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Note per Studenti Esercizio 1.50 - Norton con tre rami generatori

Esercizio 1.50 - Norton con tre rami generatori

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Testo (Eserciziario, es. 1.50). Rete a regime stazionario con E1=60 VE_1 = 60\ \mathrm V, E2=150 VE_2 = 150\ \mathrm V, J3=4 AJ_3 = 4\ \mathrm A, R1=R2=R3=30 ΩR_1 = R_2 = R_3 = 30\ \Omega, R4=10 ΩR_4 = 10\ \Omega.

  1. Della rete a sinistra della porta AB determinare ReqR_{eq} e la corrente di cortocircuito IccI_{cc} (uscente dal morsetto A).
  2. Per la rete completa, determinare la potenza PR4P_{R4} entrante in R4R_4.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = B. Tra i due fili, da sinistra, nel riquadro: un ramo con E1E_1 (in alto, ++ verso A) e R1R_1; un ramo con E2E_2 (in alto, −- verso A, ++ verso il basso) e R2R_2; il GIC J3J_3 (freccia in su, verso A); il resistore R3R_3. Fuori dal riquadro, R4R_4 tra A e B.

Risultati: Req=10 ΩR_{eq} = 10\ \Omega, Jeq=1 AJ_{eq} = 1\ \mathrm A, PR4=52 WP_{R4} = \dfrac52\ \mathrm W.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

1. Resistenza equivalente

Generatori spenti: restano R1R_1, R2R_2, R3R_3, tutti tra A e B (il ramo di J3J_3 è aperto):

Geq=130+130+130=110 S⟹Req=10 ΩG_{eq} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}\ \mathrm S \qquad\Longrightarrow\qquad R_{eq} = 10\ \Omega

2. Corrente di cortocircuito

Con A e B cortocircuitati ogni ramo ha ai suoi capi tensione zero, e quindi si calcola da solo:

  • ramo E1E_1–R1R_1: la LKT sul ramo dà VR1=E1V_{R1} = E_1, quindi I1=E1/R1=2 AI_1 = E_1/R_1 = 2\ \mathrm A, che esce dal ++ di E1E_1 ed entra in A;
  • ramo E2E_2–R2R_2: I2=E2/R2=5 AI_2 = E_2/R_2 = 5\ \mathrm A, che esce dal ++ di E2E_2 (in basso) e scende verso B: questa corrente esce da A;
  • J3J_3: porta 4 A4\ \mathrm A in A;
  • R3R_3: tensione nulla, corrente nulla.

LKC in A (la corrente che esce dalla rete verso il cortocircuito è IccI_{cc}):

Icc=I1−I2+J3=2−5+4=1 AI_{cc} = I_1 - I_2 + J_3 = 2 - 5 + 4 = 1\ \mathrm A

Il cortocircuito disaccoppia i ramiCon tensione nulla ai capi, ogni ramo in parallelo alla porta ha una corrente che dipende solo da lui: E/R per un ramo GIT-R, J per un GIC, zero per un resistore.: per questo con rami in parallelo Norton è particolarmente comodo.

3. Potenza in R4R_4

Equivalente di Norton: Jeq=1 AJ_{eq} = 1\ \mathrm A (verso A) in parallelo a 10 Ω10\ \Omega. Con R4=10 ΩR_4 = 10\ \Omega:

VAB=Jeq (Req∥R4)=1⋅5=5 V,PR4=VAB2R4=2510=2,5 WV_{AB} = J_{eq}\, (R_{eq} \parallel R_4) = 1 \cdot 5 = 5\ \mathrm V, \qquad \boxed{P_{R4} = \frac{V_{AB}^2}{R_4} = \frac{25}{10} = 2{,}5\ \mathrm W}

Controllo con Millman (tutti i rami tra A e B, E2E_2 con il segno meno perché ha il ++ verso B):

VAB=6030−15030+4130+130+130+110=10,2=5 V ✓V_{AB} = \frac{\frac{60}{30} - \frac{150}{30} + 4}{\frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{10}} = \frac{1}{0{,}2} = 5\ \mathrm V \ ✓

Il numeratore di Millman è proprio IccI_{cc}, il denominatore Geq+G4G_{eq} + G_4: Millman è Norton applicato a tutti i rami insieme.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 1.50). Rete a regime stazionario con E1=60 VE_1 = 60\ \mathrm V, E2=150 VE_2 = 150\ \mathrm V, J3=4 AJ_3 = 4\ \mathrm A, R1=R2=R3=30 ΩR_1 = R_2 = R_3 = 30\ \Omega, R4=10 ΩR_4 = 10\ \Omega.

  1. Della rete a sinistra della porta AB determinare ReqR_{eq} e la corrente di cortocircuito IccI_{cc} (uscente dal morsetto A).
  2. Per la rete completa, determinare la potenza PR4P_{R4} entrante in R4R_4.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = B. Tra i due fili, da sinistra, nel riquadro: un ramo con E1E_1 (in alto, ++ verso A) e R1R_1; un ramo con E2E_2 (in alto, −- verso A, ++ verso il basso) e R2R_2; il GIC J3J_3 (freccia in su, verso A); il resistore R3R_3. Fuori dal riquadro, R4R_4 tra A e B.

Risultati: Req=10 ΩR_{eq} = 10\ \Omega, Jeq=1 AJ_{eq} = 1\ \mathrm A, PR4=52 WP_{R4} = \dfrac52\ \mathrm W.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

1. Resistenza equivalente

Generatori spenti:

Geq=130+130+130=110 S⟹Req=10 ΩG_{eq} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}\ \mathrm S \qquad\Longrightarrow\qquad R_{eq} = 10\ \Omega

2. Corrente di cortocircuito

Con cortocircuito in AB ogni ramo ha tensione zero:

  • ramo E1E_1–R1R_1: I1=E1/R1=2 AI_1 = E_1/R_1 = 2\ \mathrm A (entra in A);
  • ramo E2E_2–R2R_2: I2=E2/R2=5 AI_2 = E_2/R_2 = 5\ \mathrm A (esce da A);
  • J3J_3: 4 A4\ \mathrm A (entra in A);
  • R3R_3: corrente nulla.

LKC in A:

Icc=I1−I2+J3=2−5+4=1 AI_{cc} = I_1 - I_2 + J_3 = 2 - 5 + 4 = 1\ \mathrm A

Il cortocircuito disaccoppia i ramiCon tensione nulla ai capi, ogni ramo in parallelo alla porta ha una corrente che dipende solo da lui: E/R per un ramo GIT-R, J per un GIC, zero per un resistore..

3. Potenza in R4R_4

Equivalente di Norton (Jeq=1 AJ_{eq} = 1\ \mathrm A) in parallelo con ReqR_{eq} e R4R_4:

VAB=Jeq (Req∥R4)=1⋅5=5 V,PR4=VAB2R4=2510=2,5 WV_{AB} = J_{eq}\, (R_{eq} \parallel R_4) = 1 \cdot 5 = 5\ \mathrm V, \qquad \boxed{P_{R4} = \frac{V_{AB}^2}{R_4} = \frac{25}{10} = 2{,}5\ \mathrm W}

Controllo con Millman: VAB=60/30−150/30+43/30+1/10=10,2=5 VV_{AB} = \frac{60/30 - 150/30 + 4}{3/30 + 1/10} = \frac{1}{0{,}2} = 5\ \mathrm V ✓.

Teoria collegata