Bipoli, n-poli e porte elettriche

Lezione 2, dopo il modello a parametri concentratiFuori dai componenti la corrente totale uscente da un componente è nulla e le tensioni sono differenze di potenziale.Componenti elettrici e modello a parametri concentrati →. Seguito: Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →. Domande di verifica: Autoverifica Lezione 2 - domande e risposte.

Bipoli e n-poli

• Bipolo: componente con 2 terminali (resistore, pila, lampadina…).
• n-polo: componente con n terminali (tripolo con 3, quadrupolo con 4…). Esempio di tripolo: il transistor, con i terminali base, collettore, emettitore.

Nel modello a parametri concentrati ogni n-polo soddisfa due proprietà.

Proprietà (le correnti uscenti di un n-polo sommano a zero). 1. Le correnti. Prese tutte con riferimento uscente:

$$\sum_{k=1}^{n} i_{usc,k} = 0$$

Esempio. Un tripolo con correnti uscenti $i_1 = 2\ \mathrm A$ e $i_2 = 3\ \mathrm A$ ha $i_3 = -(2 + 3) = -5\ \mathrm A$: dal terzo terminale ne entrano $5\ \mathrm A$.

Proprietà (le tensioni di un n-polo sono differenze di potenziale). 2. Le tensioni. Ogni tensione tra due morsetti è una differenza di potenziale, $v_{hk} = u_h - u_k$. Quindi, girando una volta per tutti i morsetti e tornando al primo:

$$v_{12} + v_{23} + \dots + v_{(n-1)n} + v_{n1} = (u_1 - u_2) + (u_2 - u_3) + \dots + (u_n - u_1) = 0$$

(ogni potenziale compare una volta con il $+$ e una con il $-$). Lo stesso vale per un giro su un sottoinsieme qualsiasi di morsetti: per esempio $v_{13} + v_{34} + v_{41} = 0$.

Esempio. Con $u_1 = 10\ \mathrm V$, $u_2 = 6\ \mathrm V$, $u_3 = 1\ \mathrm V$ si ha $v_{12} + v_{23} + v_{31} = 4 + 5 - 9 = 0\ \mathrm V$.

Quante grandezze servono per un n-polo

Proprietà (grandezze indipendenti di un n-polo). Un n-polo ha $n$ correnti e $\binom{n}{2}$ tensioni (una per coppia di morsetti), ma non sono tutte indipendenti. Ne bastano $n-1$ correnti e $n-1$ tensioni, scelte così:

1. si sceglie un morsetto come morsetto comune (per esempio l'$n$-esimo);
2. per gli altri $n-1$ terminali si prende la corrente entrante, per il terminale comune la corrente uscente; dalla proprietà 1: $$i_1 + i_2 + \dots + i_{n-1} = i_n$$ cioè la corrente del terminale comune si ricava dalle altre;
3. come tensioni si prendono le $n-1$ tensioni $v_{1n}, v_{2n}, \dots, v_{(n-1)n}$ tra ciascun morsetto e quello comune ($+$ sul morsetto non comune). Qualunque altra tensione si ricava da queste: dal giro $i \to j \to n \to i$, $$v_{ij} + v_{jn} + v_{ni} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_{ij} = v_{in} - v_{jn}$$

Esempio (tripolo). Con il morsetto 3 comune: $v_{13} = 30\ \mathrm V$, $v_{23} = 20\ \mathrm V$. Allora $v_{12} = v_{13} - v_{23} = 10\ \mathrm V$. Se entrano $i_1 = 5\ \mathrm A$ e $i_2 = 3\ \mathrm A$, dal terminale 3 escono $i_3 = 8\ \mathrm A$.

Caso $n = 2$ (bipolo). Basta una corrente e una tensione: la corrente che entra da un terminale è uguale a quella che esce dall'altro ($i_A = i_B$), quindi si usa un'unica corrente $i$ con un'unica freccia.

Equazioni tipologiche

I legami tra le $n-1$ tensioni e le $n-1$ correnti dipendono dalla costituzione fisica del componente: si chiamano equazioni tipologiche (o caratteristiche, o costitutive). Per un bipolo è una sola relazione tra $v$ e $i$, per esempio $v = R\,i$ per il resistoreBipolo con tensione proporzionale alla corrente secondo la costante R.Resistore e legge di Ohm →.

Porta elettrica

Definizione (porta elettrica). Una coppia di morsetti forma una porta elettrica (o porta) se in ogni istante la corrente che entra da uno è uguale alla corrente che esce dall'altro.

Esempio. Nei morsetti $1$ e $2$ di un quadrupolo entrano $4\ \mathrm A$ in $1$ e ne escono $4\ \mathrm A$ da $2$: la coppia è una porta, con corrente di porta $i = 4\ \mathrm A$.

• La corrente comune si chiama corrente di porta: se $i_1$ entra dal morsetto 1 e $i_2$ esce dal morsetto 2, la coppia è una porta quando $i_1 = i_2 = i$. Se invece le due correnti si prendono entrambe entranti, la condizione diventa $i_1 + i_2 = 0$.
• La tensione tra i due morsetti si chiama tensione di porta (con un riferimento scelto).
• I due morsetti di un bipolo formano sempre una porta (lo dice la proprietà 1 con $n = 2$).

In un n-polo qualsiasi due morsetti in generale non formano una porta: la corrente che entra da uno può uscire da un terzo morsetto.

m-bipolo

Definizione (m-bipolo). Un n-polo con $n$ pari i cui terminali, presi a coppie, formano $m = n/2$ porte si chiama m-bipolo:

Per un m-bipolo si considerano solo le $m$ tensioni di porta e le $m$ correnti di porta. Le tensioni tra un morsetto di una porta e un morsetto di un'altra porta non si usano: come si vedrà con la potenzaProdotto della tensione di porta per la corrente di porta.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →, gli scambi di energia passano solo dalle grandezze di porta.

Esempio. Un quadrupolo con morsetti 1, 2, 3, 4 in cui $I_1 + I_2 = 0$ e $I_3 + I_4 = 0$ è un doppio bipolo, con porte (1,2) e (3,4) e tensioni di porta $V_{12}$ e $V_{34}$.

Ogni n-polo è un (n−1)-bipolo

Proprietà (ogni n-polo è un (n−1)-bipolo). Con la scelta del morsetto comune vista sopra, $i_1 + \dots + i_{n-1} = i_n$: la corrente del terminale comune è la somma delle correnti che entrano dagli altri. Si può allora pensare il morsetto comune come il "ritorno" condiviso di $n-1$ porte: la porta $k$ è formata dal morsetto $k$ e dal morsetto comune, con tensione $v_{kn}$ e corrente $i_k$. Un n-polo si può sempre vedere come un $(n-1)$-bipolo.

Esempio: il transistor npn (tripolo con base $b$, collettore $c$, emettitore $e$) si usa come doppio bipolo in due modi:

(In ciascuna riga le correnti sono prese entranti dai due morsetti non comuni e uscente da quello comune.)

Un quadrupolo con il morsetto 3 come comune diventa un triplo bipolo con porte (1,3), (2,3), (4,3) e $I_3 = I_1 + I_2 + I_4$.

Errori comuni

• Usare tensioni tra morsetti di porte diverse per calcolare la potenza di un m-bipolo: si usano solo le tensioni di porta.
• Credere che due morsetti qualsiasi formino una porta. Serve che la corrente entrante in uno sia uguale a quella uscente dall'altro.
• Dimenticare che le $n$ correnti di un n-polo non sono indipendenti: una si ricava sempre dalle altre.