Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio 3.28 - Thévenin e voltmetro su un carico RL

Esercizio 3.28 - Thévenin e voltmetro su un carico RL

In questa pagina 4
In questa pagina 4

Testo (Eserciziario, es. 3.28). Rete a regime sinusoidale con R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=20 ΩR_2 = 20\ \Omega, L=10 mHL = 10\ \mathrm{mH}, C1=100 μFC_1 = 100\ \mu\mathrm F, C2=50 μFC_2 = 50\ \mu\mathrm F, e(t)=1602cos⁡(1000t+π2)e(t) = 160\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right), j(t)=6cos⁡(1000t+π4)j(t) = 6\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right).

  1. Della rete a destra della porta AB determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq} e VˉAB0\bar V_{AB0} (++ in A).
  2. Nella rete completa determinare il valore VVV_V letto dal voltmetro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). A sinistra della porta: LL in serie a R1R_1 tra A e B, con il voltmetro in parallelo. Nel riquadro: da A scende il GIC jj (freccia in giù) fino a B; da A, sul filo in alto, C1C_1 fino al nodo N; da N scendono il ramo C2C_2 in serie al GIT ee (++ in alto) e, più a destra, R2R_2.

Risultati: Z˙ABeq=10−j20 Ω\dot Z_{ABeq} = 10 - j20\ \Omega, VˉAB0=−170+j110 V\bar V_{AB0} = -170 + j110\ \mathrm V, VV=2041 V≈128 VV_V = 20\sqrt{41}\ \mathrm V \approx 128\ \mathrm V.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

Eˉ=160 ejπ/2=j160\bar E = 160\, e^{j\pi/2} = j160; Jˉ\bar J: ampiezza 66, valore efficace 323\sqrt2,  Jˉ=32 ejπ/4=3+j3\ \bar J = 3\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 3 + j3. Z˙L=j10\dot Z_L = j10, Z˙C1=−j10\dot Z_{C1} = -j10, Z˙C2=−j20\dot Z_{C2} = -j20.

2. Impedenza equivalente

GIC aperto, GIT in corto. Da A: C1C_1 in serie al parallelo C2∥R2C_2 \parallel R_2:

Z˙C2∥R2=−j20⋅2020−j20=−j201−j=−j20(1+j)2=10−j10\dot Z_{C2} \parallel R_2 = \frac{-j20 \cdot 20}{20 - j20} = \frac{-j20}{1 - j} = \frac{-j20(1 + j)}{2} = 10 - j10

Z˙ABeq=−j10+10−j10=10−j20 Ω\boxed{\dot Z_{ABeq} = -j10 + 10 - j10 = 10 - j20\ \Omega}

3. Tensione a vuoto

Nodo A (a vuoto): il GIC preleva Jˉ\bar J da A verso il basso, e l'unico altro collegamento di A è C1C_1: in C1C_1 passa Jˉ\bar J da N verso A. Quindi UˉN−UˉA=Z˙C1Jˉ\bar U_N - \bar U_A = \dot Z_{C1} \bar J.

Nodo N: escono Jˉ\bar J (verso A), la corrente in R2R_2 e quella nel ramo C2C_2–GIT (il cui nodo intermedio è a Eˉ\bar E):

Jˉ+UˉNR2+UˉN−EˉZ˙C2=0⟹UˉN (0,05+j0,05)=−Jˉ+j0,05 Eˉ\bar J + \frac{\bar U_N}{R_2} + \frac{\bar U_N - \bar E}{\dot Z_{C2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar U_N\,(0{,}05 + j0{,}05) = -\bar J + j0{,}05\, \bar E

(perché 1−j20=j0,05\frac{1}{-j20} = j0{,}05). Termine noto: −(3+j3)+j0,05⋅j160=−3−j3−8=−11−j3-(3 + j3) + j0{,}05 \cdot j160 = -3 - j3 - 8 = -11 - j3.

UˉN=−11−j30,05+j0,05=(−11−j3)(0,05−j0,05)0,005=−0,7+j0,40,005=−140+j80\bar U_N = \frac{-11 - j3}{0{,}05 + j0{,}05} = \frac{(-11 - j3)(0{,}05 - j0{,}05)}{0{,}005} = \frac{-0{,}7 + j0{,}4}{0{,}005} = -140 + j80

Il prodotto al numeratore(-11)(0,05) = -0,55; (-11)(-j0,05) = +j0,55; (-j3)(0,05) = -j0,15; (-j3)(-j0,05) = j² 0,15 = -0,15. Totale -0,7 + j0,4..

