Regime variabile, istanti critici e condizioni iniziali

Dispensa, capitolo 14. Prepara lo studio dei transitori: Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) → e Circuiti del secondo ordine (RLC)Un circuito con un condensatore e un induttore (RLC serie o parallelo) è del secondo ordine: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω0² x = u(t), con ω0 = 1/√(LC) e α = R/(2L) (serie) oppure α = G/(2C) = 1/(2RC) (parallelo). Le radici s = -α ± √(α² - ω0²) danno tre casi: sovrasmorzato (α > ω0, due esponenziali reali), critico (α = ω0, e^(-αt)(A1 + A2 t)), sottosmorzato (α < ω0, oscillazioni smorzate con pulsazione ωs = √(ω0² - α²)). Servono due condizioni iniziali: x(0+) e dx/dt(0+), che si ricavano da vC(0+) e iL(0+).Circuiti del secondo ordine (RLC) →. Usa le proprietà di continuità del CondensatoreIl condensatore ideale ha q = C v e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, i = C dv/dt (C in farad). È un bipolo dinamico con memoria: v(t) = v(t0) + (1/C) ∫ i dt. Con corrente limitata la tensione è continua (non può saltare). Immagazzina l'energia W_C = ½ C v², senza dissiparla: è passivo e la sua variabile di stato è la tensione. In regime stazionario è un circuito aperto. Serie: 1/C_s = Σ 1/C_k; parallelo: C_p = Σ C_k (al contrario dei resistori).Condensatore → e dell'InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore →.

Nuovi componenti: interruttore e deviatore

L'interruttore (già visto in Bipoli adinamici, GIC e diodo idealeUn bipolo adinamico lega solo i valori istantanei di tensione e corrente, f(v,i) = 0, e si rappresenta con una curva nel piano v-i (caratteristica esterna). Oltre a resistore, cortocircuito, circuito aperto e GIT ci sono il GIC (i = j per ogni v), l'interruttore (aperto o chiuso a seconda dell'istante) e il diodo ideale (circuito aperto per v < 0, cortocircuito per i > 0). Un bipolo è controllato in corrente se v si può scrivere come funzione di i, controllato in tensione se i si può scrivere come funzione di v.Bipoli adinamici, GIC e diodo ideale →) è un circuito aperto prima di un istante e un cortocircuito dopo (o viceversa).

Il deviatore (o commutatore) è un tripolo con un morsetto comune C e due morsetti A e B: fino all'istante di commutazione $t^*$ collega C con A (e B è isolato), dopo $t^*$ collega C con B (e A è isolato). Serve a spostare un componente da un circuito a un altro, per esempio un condensatore dal circuito di carica a quello di scarica.

Istante critico ed evento critico

Un evento critico è un cambiamento brusco della rete: un interruttore che si apre o si chiude, un deviatore che commuta, un generatore che si accende o si spegne (che equivale a inserirlo con un interruttore). L'istante in cui succede è l'istante critico; per comodità lo si prende come origine dei tempi, $t = 0$. Se ci sono più istanti critici, si ripete l'analisi a partire da ciascuno.

Si usano le notazioni $0^-$ (un attimo prima) e $0^+$ (un attimo dopo). All'istante critico alcune grandezze possono saltare: un interruttore che si chiude passa da tensione $v(0^-) \ne 0$ a tensione $v(0^+) = 0$; uno che si apre passa da corrente $i(0^-) \ne 0$ a $i(0^+) = 0$.

La regola fondamentale: continuità delle variabili di stato

Proprietà (continuità delle variabili di stato). Nelle reti che si studiano normalmente, all'istante critico tutte le tensioni e correnti restano limitate (possono saltare di una quantità finita, ma non diventare infinite). Allora, per le proprietà viste:

$$\boxed{\;v_C(0^+) = v_C(0^-), \qquad i_L(0^+) = i_L(0^-)\;}$$

• la tensione di ogni condensatore e la corrente di ogni induttore (le variabili di stato) sono continue;
• tutte le altre grandezze possono saltare: la corrente del condensatore, la tensione dell'induttore, le tensioni e correnti dei resistori, dei generatori, degli interruttori.

Esempio. Con $v_C(0^-) = 6\ \mathrm V$ e $i_L(0^-) = 2\ \mathrm A$ prima della manovra, subito dopo si ha $v_C(0^+) = 6\ \mathrm V$ e $i_L(0^+) = 2\ \mathrm A$, mentre la tensione sul resistore in serie può saltare.

Il motivo fisico: le variabili di stato fissano l'energia immagazzinata ($\frac12 C v_C^2$, $\frac12 L i_L^2$), e l'energia non può cambiare in un tempo nullo senza una potenza infinita.

