$

Esempio. Armature di area $S = 100\ \mathrm{cm^2} = 10^{-2}\ \mathrm{m^2}$ a $d = 1\ \mathrm{mm}$ nel vuoto: $C = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{10^{-2}}{10^{-3}} = 8{,}85 \cdot 10^{-11}\ \mathrm F \approx 88{,}5\ \mathrm{pF}$.

Per avere capacità grandi servono armature ampie, vicine, e un dielettrico con $\varepsilon_r$ alto. Ma $d$ non può scendere troppo: il campo nel dielettrico vale circa $v/d$, e oltre la rigidità dielettrica (in $\mathrm{kV/cm}$; per l'aria circa $30\ \mathrm{kV/cm}$) il dielettrico perde il suo isolamento e si scarica, in modo irreversibile nei solidi. Per questo ogni condensatore ha una tensione massima di lavoro.

Tecnologie. Ceramici a disco (da decine di pF a centinaia di nF); ceramici multistrato MLCC (molti strati alternati in un solo involucro, per montaggio superficiale); elettrolitici (capacità molto alte per unità di volume, ma polarizzati: la tensione deve avere sempre lo stesso segno, quindi non si usano in regime sinusoidale).

Effetti parassiti. Un modello più realistico mette in serie al condensatore ideale una ESR (resistenza equivalente serie, perdite) e una ESL (induttanza equivalente serie), e a volte un resistore in parallelo per le perdite nel dielettrico, importanti oltre il megahertz.

Riepilogo

Errori comuni

• Pensare che "tensione alta" voglia dire "corrente alta": la corrente dipende dalla derivata della tensione.
• Imporre la continuità della corrente del condensatore: è la tensione a essere continua, la corrente può saltare.
• Usare le regole dei resistori per serie e parallelo.
• Dimenticare il segno con la convenzione del generatore.