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Note per Studenti Esercizio 1.31 - analisi nodale modificata con due GIC

Esercizio 1.31 - analisi nodale modificata con due GIC

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Testo (Eserciziario, es. 1.31). Rete a regime stazionario con J1=6 AJ_1 = 6\ \mathrm A, J2=3 AJ_2 = 3\ \mathrm A, E=100 VE = 100\ \mathrm V, R1=R2=R3=20 ΩR_1 = R_2 = R_3 = 20\ \Omega, R4=40 ΩR_4 = 40\ \Omega. Calcolare la potenza PR1P_{R1} entrante nel resistore R1R_1.

Figura (descritta). Cinque nodi: A (a sinistra, a metà altezza; un filo lo collega anche all'angolo in basso a sinistra), B (il filo in alto), C (al centro), D (il filo in basso, dal centro verso destra), E (a destra, a metà altezza).

Bipolo Tra i nodi Note
J1J_1 A → B lato sinistro in alto, freccia in su (verso B)
EE A – C in orizzontale, ++ verso A
R2R_2 B – C verticale al centro, in alto
R3R_3 C – D verticale al centro, in basso
R1R_1 A – D in basso a sinistra
R4R_4 B – E verticale a destra, in alto
J2J_2 D → E verticale a destra, in basso, freccia in su (verso E)

Risultato: PR1=320 WP_{R1} = 320\ \mathrm W.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →.

1. Impostazione

Il GIT EE non ha resistori in serie: analisi nodale modificata. Si introduce la corrente IEI_E uscente dal ++ del GIT: esce dal generatore nel nodo A (quindi entra in A) e lascia il nodo C.

Riferimento sul morsetto −- del GIT: UC=0U_C = 0. L'equazione del GIT dà subito UA−UC=EU_A - U_C = E, cioè UA=100 VU_A = 100\ \mathrm V.

Conduttanze: G1=G2=G3=0,05 SG_1 = G_2 = G_3 = 0{,}05\ \mathrm S, G4=0,025 SG_4 = 0{,}025\ \mathrm S.

2. Le equazioni per ispezione

Nodo Resistori collegati Mutue conduttanze Correnti impresse entranti
A R1R_1 G1G_1 verso D −J1-J_1 (esce), +IE+I_E (entra)
B R2R_2, R4R_4 G4G_4 verso E (R2R_2 va a C, riferimento) +J1+J_1
D R1R_1, R3R_3 G1G_1 verso A (R3R_3 va a C) −J2-J_2
E R4R_4 G4G_4 verso B +J2+J_2

{G1UA−G1UD=−J1+IE(G2+G4) UB−G4UE=J1(G1+G3) UD−G1UA=−J2G4UE−G4UB=J2UA=E\begin{cases} G_1 U_A - G_1 U_D = -J_1 + I_E \\ (G_2 + G_4)\, U_B - G_4 U_E = J_1 \\ (G_1 + G_3)\, U_D - G_1 U_A = -J_2 \\ G_4 U_E - G_4 U_B = J_2 \\ U_A = E \end{cases}

Il nodo E ha un solo resistore: l'unica cosa che arriva da sinistra è J2J_2, e quella corrente deve passare tutta in R4R_4.

3. Risoluzione

Il sistema si "spezza" in pezzi semplici:

  • nodo D, con UA=100U_A = 100: 0,1 UD−0,05⋅100=−3 ⇒ 0,1 UD=2 ⇒ UD=20 V0{,}1\, U_D - 0{,}05 \cdot 100 = -3 \ \Rightarrow\ 0{,}1\, U_D = 2 \ \Rightarrow\ U_D = 20\ \mathrm V;
  • nodi B ed E (non dipendono da A e D): sommando le due equazioni, i termini con G4G_4 si cancellano e resta G2UB=J1+J2G_2 U_B = J_1 + J_2, cioè UB=90,05=180 VU_B = \dfrac{9}{0{,}05} = 180\ \mathrm V; poi dal nodo E UE=UB+J2/G4=180+120=300 VU_E = U_B + J_2/G_4 = 180 + 120 = 300\ \mathrm V;
  • nodo A (serve per IEI_E): IE=G1(UA−UD)+J1=0,05⋅80+6=10 AI_E = G_1(U_A - U_D) + J_1 = 0{,}05 \cdot 80 + 6 = 10\ \mathrm A.

Perché sommare B ed ELa somma delle due LKC è la LKC su una superficie che racchiude B, E e il resistore R4: ne escono solo R2 (verso C) e i due GIC, e la corrente in R4 non compare. è un trucco utile: la corrente in R4R_4 è interna e sparisce.