Lo schema in tre tempi

1. Analisi per $t < 0$. Si trovano $v_C(0^-)$ e $i_L(0^-)$. Di solito la rete è "a regime da molto tempo" con generatori costanti, cioè in regime stazionario: il condensatore si sostituisce con un circuito aperto, l'induttore con un cortocircuito, e si risolve la rete resistiva che resta.
2. Analisi per $t = 0$. Per la continuità: $v_C(0^+) = v_C(0^-)$ e $i_L(0^+) = i_L(0^-)$. Se servono altre grandezze in $0^+$ (per esempio la corrente del condensatore subito dopo), si risolve la rete per $t = 0^+$ sostituendo il condensatore con un GIT di valore $v_C(0^+)$ e l'induttore con un GIC di valore $i_L(0^+)$: in quell'istante sono valori noti.
3. Analisi per $t > 0$. Si scrivono le LKC, le LKT e le equazioni dei bipoli (per condensatori e induttori sono equazioni differenziali). Combinandole si ottiene un'equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti in una sola incognita, di solito una variabile di stato. L'ordine dell'equazione è il numero (massimo) di derivate: per una rete con un solo condensatore o un solo induttore è 1.

Linguaggio. Le grandezze impresse dai generatori ($e(t)$, $j(t)$) si chiamano ingressi $x(t)$; le tensioni e correnti incognite si chiamano uscite o risposte $y(t)$.

Quando la continuità non vale: maglie capacitive e tagli induttivi

La continuità vale solo se le grandezze restano limitate. Ci sono reti "patologiche" in cui non è così:

• una maglia capacitiva: una maglia fatta solo di condensatori, generatori di tensione e interruttori che si chiudono (o generatori di tensione con un salto);
• un insieme di taglio induttivo: un taglio fatto solo di induttori, generatori di corrente e interruttori che si aprono (o generatori di corrente con un salto).

Proprietà (condensatori collegati a tensioni diverse: si conserva la carica). Esempi di maglia capacitiva.

• Un condensatore carico a $V_0$ viene collegato da un interruttore a un GIT $E \ne V_0$: subito dopo la LKT impone $v_C = E$, quindi la tensione salta.
• Due condensatori carichi a $V_1 \ne V_2$ vengono collegati in parallelo. Le tensioni devono diventare uguali. Poiché la corrente che esce da uno entra nell'altro, la carica totale si conserva: $C_1 V_1 + C_2 V_2 = (C_1 + C_2) V_f$, cioè

$$v_{C1}(0^+) = v_{C2}(0^+) = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$$

Dualmente, due induttori con correnti $I_1 \ne I_2$ messi in serie aprendo un interruttore si portano a $\frac{L_1 I_1 + L_2 I_2}{L_1 + L_2}$ (si conserva il "flusso totale").

Esempio. $C_1 = 10\ \mu\mathrm F$ carico a $V_1 = 12\ \mathrm V$ collegato in parallelo a $C_2 = 5\ \mu\mathrm F$ scarico: $v_{C1}(0^+) = v_{C2}(0^+) = \frac{10 \cdot 12 + 5 \cdot 0}{10 + 5} = 8\ \mathrm V$.

In questi casi la corrente del condensatore (o la tensione dell'induttore) all'istante critico è illimitata: è un impulso.

Gradino e impulso unitario

Definizione (gradino unitario). Il gradino unitario (funzione di Heaviside) vale

$$u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t > 0 \end{cases}$$

ed è non definito in $t = 0$. $u(t - t_0)$ è lo stesso gradino spostato in $t_0$. Con il gradino si descrive un generatore che si accende in $t = 0$: $e(t) = E\, u(t)$.

Esempio. Un generatore da $5\ \mathrm V$ che si accende in $t = 0$ è $e(t) = 5\,u(t)$: vale $0$ per $t < 0$ e $5\ \mathrm V$ per $t > 0$.

Definizione (impulso unitario). L'impulso unitario (delta di Dirac) $\delta(t)$ è nullo per $t \ne 0$, "infinito" in $t = 0$, con area unitaria: $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\, dt = 1$. È la derivata del gradino: $\delta(t) = \frac{d u(t)}{dt}$.

Esempio. Un GIT $E\,u(t)$ con $E = 5\ \mathrm V$ su un condensatore scarico da $2\ \mu\mathrm F$ dà $i_C = C E\,\delta(t)$, un impulso di area $CE = 10\ \mu\mathrm C$.

Interpretazione. Un GIT $E\, u(t)$ collegato direttamente a un condensatore scarico gli impone $v_C = E\, u(t)$. La corrente è

$$i_C = C \frac{d}{dt}\big[E\, u(t)\big] = C E\, \delta(t)$$

un impulso di area $CE$: è proprio la carica $q = CE$ portata sulle armature in un istante. Dualmente, un GIC $J\, u(t)$ su un induttore scarico dà $v_L = L J\, \delta(t)$.

Errori comuni

• Imporre la continuità a grandezze che non sono variabili di stato, per esempio alla corrente del condensatore o alla tensione di un resistore.
• Calcolare le condizioni iniziali con la rete dopo la manovra: $v_C(0^-)$ e $i_L(0^-)$ si trovano con la rete com'era prima dell'istante critico.
• Dimenticare di sostituire C con un aperto e L con un corto nel regime stazionario per $t < 0$.