VˉAB0=UˉA=UˉN−Z˙C1Jˉ=−140+j80−(−j10)(3+j3)=−140+j80+j30−30\bar V_{AB0} = \bar U_A = \bar U_N - \dot Z_{C1}\bar J = -140 + j80 - (-j10)(3 + j3) = -140 + j80 + j30 - 30

VˉAB0=−170+j110 V\boxed{\bar V_{AB0} = -170 + j110\ \mathrm V}

4. Lettura del voltmetro

Il voltmetro è un circuito aperto: alla porta c'è solo il carico R1+Z˙L=10+j10R_1 + \dot Z_L = 10 + j10. Partitore:

VˉAB=VˉAB0 10+j1010+j10+10−j20=VˉAB0 10+j1020−j10\bar V_{AB} = \bar V_{AB0}\, \frac{10 + j10}{10 + j10 + 10 - j20} = \bar V_{AB0}\, \frac{10 + j10}{20 - j10}

Con i moduli: ∣VˉAB0∣=1702+1102=41 000=10410|\bar V_{AB0}| = \sqrt{170^2 + 110^2} = \sqrt{41\,000} = 10\sqrt{410}, e ∣10+j10∣∣20−j10∣=102105=25\frac{|10 + j10|}{|20 - j10|} = \frac{10\sqrt2}{10\sqrt5} = \sqrt{\frac25}:

VV=10410⋅25=10164=2041≈128 V\boxed{V_V = 10\sqrt{410} \cdot \sqrt{\tfrac25} = 10\sqrt{164} = 20\sqrt{41} \approx 128\ \mathrm V}

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.28). Rete a regime sinusoidale con R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=20 ΩR_2 = 20\ \Omega, L=10 mHL = 10\ \mathrm{mH}, C1=100 μFC_1 = 100\ \mu\mathrm F, C2=50 μFC_2 = 50\ \mu\mathrm F, e(t)=1602cos⁡(1000t+π2)e(t) = 160\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right), j(t)=6cos⁡(1000t+π4)j(t) = 6\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right).

  1. Della rete a destra della porta AB determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq} e VˉAB0\bar V_{AB0} (++ in A).
  2. Nella rete completa determinare il valore VVV_V letto dal voltmetro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). A sinistra della porta: LL in serie a R1R_1 tra A e B, con il voltmetro in parallelo. Nel riquadro: da A scende il GIC jj (freccia in giù) fino a B; da A, sul filo in alto, C1C_1 fino al nodo N; da N scendono il ramo C2C_2 in serie al GIT ee (++ in alto) e, più a destra, R2R_2.

Risultati: Z˙ABeq=10−j20 Ω\dot Z_{ABeq} = 10 - j20\ \Omega, VˉAB0=−170+j110 V\bar V_{AB0} = -170 + j110\ \mathrm V, VV=2041 V≈128 VV_V = 20\sqrt{41}\ \mathrm V \approx 128\ \mathrm V.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

Eˉ=160 ejπ/2=j160\bar E = 160\, e^{j\pi/2} = j160; Jˉ\bar J ha ampiezza 66, efficace 323\sqrt2: Jˉ=32 ejπ/4=3+j3\bar J = 3\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 3 + j3. Z˙L=j10\dot Z_L = j10, Z˙C1=−j10\dot Z_{C1} = -j10, Z˙C2=−j20\dot Z_{C2} = -j20.

2. Impedenza equivalente

GIC aperto, GIT in corto. Da A: C1C_1 in serie al parallelo C2∥R2C_2 \parallel R_2:

Z˙C2∥R2=−j20⋅2020−j20=10−j10\dot Z_{C2} \parallel R_2 = \frac{-j20 \cdot 20}{20 - j20} = 10 - j10

Z˙ABeq=−j10+10−j10=10−j20 Ω\boxed{\dot Z_{ABeq} = -j10 + 10 - j10 = 10 - j20\ \Omega}

3. Tensione a vuoto

Nodo A (a vuoto): il GIC preleva Jˉ\bar J da A e l'unico altro collegamento è C1C_1, quindi in C1C_1 passa Jˉ\bar J da N ad A. Nodo N: escono Jˉ\bar J (verso A), la corrente in R2R_2 e quella nel ramo C2C_2–GIT: Jˉ+UˉNR2+UˉN−EˉZ˙C2=0⟹UˉN=−11−j30,05+j0,05=−140+j80\bar J + \frac{\bar U_N}{R_2} + \frac{\bar U_N - \bar E}{\dot Z_{C2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar U_N = \frac{-11 - j3}{0{,}05 + j0{,}05} = -140 + j80

VˉAB0=UˉN−Z˙C1Jˉ=−140+j80−(−j10)(3+j3)=−140+j80+j30−30\bar V_{AB0} = \bar U_N - \dot Z_{C1}\bar J = -140 + j80 - (-j10)(3 + j3) = -140 + j80 + j30 - 30

VˉAB0=−170+j110 V\boxed{\bar V_{AB0} = -170 + j110\ \mathrm V}

4. Lettura del voltmetro

Carico: R1+Z˙L=10+j10R_1 + \dot Z_L = 10 + j10. Partitore:

VˉAB=VˉAB0 10+j1010+j10+10−j20=VˉAB0 10+j1020−j10\bar V_{AB} = \bar V_{AB0}\, \frac{10 + j10}{10 + j10 + 10 - j20} = \bar V_{AB0}\, \frac{10 + j10}{20 - j10}

VV=10410⋅25=2041≈128 V\boxed{V_V = 10\sqrt{410} \cdot \sqrt{\tfrac25} = 20\sqrt{41} \approx 128\ \mathrm V}

Errori tipici: Sbagliare i segni nei fasori o nei paralleli complessi; dimenticare il partitore finale con l'impedenza di carico.

Teoria collegata