4. La potenza su R1R_1

R1R_1 è tra A e D: VAD=UA−UD=100−20=80 VV_{AD} = U_A - U_D = 100 - 20 = 80\ \mathrm V.

PR1=VAD2R1=640020=320 W\boxed{P_{R1} = \frac{V_{AD}^2}{R_1} = \frac{6400}{20} = 320\ \mathrm W}

Verifica (bilancio delle potenze). Resistori: R1R_1: 320320; R2R_2: 1802/20=1620180^2/20 = 1620; R3R_3: 202/20=2020^2/20 = 20; R4R_4: 1202/40=360120^2/40 = 360; totale 2320 W2320\ \mathrm W. Generatori con la convenzione del generatore: EE eroga E IE=1000 WE\, I_E = 1000\ \mathrm W; J1J_1 (freccia da A a B) eroga (UB−UA) J1=80⋅6=480 W(U_B - U_A)\, J_1 = 80 \cdot 6 = 480\ \mathrm W; J2J_2 (freccia da D a E) eroga (UE−UD) J2=280⋅3=840 W(U_E - U_D)\, J_2 = 280 \cdot 3 = 840\ \mathrm W. Totale 2320 W2320\ \mathrm W ✓.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 1.31). Rete a regime stazionario con J1=6 AJ_1 = 6\ \mathrm A, J2=3 AJ_2 = 3\ \mathrm A, E=100 VE = 100\ \mathrm V, R1=R2=R3=20 ΩR_1 = R_2 = R_3 = 20\ \Omega, R4=40 ΩR_4 = 40\ \Omega. Calcolare la potenza PR1P_{R1} entrante nel resistore R1R_1.

Figura (descritta). Cinque nodi: A (a sinistra, a metà altezza; un filo lo collega anche all'angolo in basso a sinistra), B (il filo in alto), C (al centro), D (il filo in basso, dal centro verso destra), E (a destra, a metà altezza).

Bipolo Tra i nodi Note
J1J_1 A → B lato sinistro in alto, freccia in su (verso B)
EE A – C in orizzontale, ++ verso A
R2R_2 B – C verticale al centro, in alto
R3R_3 C – D verticale al centro, in basso
R1R_1 A – D in basso a sinistra
R4R_4 B – E verticale a destra, in alto
J2J_2 D → E verticale a destra, in basso, freccia in su (verso E)

Risultato: PR1=320 WP_{R1} = 320\ \mathrm W.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →.

Metodo: Analisi nodale modificataSi sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) → introducendo la corrente IEI_E del GIT EE (nodo C come riferimento UC=0U_C = 0).

  1. Equazione del GIT: UA=E=100 VU_A = E = 100\ \mathrm V.
  2. Sistema LKC: Con conduttanze G1=G2=G3=0,05 SG_1 = G_2 = G_3 = 0{,}05\ \mathrm S, G4=0,025 SG_4 = 0{,}025\ \mathrm S: {G1UA−G1UD=−J1+IE(G2+G4) UB−G4UE=J1(G1+G3) UD−G1UA=−J2G4UE−G4UB=J2UA=E\begin{cases} G_1 U_A - G_1 U_D = -J_1 + I_E \\ (G_2 + G_4)\, U_B - G_4 U_E = J_1 \\ (G_1 + G_3)\, U_D - G_1 U_A = -J_2 \\ G_4 U_E - G_4 U_B = J_2 \\ U_A = E \end{cases}
  3. Risoluzione:
    • Nodo D: 0,1 UD−0,05⋅100=−3  ⟹  UD=20 V0{,}1\, U_D - 0{,}05 \cdot 100 = -3 \implies U_D = 20\ \mathrm V.
    • Nodi B ed E: sommando le equazioni si eliminano i termini G4G_4, ottenendo G2UB=J1+J2  ⟹  UB=180 VG_2 U_B = J_1 + J_2 \implies U_B = 180\ \mathrm V, e da E UE=UB+J2/G4=300 VU_E = U_B + J_2/G_4 = 300\ \mathrm V.
    • Corrente IE=G1(UA−UD)+J1=0,05⋅80+6=10 AI_E = G_1(U_A - U_D) + J_1 = 0{,}05 \cdot 80 + 6 = 10\ \mathrm A.
  4. Potenza su R1R_1: VAD=UA−UD=100−20=80 VV_{AD} = U_A - U_D = 100 - 20 = 80\ \mathrm V. PR1=VAD2R1=640020=320 W\boxed{P_{R1} = \frac{V_{AD}^2}{R_1} = \frac{6400}{20} = 320\ \mathrm W}

Errori tipici: Dimenticare di aggiungere la corrente incognita del GIT nell'equazione del nodo; sbagliare i segni delle correnti impresse J1J_1 e J2J_2.

Teoria collegata