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Note per Studenti Esercizio 3.29 - Thévenin e amperometro su un condensatore

Esercizio 3.29 - Thévenin e amperometro su un condensatore

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Testo (Eserciziario, es. 3.29). Rete a regime sinusoidale con R1=R2=10 ΩR_1 = R_2 = 10\ \Omega, L=40 mHL = 40\ \mathrm{mH}, C1=C2=100 μFC_1 = C_2 = 100\ \mu\mathrm F, e(t)=1002cos⁡(1000t−π2)e(t) = 100\sqrt2\cos\left(1000t - \frac{\pi}{2}\right), j(t)=52cos⁡(1000t+π2)j(t) = 5\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right).

  1. Della rete a destra della porta AB determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq} e VˉAB0\bar V_{AB0} (++ in A).
  2. Nella rete completa determinare il valore IAI_A letto dall'amperometro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). A sinistra della porta: C1C_1 tra il filo in alto e B; l'amperometro è sul filo in alto, tra C1C_1 e A. Nel riquadro: da A scende il ramo C2C_2 in serie a R1R_1 fino a B; da A, sul filo in alto, il GIT ee (++ verso A) fino al nodo N; da N scendono R2R_2 e, più a destra, il ramo LL in serie al GIC jj (freccia in giù).

Risultati: Z˙ABeq=6−j2 Ω\dot Z_{ABeq} = 6 - j2\ \Omega, VˉAB0=−30−j90 V\bar V_{AB0} = -30 - j90\ \mathrm V, IA=52 AI_A = 5\sqrt2\ \mathrm A.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

Eˉ=100 e−jπ/2=−j100\bar E = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100, Jˉ=5 ejπ/2=j5\bar J = 5\, e^{j\pi/2} = j5; Z˙L=j40\dot Z_L = j40, Z˙C1=Z˙C2=−j10\dot Z_{C1} = \dot Z_{C2} = -j10.

Il ramo LL–GIC: l'induttore è in serie a un generatore di corrente, quindi non conta per nulla di ciò che si vede dalla porta (porta sempre Jˉ\bar J).

2. Impedenza equivalente

GIC aperto (il ramo LL–GIC sparisce), GIT in corto (N coincide con A). Da A si vedono in parallelo il ramo C2C_2–R1R_1 (10−j1010 - j10) e R2R_2 (1010):

Z˙ABeq=10(10−j10)20−j10=100−j10020−j10=(100−j100)(20+j10)500=3000−j1000500=6−j2 Ω\dot Z_{ABeq} = \frac{10(10 - j10)}{20 - j10} = \frac{100 - j100}{20 - j10} = \frac{(100 - j100)(20 + j10)}{500} = \frac{3000 - j1000}{500} = 6 - j2\ \Omega

3. Tensione a vuoto

Incognita UˉA\bar U_A (B riferimento); il GIT dà UˉN=UˉA−Eˉ\bar U_N = \bar U_A - \bar E. LKC sul supernodo {A, N}: escono la corrente nel ramo C2C_2–R1R_1, quella in R2R_2 e Jˉ\bar J (il GIC la preleva da N verso il basso):

UˉA10−j10+UˉA−Eˉ10+Jˉ=0⟹UˉA(1+j20+110)=Eˉ10−Jˉ\frac{\bar U_A}{10 - j10} + \frac{\bar U_A - \bar E}{10} + \bar J = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar U_A\left(\frac{1 + j}{20} + \frac{1}{10}\right) = \frac{\bar E}{10} - \bar J

UˉA (0,15+j0,05)=−j10−j5=−j15⟹UˉA=−j15 (0,15−j0,05)0,025=−0,75−j2,250,025\bar U_A\,(0{,}15 + j0{,}05) = -j10 - j5 = -j15 \quad\Longrightarrow\quad \bar U_A = \frac{-j15\,(0{,}15 - j0{,}05)}{0{,}025} = \frac{-0{,}75 - j2{,}25}{0{,}025}

VˉAB0=−30−j90 V\boxed{\bar V_{AB0} = -30 - j90\ \mathrm V}

4. Lettura dell'amperometro

L'amperometro è un cortocircuito in serie a C1C_1: la corrente che misura è quella della maglia equivalente VˉAB0\bar V_{AB0} – Z˙ABeq\dot Z_{ABeq} – C1C_1:

Iˉ=VˉAB0Z˙ABeq+Z˙C1=−30−j906−j12\bar I = \frac{\bar V_{AB0}}{\dot Z_{ABeq} + \dot Z_{C1}} = \frac{-30 - j90}{6 - j12}

IA=∣−30−j90∣∣6−j12∣=301065=52≈7,07 A\boxed{I_A = \frac{|-30 - j90|}{|6 - j12|} = \frac{30\sqrt{10}}{6\sqrt5} = 5\sqrt2 \approx 7{,}07\ \mathrm A}

(Il fasore completo è Iˉ=(−30−j90)(6+j12)180=900−j900180=5−j5\bar I = \frac{(-30 - j90)(6 + j12)}{180} = \frac{900 - j900}{180} = 5 - j5.)

Versione ripasso

Testo (Eserciziario, es. 3.29). Rete a regime sinusoidale con R1=R2=10 ΩR_1 = R_2 = 10\ \Omega, L=40 mHL = 40\ \mathrm{mH}, C1=C2=100 μFC_1 = C_2 = 100\ \mu\mathrm F, e(t)=1002cos⁡(1000t−π2)e(t) = 100\sqrt2\cos\left(1000t - \frac{\pi}{2}\right), j(t)=52cos⁡(1000t+π2)j(t) = 5\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right).

  1. Della rete a destra della porta AB determinare Z˙ABeq\dot Z_{ABeq} e VˉAB0\bar V_{AB0} (++ in A).
  2. Nella rete completa determinare il valore IAI_A letto dall'amperometro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). A sinistra della porta: C1C_1 tra il filo in alto e B; l'amperometro è sul filo in alto, tra C1C_1 e A. Nel riquadro: da A scende il ramo C2C_2 in serie a R1R_1 fino a B; da A, sul filo in alto, il GIT ee (++ verso A) fino al nodo N; da N scendono R2R_2 e, più a destra, il ramo LL in serie al GIC jj (freccia in giù).

Risultati: Z˙ABeq=6−j2 Ω\dot Z_{ABeq} = 6 - j2\ \Omega, VˉAB0=−30−j90 V\bar V_{AB0} = -30 - j90\ \mathrm V, IA=52 AI_A = 5\sqrt2\ \mathrm A.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica e Impedenza equivalente

Eˉ=100 e−jπ/2=−j100\bar E = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100, Jˉ=5 ejπ/2=j5\bar J = 5\, e^{j\pi/2} = j5; Z˙L=j40\dot Z_L = j40, Z˙C1=Z˙C2=−j10\dot Z_{C1} = \dot Z_{C2} = -j10. Il ramo LL–GIC impone Jˉ\bar J e non influisce sulla porta. GIC aperto, GIT in corto.

Z˙ABeq=10(10−j10)20−j10=6−j2 Ω\dot Z_{ABeq} = \frac{10(10 - j10)}{20 - j10} = 6 - j2\ \Omega

2. Tensione a vuoto

LKC sul supernodo {A, N} con UˉN=UˉA−Eˉ\bar U_N = \bar U_A - \bar E:

UˉA10−j10+UˉA−Eˉ10+Jˉ=0⟹UˉA (0,15+j0,05)=−j15\frac{\bar U_A}{10 - j10} + \frac{\bar U_A - \bar E}{10} + \bar J = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar U_A\,(0{,}15 + j0{,}05) = -j15

VˉAB0=−30−j90 V\boxed{\bar V_{AB0} = -30 - j90\ \mathrm V}

3. Lettura dell'amperometro

Corrente nella maglia equivalente VˉAB0\bar V_{AB0} – Z˙ABeq\dot Z_{ABeq} – C1C_1:

Iˉ=VˉAB0Z˙ABeq+Z˙C1=−30−j906−j12=5−j5\bar I = \frac{\bar V_{AB0}}{\dot Z_{ABeq} + \dot Z_{C1}} = \frac{-30 - j90}{6 - j12} = 5 - j5

IA=∣Iˉ∣=52 A\boxed{I_A = |\bar I| = 5\sqrt2\ \mathrm A} L'amperometro è un cortocircuito in serie a C1C_1: legge il modulo della corrente della maglia equivalente.

Teoria collegata