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Note per Studenti Esercizio 3.17 - potenziali ai nodi in regime sinusoidale

Esercizio 3.17 - potenziali ai nodi in regime sinusoidale

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Testo (Eserciziario, es. 3.17). Stessa rete dell'Esercizio 3.13 - sovrapposizione in regime sinusoidale (R=50 ΩR = 50\ \Omega, L=200 mHL = 200\ \mathrm{mH}, C=40 μFC = 40\ \mu\mathrm F, e(t)=200cos⁡(500t+34π)e(t) = 200\cos(500t + \frac34\pi), j(t)=42cos⁡(500t)j(t) = 4\sqrt2\cos(500t)): calcolare QCQ_C con il metodo dei potenziali ai nodi.

Figura (descritta). Tre rami tra il nodo T in alto e il filo in basso: a sinistra il GIC (freccia in giù), al centro RR in serie a CC, a destra LL in serie al GIT (++ in alto).

Risultato: QC=−1000 VARQ_C = -1000\ \mathrm{VAR}.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Una sola incognita

Con il filo in basso come riferimento resta un solo nodo, T, con potenziale Uˉ\bar U. (Il nodo tra LL e il GIT ha potenziale noto, Eˉ\bar E, quindi non serve come incognita.)

Dati: Eˉ=−100+j100\bar E = -100 + j100, Jˉ=4\bar J = 4; ammettenze Y˙RC=150−j50=1+j100\dot Y_{RC} = \frac{1}{50 - j50} = \frac{1 + j}{100},  Y˙L=1j100=−j100\ \dot Y_L = \frac{1}{j100} = -\frac{j}{100}.

2. LKC nel nodo T

Correnti uscenti da T: il GIC (Jˉ\bar J, verso il basso), il ramo centrale (Y˙RC Uˉ\dot Y_{RC}\, \bar U), il ramo destro (Y˙L(Uˉ−Eˉ)\dot Y_L(\bar U - \bar E), perché LL ha ai capi Uˉ\bar U da una parte ed Eˉ\bar E dall'altra):

Jˉ+Y˙RC Uˉ+Y˙L(Uˉ−Eˉ)=0⟹(Y˙RC+Y˙L) Uˉ=−Jˉ+Y˙L Eˉ\bar J + \dot Y_{RC}\, \bar U + \dot Y_L(\bar U - \bar E) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (\dot Y_{RC} + \dot Y_L)\, \bar U = -\bar J + \dot Y_L\, \bar E

  • Y˙RC+Y˙L=1+j−j100=0,01 S\dot Y_{RC} + \dot Y_L = \frac{1 + j - j}{100} = 0{,}01\ \mathrm S (le suscettanze si annullano);
  • Y˙LEˉ=−j100(−100+j100)=j100+100100=1+j\dot Y_L \bar E = -\frac{j}{100}(-100 + j100) = \frac{j100 + 100}{100} = 1 + j.

0,01 Uˉ=−4+1+j=−3+j⟹Uˉ=−300+j100 V0{,}01\, \bar U = -4 + 1 + j = -3 + j \quad\Longrightarrow\quad \bar U = -300 + j100\ \mathrm V

3. Corrente e potenza del condensatore

IˉC=Y˙RC Uˉ=(1+j)(−300+j100)100=−300+j100−j300−100100=−4−j2\bar I_C = \dot Y_{RC}\, \bar U = \frac{(1 + j)(-300 + j100)}{100} = \frac{-300 + j100 - j300 - 100}{100} = -4 - j2

QC=XC IC2=−50⋅20=−1000 VAR\boxed{Q_C = X_C\, I_C^2 = -50 \cdot 20 = -1000\ \mathrm{VAR}}

Confronto tra i tre metodi (esercizi 3.13, 3.15, 3.17): qui il metodo dei nodi è il più rapido, perché la rete ha due soli nodi e quindi una sola equazione.

