Esercizio 1.32 - analisi nodale modificata con un GIT

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Testo (Eserciziario, es. 1.32). Rete in regime stazionario con resistori ideali, un GIC e un GIT: $R_1 = 20\ \Omega$ , $R_2 = 40\ \Omega$ , $R_3 = 40\ \Omega$ , $R_4 = 20\ \Omega$ , $J_1 = 5\ \mathrm A$ , $E_2 = 120\ \mathrm V$ . Con il metodo dei potenziali ai nodi calcolare $V_1$ , $V_2$ , $V_3$ , $V_4$ , $V_{J1}$ con i riferimenti di figura.

Figura (descritta). Quattro nodi: 1 (a sinistra, in alto sul GIC), 2 (al centro), 3 (a destra), 4 (il filo in basso).

Bipolo	Tra i nodi	Riferimento
$J_1$	4 → 1	freccia in su; $V_{J1}$ con il $+$ su 1
$R_1$	1 – 2	$V_1$ con il $+$ su 1
$E_2$	2 – 3	$-$ verso 2, $+$ verso 3
$R_2$	2 – 4	$V_2$ con il $+$ su 2
$R_3$	3 – 4	$V_3$ con il $+$ su 3
$R_4$	1 – 3 (ramo in alto)	$V_4$ con il $+$ su 1

Risultati: $V_1 = 110\ \mathrm V$ , $V_2 = 40\ \mathrm V$ , $V_3 = 160\ \mathrm V$ , $V_4 = -10\ \mathrm V$ , $V_{J1} = 150\ \mathrm V$ .

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi). È l'esempio con cui la dispensa introduce la MNA.

1. Impostazione

Riferimento: nodo 4, $U_4 = 0$ . Incognite: $U_1$ , $U_2$ , $U_3$ e la corrente $I_{E2}$ del GIT, presa uscente dal $+$ (convenzione del generatore): entra nel nodo 3 ed esce dal nodo 2.

Conduttanze: $G_1 = G_4 = 0{,}05\ \mathrm S$ , $G_2 = G_3 = 0{,}025\ \mathrm S$ .

2. Il sistema MNA

Tre LKC (il GIT trattato come un GIC di corrente $I_{E2}$ ) più l'equazione del GIT:

$\begin{cases} (G_1 + G_4)\, U_1 - G_1 U_2 - G_4 U_3 = J_1 \\ -G_1 U_1 + (G_1 + G_2)\, U_2 = -I_{E2} \\ -G_4 U_1 + (G_3 + G_4)\, U_3 = +I_{E2} \\ U_3 - U_2 = E_2 \end{cases}$

Quattro equazioni, quattro incognite.

3. Risoluzione: sommare le tre LKC

Sommando le prime tre equazioni:

i termini in $U_1$ : $(G_1 + G_4) - G_1 - G_4 = 0$ ;
i termini in $U_2$ : $-G_1 + G_1 + G_2 = G_2$ ;
i termini in $U_3$ : $-G_4 + G_3 + G_4 = G_3$ ;
a destra: $J_1 - I_{E2} + I_{E2} = J_1$ .

$G_2 U_2 + G_3 U_3 = J_1$

Perché funziona: è la LKC al nodo 4, dove arrivano solo $R_2$ , $R_3$ e $J_1$ . Con l'equazione del GIT:

$\begin{cases} 0{,}025\, U_2 + 0{,}025\, U_3 = 5 \\ U_3 = U_2 + 120 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad U_2 + U_3 = 200,\ \ U_3 - U_2 = 120 \quad\Longrightarrow\quad U_2 = 40\ \mathrm V,\ \ U_3 = 160\ \mathrm V$

Dal nodo 1:

$U_1 = \frac{G_1 U_2 + G_4 U_3 + J_1}{G_1 + G_4} = \frac{0{,}05 \cdot 40 + 0{,}05 \cdot 160 + 5}{0{,}1} = \frac{2 + 8 + 5}{0{,}1} = 150\ \mathrm V$

Dal nodo 3: $I_{E2} = (G_3 + G_4)\, U_3 - G_4 U_1 = 0{,}075 \cdot 160 - 0{,}05 \cdot 150 = 12 - 7{,}5 = 4{,}5\ \mathrm A$ .

