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Note per Studenti Esercizio 2.15 - resistenza interna con un GCPC tra due nodi

Esercizio 2.15 - resistenza interna con un GCPC tra due nodi

Testo (Eserciziario, es. 2.15). Rete in regime stazionario con R1=50 ΩR_1 = 50\ \Omega, R2=10 ΩR_2 = 10\ \Omega, R3=100 ΩR_3 = 100\ \Omega, un GIC J=100 mAJ = 100\ \mathrm{mA} e un generatore di corrente pilotato in corrente con β=4\beta = 4. Determinare la resistenza interna RiR_i ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in basso = B. Nodi: L (a sinistra) e A (al centro-destra).

Bipolo Tra i nodi Note
R1R_1 L – B IR1I_{R1} verso il basso
R2R_2 L – A orizzontale
GCPC βIR1\beta I_{R1} L → A sopra R2R_2, freccia verso destra
JJ B → A freccia in su
R3R_3 A – B

Risultato: Ri=50 ΩR_i = 50\ \Omega.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Generatore di prova

JJ spento (aperto). GIT di prova VA=V∗V_A = V^*, VB=0V_B = 0; incognita VLV_L, e IR1=VL/R1I_{R1} = V_L / R_1.

LKC nel nodo L. Entra la corrente da A attraverso R2R_2; escono quella in R1R_1 e quella del GCPC (che va da L ad A):

V∗−VLR2=IR1+βIR1=(1+β)VLR1\frac{V^* - V_L}{R_2} = I_{R1} + \beta I_{R1} = (1+\beta) \frac{V_L}{R_1}

V∗−VL10=5 VL50=VL10⟹VL=V∗2,IR1=V∗100\frac{V^* - V_L}{10} = \frac{5\, V_L}{50} = \frac{V_L}{10} \quad\Longrightarrow\quad V_L = \frac{V^*}{2}, \qquad I_{R1} = \frac{V^*}{100}

LKC nel nodo A. Entrano I∗I^* e la corrente del GCPC βIR1\beta I_{R1}; escono quella in R3R_3 e quella in R2R_2 verso L:

I∗=V∗R3+V∗−VLR2−βIR1=V∗100+V∗20−4 V∗100=V∗(0,01+0,05−0,04)=0,02 V∗I^* = \frac{V^*}{R_3} + \frac{V^* - V_L}{R_2} - \beta I_{R1} = \frac{V^*}{100} + \frac{V^*}{20} - \frac{4\, V^*}{100} = V^*(0{,}01 + 0{,}05 - 0{,}04) = 0{,}02\, V^*

Ri=50 Ω\boxed{R_i = 50\ \Omega}

Interpretazione. Il ramo L ha una "fuga" verso B attraverso R1R_1, ma il GCPC rimanda in A 4 volte la corrente di R1R_1. Della corrente che entra nel ramo da A (V∗/20V^*/20) ne torna in A l'80%80\% (4V∗/1004 V^*/100): al netto il ramo assorbe solo V∗/100V^*/100, cioè sembra un resistore da 100 Ω100\ \Omega. In parallelo a R3=100 ΩR_3 = 100\ \Omega dà 50 Ω50\ \Omega.

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 2.15). Rete in regime stazionario con R1=50 ΩR_1 = 50\ \Omega, R2=10 ΩR_2 = 10\ \Omega, R3=100 ΩR_3 = 100\ \Omega, un GIC J=100 mAJ = 100\ \mathrm{mA} e un generatore di corrente pilotato in corrente con β=4\beta = 4. Determinare la resistenza interna RiR_i ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in basso = B. Nodi: L (a sinistra) e A (al centro-destra).

Bipolo Tra i nodi Note
R1R_1 L – B IR1I_{R1} verso il basso
R2R_2 L – A orizzontale
GCPC βIR1\beta I_{R1} L → A sopra R2R_2, freccia verso destra
JJ B → A freccia in su
R3R_3 A – B

Risultato: Ri=50 ΩR_i = 50\ \Omega.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Metodo: generatore di provaUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →: JJ spento (aperto), GIT di prova VA=V∗V_A = V^*, VB=0V_B = 0.

  1. LKC nel nodo L (entra la corrente da A attraverso R2R_2; escono quella in R1R_1 e quella del GCPC): V∗−VLR2=IR1+βIR1=(1+β)VLR1\frac{V^* - V_L}{R_2} = I_{R1} + \beta I_{R1} = (1+\beta) \frac{V_L}{R_1} V∗−VL10=5 VL50=VL10⟹VL=V∗2,IR1=V∗100\frac{V^* - V_L}{10} = \frac{5\, V_L}{50} = \frac{V_L}{10} \quad\Longrightarrow\quad V_L = \frac{V^*}{2}, \qquad I_{R1} = \frac{V^*}{100}

  2. LKC nel nodo A (entrano I∗I^* e βIR1\beta I_{R1}; escono le correnti in R3R_3 e in R2R_2): I∗=V∗R3+V∗−VLR2−βIR1=V∗100+V∗20−4 V∗100=0,02 V∗I^* = \frac{V^*}{R_3} + \frac{V^* - V_L}{R_2} - \beta I_{R1} = \frac{V^*}{100} + \frac{V^*}{20} - \frac{4\, V^*}{100} = 0{,}02\, V^*

Ri=V∗I∗=50 Ω\boxed{R_i = \frac{V^*}{I^*} = 50\ \Omega} Il ramo L assorbe al netto solo V∗/100V^*/100 (il GCPC rimanda in A l'80%80\% di V∗/20V^*/20): sembra un resistore da 100 Ω100\ \Omega, in parallelo a R3R_3 dà 50 Ω50\ \Omega.

Teoria collegata