Bilancio delle potenze (Boucherot). PR=50⋅20=1000 WP_R = 50 \cdot 20 = 1000\ \mathrm W; QL=100⋅∣j2∣2=400 VARQ_L = 100 \cdot |j2|^2 = 400\ \mathrm{VAR}; QC=−1000 VARQ_C = -1000\ \mathrm{VAR}. I generatori devono erogare in tutto S˙=1000−j600\dot S = 1000 - j600. GIC (convenzione del generatore: tensione Uˉ\bar U con il ++ in alto, corrente Jˉ\bar J uscente dal basso, cioè −Jˉ-\bar J uscente dal ++): S˙J=Uˉ(−Jˉ)∗=1200−j400\dot S_J = \bar U(-\bar J)^* = 1200 - j400. GIT: corrente uscente dal ++ verso LL uguale a −IˉL=−j2-\bar I_L = -j2,  S˙E=Eˉ(−j2)∗=(−100+j100)(j2)=−200−j200\ \dot S_E = \bar E(-j2)^* = (-100 + j100)(j2) = -200 - j200. Somma 1000−j6001000 - j600 ✓.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.17). Stessa rete dell'Esercizio 3.13 - sovrapposizione in regime sinusoidale (R=50 ΩR = 50\ \Omega, L=200 mHL = 200\ \mathrm{mH}, C=40 μFC = 40\ \mu\mathrm F, e(t)=200cos⁡(500t+34π)e(t) = 200\cos(500t + \frac34\pi), j(t)=42cos⁡(500t)j(t) = 4\sqrt2\cos(500t)): calcolare QCQ_C con il metodo dei potenziali ai nodi.

Figura (descritta). Tre rami tra il nodo T in alto e il filo in basso: a sinistra il GIC (freccia in giù), al centro RR in serie a CC, a destra LL in serie al GIT (++ in alto).

Risultato: QC=−1000 VARQ_C = -1000\ \mathrm{VAR}.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Incognite e dati

Con il filo in basso come riferimento resta un solo nodo, T, con potenziale Uˉ\bar U. Dati: Eˉ=−100+j100\bar E = -100 + j100, Jˉ=4\bar J = 4; ammettenze Y˙RC=1+j100\dot Y_{RC} = \frac{1 + j}{100},  Y˙L=−j100\ \dot Y_L = -\frac{j}{100}.

2. LKC nel nodo T

Escono da T il GIC (Jˉ\bar J), il ramo centrale (Y˙RCUˉ\dot Y_{RC}\bar U) e il ramo destro (Y˙L(Uˉ−Eˉ)\dot Y_L(\bar U - \bar E), perché LL ha ai capi Uˉ\bar U ed Eˉ\bar E): Jˉ+Y˙RC Uˉ+Y˙L(Uˉ−Eˉ)=0⟹(Y˙RC+Y˙L) Uˉ=−Jˉ+Y˙L Eˉ\bar J + \dot Y_{RC}\, \bar U + \dot Y_L(\bar U - \bar E) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (\dot Y_{RC} + \dot Y_L)\, \bar U = -\bar J + \dot Y_L\, \bar E

  • Y˙RC+Y˙L=0,01 S\dot Y_{RC} + \dot Y_L = 0{,}01\ \mathrm S (le suscettanze si annullano)
  • Y˙LEˉ=1+j\dot Y_L \bar E = 1 + j

0,01 Uˉ=−3+j⟹Uˉ=−300+j100 V0{,}01\, \bar U = -3 + j \quad\Longrightarrow\quad \bar U = -300 + j100\ \mathrm V

3. Corrente e potenza del condensatore

IˉC=Y˙RC Uˉ=−4−j2\bar I_C = \dot Y_{RC}\, \bar U = -4 - j2 QC=XC IC2=−50⋅20=−1000 VAR\boxed{Q_C = X_C\, I_C^2 = -50 \cdot 20 = -1000\ \mathrm{VAR}} Con due soli nodi serve una sola equazione: è il più rapido dei tre metodi (3.13, 3.15, 3.17). Bilancio di Boucherot: PR=1000 WP_R = 1000\ \mathrm W, QL=400Q_L = 400, QC=−1000 VARQ_C = -1000\ \mathrm{VAR}, cioè S˙=1000−j600\dot S = 1000 - j600 erogata da GIC (1200−j4001200 - j400) e GIT (−200−j200-200 - j200) ✓.

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