4. Le tensioni

Tensione	Calcolo	Valore
$V_1$	$U_1 - U_2$	$110\ \mathrm V$
$V_2$	$U_2$	$40\ \mathrm V$
$V_3$	$U_3$	$160\ \mathrm V$
$V_4$	$U_1 - U_3$	$-10\ \mathrm V$
$V_{J1}$	$U_1$	$150\ \mathrm V$

5. Verifica: bilancio delle potenze

Generatori (convenzione del generatore): $P_{J1} = V_{J1} J_1 = 750\ \mathrm W$ , $P_{E2} = E_2 I_{E2} = 540\ \mathrm W$ ; totale erogato $1290\ \mathrm W$ .

Resistori ( $G V^2$ ): $0{,}05 \cdot 110^2 = 605$ , $0{,}025 \cdot 40^2 = 40$ , $0{,}025 \cdot 160^2 = 640$ , $0{,}05 \cdot 10^2 = 5$ ; totale $1290\ \mathrm W$ ✓.

Versione ripasso

Figura (descritta). Quattro nodi: 1 (a sinistra, in alto sul GIC), 2 (al centro), 3 (a destra), 4 (il filo in basso).

Bipolo	Tra i nodi	Riferimento
$J_1$	4 → 1	freccia in su; $V_{J1}$ con il $+$ su 1
$R_1$	1 – 2	$V_1$ con il $+$ su 1
$E_2$	2 – 3	$-$ verso 2, $+$ verso 3
$R_2$	2 – 4	$V_2$ con il $+$ su 2
$R_3$	3 – 4	$V_3$ con il $+$ su 3
$R_4$	1 – 3 (ramo in alto)	$V_4$ con il $+$ su 1

Risultati: $V_1 = 110\ \mathrm V$ , $V_2 = 40\ \mathrm V$ , $V_3 = 160\ \mathrm V$ , $V_4 = -10\ \mathrm V$ , $V_{J1} = 150\ \mathrm V$ .

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi). È l'esempio con cui la dispensa introduce la MNA.

MNA e Risoluzione

Incognite: $U_1$ , $U_2$ , $U_3$ e $I_{E2}$ (uscente dal $+$ del GIT). Nodo di riferimento 4 ( $U_4 = 0$ ). Conduttanze: $G_1 = G_4 = 0{,}05\ \mathrm S$ , $G_2 = G_3 = 0{,}025\ \mathrm S$ .

$\begin{cases} (G_1 + G_4)\, U_1 - G_1 U_2 - G_4 U_3 = J_1 \\ -G_1 U_1 + (G_1 + G_2)\, U_2 = -I_{E2} \\ -G_4 U_1 + (G_3 + G_4)\, U_3 = +I_{E2} \\ U_3 - U_2 = E_2 \end{cases}$

Somma delle LKC: Sommando le prime tre equazioni si elimina $I_{E2}$ e restano solo i termini in $U_2$ , $U_3$ : $G_2 U_2 + G_3 U_3 = J_1$ (è la LKC al nodo 4).
Calcolo $U_2, U_3$ : Mettendo a sistema con l'equazione del GIT: $\begin{cases} 0{,}025\, U_2 + 0{,}025\, U_3 = 5 \\ U_3 = U_2 + 120 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad U_2 = 40\ \mathrm V,\ \ U_3 = 160\ \mathrm V$
Calcolo $U_1$ : $U_1 = \frac{G_1 U_2 + G_4 U_3 + J_1}{G_1 + G_4} = \frac{0{,}05 \cdot 40 + 0{,}05 \cdot 160 + 5}{0{,}1} = 150\ \mathrm V$
Tensioni finali: $V_1 = U_1 - U_2 = 110\ \mathrm V$ , $V_2 = U_2 = 40\ \mathrm V$ , $V_3 = U_3 = 160\ \mathrm V$ , $V_4 = U_1 - U_3 = -10\ \mathrm V$ , $V_{J1} = U_1 = 150\ \mathrm V$ .

Teoria collegata

Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)